Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Разложение, имеющее место в силу теоремы 3, далеко не единственно. Однако число слагаемых в прямой сумме и их размерности определены однозначно. Доказательство этого факта начнем со следующего простого предложения. П р е д л о ж е н и е 7. Если пространсспво Ю двулся способами розмэжено в прямую сумму циклических подпространств, то число ненулевых слагаемых в обоих разложениях одинаково. Действительно, пусть БА, О+ " . 9 БА, = Бс, (1Р) . " 63 Бс,. (121 Сумма размерностей подпространств в правой и левой частях равенства равна размерности 1м: сс а йс = ~л 1с — - т. с=! с=с Подействуем преобразованием В на оба разложения. сг(ы получим два разложения пространства В (л'): В(БА)® "ЯВ(БА)=В(Бс)В...ЯВ(Бс).
(13) Сумма здесь будет прямой, так как циклические подпространства инвариантнй, и любой вектор из пересечения их образов должен лежать в их пересечении, т, е. быть нулевым. то гл. и. твогвмл жогдлил. вгнкции от млтгип Зля разложения (13) подсчет размерностей, согласно предложе. нию 12 й 1 дает (И,— 1) + ... + (Ио — 1) =(1, — 1) + ... + (1„— 1) или т — р = т — а, откуда о = р. Т е о р е м а 4. Пусть пространство Л, двумя способами (12) разложено в прямую сумму надпространств, ииклическик относительно нильпотентного преобразования В.
Тогда, если одно из разложений содержит 1 слагаемык наной-либо размерности И, то второе разложение тоже содержит ровно 1 слагаелгык размерности И. Л о к а з а т ел ь с т в о. Пусть И, — минимальная из размерностей циклических подпространств, встречающихся хоть в одном из разложений (!2).
Предположим для определенности, что ровно 1, пространств такой размерности входит в левое разложение. Подействуем на обе части равенства (12) преобразованием Ввс Мы получим два разложения пространства Вь (Ю) в прямую сумму циклических пространств: в1) (Э Я ( вр) ( й) О+ Ю В ( с~у) В левой части равенства осталось р — 1, ненулевых слагаемых. Столько же нх должно остаться и в правой части. Значит, и в правой части исходного разложения было ровно 1, пространств размерности И,. Пусть, далее, теорема доказана для размерностей, которые не превосходят И вЂ” 1, и левое разложение содержит 1 подпространств размерности И.
Подействуем на обе части равенства (12) преобразованием В". Оно обратит в нуль все слагаемые в обеих частях равенства, размерности которых (И. Поскольку в полученном равенстве в обеих частях будет одно и то же число слагаемых, общее число пространств размерности, не большей И, одно н то же в обоих разложениях (12). В силу предположения индукции, это означает, что правая часть равенства (12) содержит ровно 1 подпространств размерности И.
6, Вид матрицы нильпотентного преобразования в жордановом базисе. Рассмотрим сначала ограничение ннльпотентного преобразования В на циклическом подпространстве $ размерности И. Если в качестве базиса в Б выбрана цепочка векторов ев, ..., е" ', то в силу соотношений (?) матрица ограничения В на Б имеет вид О ! О ... О О О 1 ...
О л(0) = (14) О О О О О О О так как столбцы матрицы преобразования — координатные столбцы образов базисных векторов. Пусть теперь в пространстве мс выбран базис (10), Так как на каждую из составляющих его цепочек натянуто инвариантное под- 71 $ Х ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА Л, ~ 0 ... 0 0 Ц 1 ... 0 0...,.Л, 30....,..Х! Ай = У (О) +1;Е = Эту матрицу мы обозначим у (Л,) и будем называть Рсорданоаой клеткой порядка й с собственным значением Ль В действительности, легко заметить, что матрица 1 (Л;) имеет единственное характеристическое число Ль Кроме того, начальный вектор цепочки, на которую натянуто подпространство Ы, является собственным вектором ограничения А на Я, а следовательно, и преобразования А.
