Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Из формулы (9) следует, что максимальная длина цепочки в некотором корневом пространстве Лгд равна показателю нильпотентности соответствующего преобразования Вд, который совпадает с кратностью корня Лд в минимальном многочлене. Отсюда следует П р е д л о ж е н и е 9. Максимальный порядок клетки с собственным значением Ц ровен кратности корня Лд в минимальном многоч лене. Хорошо известно, что не для каждого линейного преобразования существует базис, в котором его матрица имеет диагональный вид. Теорема Жордана указывает нам простейший вид, к которому приводится матрица каждого линейного преобразования в комплексном пространстве.
Ои отличается от диагонального тем, что выше главной диагонали в параллельном ей ряду могут быть на некоторых местах расположены единицы. Диагональная матрица— частный случай жордановой матрицы. О п р е д е л е н и е. Линейное преобразование мы назовем преобразованием простой структуры (или о простым спектром), если его минимальный многочлен не имеет кратных корней. Из предложения 9 вытекает следующее П р е д л о ж е н и е 1О.
Линейное преобразование имеет в некотором базисе диагональную матрицу тогда и только тогда, когда оно является преобразованием простой ппруктуры. По поводу этого предложения уместно вспомнить пример иа стр, 60. Жорданову матрицу можно представить как сумму диагональной матрицы и клеточно диагональной В=й(ай(1,'(О), ..., (Р',(О)). Докажем, что В' = О, если г — максимальный порядок клетки. Действительно, при возведении любой клеточно диагональной матрицы б(ай (Сд, ..., С,) в степень г мы получаем матрицу й(ад (С'„... ..., С;). В этом можно убедиться по определению умножения матриц.
Диагональные клетки — матрицы нильпотентных преобразований, и потому при возведении в степень, большую или равную нх порядку, обращаются в нуль. Таким образом, матрица В является матрицей нильпотентного преобразования. П р е д л о ж е н и е 11. Каждое линейное преобразование комплексного линейного пространства представимо как сумма преображвания простой структуры и нильпотентного преобразования, которые коммутируют между собой.
та гл. и, твогвмл жо»д»н» ьункции от м»тгиц Основная часть предложения — существование такого представления — непосредственно вытекает из предыдущих рассуждений. Для доказательства коммутативности заметим, что диагональная матрица, о которой шла речь выше, может рассматриваться как клеточно диагональная. При этом каждая ее клетка только множителем отличается от единичной матрицы того же порядка и потому коммутирует с соответствующей клеткой нильпотентной матрицы. 9.
Построение жорданова базиса. Приведенное доказательство теоремы Жордана эффективно, т. е. содержит способ построения жорданова базиса. Тем не менее имеет смысл остановиться еше раз на действиях, которые необходимы для того, чтобы построить жорданов базис для линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А. При этом мы ие будем затрагивать чисто вычислительную сторону вопроса. В частности, мы будем предполагать, что можем найти корни характеристического многочлена матрицы А и их кратности. Это как раз то, с чего должно быть начато построение жорданова базиса. Описанная далее последовательность действий применяется к каждому из корней характеристического многочлена.
Для корня Л' мы составляем матрицу А — Л'Е. Если Кд (А — Л"Е) ) а — т, где гп — кратность корня Л*, мы возводим матрицу А — Л'Е в степени 2, 3, ..., пока не найдем такую степень й, для которой Кд (А — Л»Е)" = а — ль Это число является кратностью корня Л" в минимальном многочлене. (Вели Кд (А — Л»Е) = и — и, то корень минимального многочлена простой.) В самом деле, если матрица А имеет жорданову форму, то в матрице А — Л*Е нильпотентными будут те и только те клетки, которые соответствуют корню Л». Остальные клетки будут невырожденными. В матрице (А — Л"Е)' клетки, соответствующие Л», обратятся в нуль, и ранг (А — Л*Е)" окажется равным и — т. Поскольку ранг этой матрицы не зависит от выбора базиса, условие иа ранг (А — Л»Е)» будет тем же и в произвольном базисе, Рассмотрим столбцы, в которых расположен базисный минор матрицы(А — Л»Е)' '.
Их линейная оболочка есть 1т (А — Л"Е)» '. Корневое подпространство нам не известно, по мы найдем подпространство сЖ», (см. формулу (9)), если найдем пересечение $ш (А — Л»Е)" ' с подпространством Ж (Л*) собственных векторов, принадлежащих корню Л'. Выделяем максимальную линейно независимую систему векторов в аУ»,. Это те собственные векторы, с которых начинаются цепочки максимальной длины й. Если общее число векторов в этих цепочках меньше т, рассматриваем пересечение аФ»» = 1ш (А — Л'Е)"-а () Ж (Л»). Дополним уже выбранные ранее собственные векторы до базиса в а6'»,.
Вновь добавленные собственные векторы служат началами цепочек длины я — 1. Если общая длина всех цепочек меньше и, продолжаем построение новых собственных векторов последовательно из пространств »7г» „..., попа общая длина всех цепочек не окажется равной л. 1 а жОРЛАнОВА нОРмАльнАя ФОРМА (А — ),*Е) е'=е'-', 1=1...,, Й> относительно координатных столбцов этих векторов, где в первую систему входит е' — собственный вектор. Следует подчеркнуть, что при решении этих систем нам достаточно найти хоть одно ре. шение каждой системы.
Точно и последовательных систем такого вида будут совместными, если е' ен РЯ'А, и е' ~й ФЯ'А. Здесь описано построение векторов жорданова базиса в одном корневом подпростраистве. Жорданов базис в Х„получаем объединением всех таких базисов. Жорданова форма матрицы преобразования может быть выписана сразу после того, как известны длины всех цепочек, соответствующих каждому корню характеристического миогочлена. Пример 1.
Пусть з-! о-1~ 1 1 0 — 1, 0 0 2 — 1~' /0 0 1 О/ А= Нетрудно установить, что характеристический многочлен этой мат. рицы равен (Х вЂ” 1)'(1' — 2)'. Начнем с корня Х = 1. Рассмотрим матрицу 2 — 1 0 — 1 1 0 0 — 1 0 01 — 1~ 0 0 1 — 1 Ее ранг равен трем. Далее, имеем 3 — 2 — 1 0 Кй(А — Е)'=Кя О о ! о = О О 0 О Следовательно, кратность корня Х = 1 в минимальном многочлене равна 2. В А — Е базисными можно считать первые три столбца, поэтому 1гп (А — Е) натянуто на этн столбцы.
Найдем пространство собственных векторов $(1), решая систему уравнений 2 — 1 0 — ! ! О 0 — ! 0 0 1 — 1 0 0 1 — 1 Для подсчета длины цепочки ие обязательно находить все ее векторы, но они могут быть найдены, как только выбран собственный вектор, являющийся началом цепочки. Последовательные присоединенные векторы е', ..., е" находятся решением линейных систем вида ув гл. и твоэамх жоядхнл этнкции от млтгиц 'Π— ! Π— ! О!! 1 О 1 О 1/21~ ,О ! О ! О(,'.
О О О О 1/2'/ !О О О О О~~ А — Е= Возводя эту матрицу в степень, находим — Π— ! О ОО ОО (А Е)=:( 1О 1О ОО ОО О/ 1 ', (А — Е)з = О. о!! 1ш (А — Е)э натянуто на вектор Д вЂ” 1, О, 1, О, О Нг. Этот вектор собственный, и с него начинается цепочка длины 3. Трех векторов недостаточно. Рассмотрим 1т (А — Е) П $ (1). Находим координатные столбцы линейно независимых собственных векторов. Это ~~ О, 1, О, — 1, О !!г и ~! — 1, О, +1, О, О 1!т. Пространство 1ш (А — Е) натянуто на последние три столбца матрицы А — Е.
Первый собственный вектор может быть получен как линейная комбинация третьего и пятого столбцов матрицы А — Е. Следовательно, он принадлежит пересечению. С этого вектора начинается цепочка длины 2. Присоединенные векторы находим, решая системы линейных уравнений, аналогично тому, как это было сделано в предыдущем примере, Ее фундаментальная система решений — столбец 1 1, 1, 1„1 Г. Ои лежит в 1ш (А — Е), и с него начинается цепочка длины 2, Следовательно, других собственных векторов искать не нужно (да их и нет). Найдем присоединенный вектор, решая систему уравнений ! ,и — ! О -1! ΠΠ— 1. 1, ~!) О О ,'О О ! 1~~ ~~1,(! Нам достаточно одного решения. Таким решением служит, например, столбец 1 1, 1, 1, О Г.
Рекомендуем читателю проделать такие же вычисления для корня Х = 2. П р и м е р 2. Рассмотрим матрицу — Π— ! О~ ! ! ! О !!2~ А=,О ! ! ! О~. 1О О О 1 1/2~( !О ОО О Ее характеристический многочлен имеет единственный корень Х = 1 кратности 5, 5 3 Функции от млтяиц й 3.
функции от матриц 1. Введение. В соответствии с общим определением функции под функцией на некотором множестве 3 квадратных матриц порядка п со значениями в множестве У следует понимать отображение, сопоставляющее каждой матрице из множества 8 единственный элемент множества У. В частности, нас будут интересовать функции, значения которых — также квадратные матрицы того же порядка. Однако без дополнительных ограничений при столь широком определении не удается учесть, что и' чисел, составляющих матрицу, упорядочены специальным образом, н что над матрицами определены алгебраические операции. По существу, мы сможем сказать о такой функции столько же, сколько о любом наборе пз и' функций от и' переменных.
Мы дадим более узкое определение, позволяющее учесть специфику матричного аргумента. Это позволит определить для матриц такие элементарные функции, как показательная, степенная, логарифмическая, тригонометрические функции и т, д. Собственно, один пример такого рода нам уже встречался. Используя алгебраические операции с матрицами, мы подставляли матрицу в много- член в качестве значения независимой переменной. Полученная матрица считалась значением многочлена от исходной матрицы. Каждая из перечисленных выше элементарных функций в некоторой области разлагается в сумму степенного ряда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