Это прямо следует из вида первого столбца матрицы У (Л;). Каждое корневое пространство есть прямая сумма циклических подпространств, Поэтому для матрицы А„ограничения А на корневом подпространстве М'~ имеем А, = б)ая (У, '(Л;), ..., (', (Л;)). (15) Порядки клеток равны размерностям циклических подпространств, в прямую сумму которых распадается Л;. Матрица 4 преобразования А в объединении базисов корневых подпространств равна, как мы видели, йад(АМ ...> А,). пространство, матрица преобразования В в этом базисе будет клеточно диагональной йаи (,l, (0), ..., 1Р (О)), где (, (О) — клетка вида (14) порядка пР (Р = 1, ..., р). 7.
'Теорема Жордана. Вернемся теперь от изучения одного корневого подпространства к рассмотрению всего пространства Х„. Каждому корневому подпространству Я, соответствует корень минимального многочлеиа Л; и преобразование В; — ограничение преобразования А — Л,Е на этом корневом подпространстве. 0 п р е д е л е н и е.
Жорданоаььч базисоач пространства Х„для преобразования А называется объединение жордаиовых базисов корневых подпространств, построенных для преобразований В; этих подпространств. Найдем матрицу. преобразования А в жордановом базисе. Начнем а построения матрицы Аз ограничения А на каком-нибудь циклическом подпространстве Я.
Заметим предварительно, что говорить об этом ограничении имеет смысл, так как циклическое подпространство, будучи ннвариантпым относительно преобразования В;, будет инвариантным и относительно А. В силу определения преобразования В; его матрица равна Л ~ — Л;Е, где Š— единичная матрица порядка и, раьного размерности Я. Но матрица преобразования Во как мы показали, имеет вид (14).
Следовательно, 72 гл. и. твонвмх жордлнк. етнкции от матриц Мы можем подставить сюда выражения (15) для каждой матрицы Аг: А =8(ад(У>'(Лг), ..., гр (Л,)). (1б) Словами этот результат можно описать так: П р ел л о ж е н и е 8. Матрица преобразования А в его жорди>имия базисе есть клеточно диагональная матрица. Ее диагональнье клетки — жордановы клетки порядков, рознь>х размерностям циклических надпространств, на которые распадаются все корневые поопространства, с собственными значениями, равньгии соотве>пствующилг корням минимального многочлена преобразования А.
О и р е дел е и и е. Матрицу вида (16), описанную в предложении 8, мы будем называть жордановой матрицей. Нахождение матрицы линейного преобразования в его жордановом базисе называется приведением матрицы этого преобразования к жординовой нормальной форме. Очень существенно, что для нахождения жордановой нормальной формы матрицы преобразования нам нужно знать только корни характеристического многочлена с их кратностями, а также размерности циклических подпространств.
Характеристический много- член инвариантен (К., предложение 3 8 4 гл. 1Ч), а размерности циклических подпростраиств однозначно определены в силу теоремы 4. Мы приходим к следу>ошей теореме, называемой теорелюй >У>ардона. Т е о р е м а 5. Для каждого преобразования А комплексного линейного пространства Х„существует базис, в котором его матрица имеет жорданову нормальную форму. При гогом жордансоа нормальная форма матрицы однозначно определена по преоброзо они>о с точностью до порядка, в котором расположень> диигона>гьны клетки. 8.
Замечания и следствия. Как и все теоремы о линейных преобразованиях, теорема Жордана может быть сформулирована в терминах матриц. Матрицы А и А' называются подобными, если суше. ствует такая певырожденная матрица 5, что А' = 5 'А5. Т е о р е м а 5м. Каждая матрица подобна некоторой жордановой ма>прице. Для подобия матриц А и А' яеооходил>о и достаточно, чтобы соответству>ощие жордановы матрицы совпадали с точностью до порядка следования клеток. Необходимость условия очевидна, так как две подобные матрицы можно рассматривать как' матрицы одного и гого же линейного преобразования в разных базисах. Для доказательства достаточности заметим, что жордановы матрицы г и г" с различным порядком следования клеток подобны. Действительно, соответствующая матргща 5 есть матрица замены базиса, состоящей в перестановке базисных векторов.
Поэтому мы имеем А = Р глР, А =* (с г,>"(с и >" 5 гл5, откуда А' = СГ>5 >РАР'гЯ. Жорданова нормальная форма — не единственная нормальная форма, к которой можно принести матрицу линейного преобразо- $ Я ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА вания. В литературе (см., например, Мальцев (211) читатель найдет другие нормальные формы матрицы линейного преобразования, в частности нормальную форму, к которой приводится матрица любого линейного преобразования в вещественном линейном пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
