Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В общем случае используется матрица 5 перехода к диагональному виду. Пусть, например, 04 гл и теогемл жоедлих езнкции от мхтгиц (Корневое подпространство здесь только одно, и индекс 1, прини- мающий единственное значение, мы пропускаем.) По формуле (8) находим 1(А) =1(Л) Е+ 1' (Л) В+ — , '1" (Л) В + ' ~" (Л) Вг = 21( 6 1 1 2 1 1(Л) Р (Л) о 1 Р.) 1(Л) 1' (Л) о 1(Ц о о о о г1-1 Г1 = ~~1' —, ~!г) (Л1) (А - РчЕ)А )=о (9) Для того чтобы сформулировать еще одно следствие формулы (8), введем следующее О п р е д е л е н и е. Совокупность й1 + ... + й, чисел ДЛ,), Р'(Л1), ..., Р('-')(Л.) (1=), ..., ), где Л„, ...„Л, — корни минимального миогочлена матрицы А, а й„..., й, — их кратности, называются значениями 1рункции 1 на спектре матрицы А.
П р едл о ж е н и е 4. Если корни минимального многочлена матрицы А лежат внутри круга сходимости скалярного ряда, определяюи(его функци1о 1, то значение фу11кции 1 на матрице А однозначно определено значениями !' на спектре А. Предложение прямо вытекает из формулы (8). Однако эта формула дает довольно сложное выражение ! (А) через значения ) на спектре А.
При ее пряменении приходится изменять базис и составлять матрицу из диагональных клеток. Ниже мы покажем, как обойтись без этого На символ б)ай () (А,), ..., 1(А,)) можно смотреть как на знак операции, которая сопоставляет набору матриц ( (А,), ..., 1(А,) клеточно диагональную матрицу с клетками ) (А,), ..., 1 (А,). Если перейти от матриц к преобразованиям, то операции 1)!ай соответствует следующее.
Пространство разложено в прямую сумму подпространств Ю„... ..., 1л,"„причем на каждом Ю! задано преобразование )' (А;). Мы строим преобразование ) (А), для которого Ю1 — инвариантные подпространства, а 1(А1) — ограничения на этих подпространствах. Поставим себе задачу осуществить это построение не зависящим от базиса образом. При этом преобразования 1 (А;) в подпростраиствах вг"1 будут заданы не непосредственно, а как ограничения некоторых преобразований Г1, определенных на всем пространстве.
Именно, пусть б з. оннкпин от мдтрип Действительно, для любого х из Х имеем Г (х) = ~: Г (х;) = ~ С; (х,), причем х, еп Ю; и С~ (х,) ен Хе Следовательно, Р;г (х) = С; (х;). С другой стороны, очевидно, что С~Р; (х) = С; (х;). Этим формула (10) доказана. 5. Спектральное разложение. Вернемся к вычислению 1(А). Теперь мы можем показать, что ПА) =,Е)РУь с=! (11) ') Чаше зто отображение называют вложением, но вложением нззынзют также н любое отобрзженне с нулевым ядром. Это'преобразование — многочлен от А. Поэтому подпространстна ФРы ..., Ю, инвариантны относительно Рь Ограничения Г~ на при 1~ 1 нас не интересуют, а ограничение Р на М, есть | (А,). Для того чтобы построить | (А) по Еы нам потребуются дополнительные сведения.
4. Проектирование н отождествление. Рассмотрим подпространство Я' линейного пространства Ж. Каждый вектор из Х' лежит в Х, и мы можем определить отображение 1: Х'- .'о, сопоставляющее каждому вектору х еп Ж' тот же вектор, рассматриваемый как вектор из Х. Такое отображение мы назонам опюждестнлением ') векторов из Я' с векторами из Я. Если базис и в Я получен дополнением базиса в' из Я', то в паре базисов в' и е отождествление имеет матрицу, состоящую из столбцов единичной матрицы порядка и с теми номерами, под которыми векторы базиса е' входят в базис и.
Пусть теперь пространство Х разложено в прямую сумму подпространств Лгы ..., Ю,. Это означает, что каждый вектор х из Ж однозначно раскладывается в сумму вида х = х, + ... +х„ где х~ Ю; для всех 1. Это разложение позволяет определить для каждого надпространства Ю, отображение Р;: Ж -з Ю, по формуле Р; (х) = хь Отображение Р, называется проектированием Ж на ЯГо Следует, однако, помнить, что оно определено не одним лишь подпространством Х„но всей совокупностью Юы ..., ЛГ,.
Если базис в о есть объединение базисов подпространств ззы ... ..., 3 „то матрица проектирования Р~ состоит из тех строк единичной матрицы порядка и, номера которых равны номерам базисных векторов, лежашик в Яо Пусть теперь подпространства ЛГ~ инвариантны относительно некоторого преобразования Р, и через С; обозначено ограничение Г на Хь В этом случае имеет место равенство С,Р,=РР. (1О) 87 з з епгнкпии от мхтеиц Определение. Матрицы Ен=!гРг . 1,(А — ЛгЕ)г-г, 1=1, ..., з, /=1, ..., йн (!4) называются компонентными матрицами матрицы А. В частности, гп = у,рь Теперь равенство (13) становится равносильным следующей теореме. Т е о р е м а 2. Матрица г' (Л) есть следугогцая линейная комбинация компонентных митршр ПЛ) =,'~ ~ ~ — (Л,) 2н. (15) г=- г г' г Равенство (15) называют спектральным разловгсениелг г' (А).
Обратим внимание на следующие свойства этого разложения. 1. Матрицы Яп не зависят от функции ~. Поэтому для различных регулярных функций спектральные разложения отличаются только значениями функции на спектре А. 2. Матрнпа Г (А) линейно выражается через значения 7 на спект. ре А. 3, Для всех функций, значения которых на спектре Л совпадают, значение 1' (А) одно и то же.
Последнее следствие можно использовать для того, чтобы свесги вычисление г (А) к вычислению некоторого многочлена от А. П р е дл о ж е и и е 5. Какоггы бы ни бьти митрица А и числа ))гм г = 1, ..., в, ! = 1, ..., 7г„наидется единственный многочлен степени меныией, чем степень й минималыаоео мноеочлена, который принимает на спектре магприцьг А зна~ения ргр Д о к а з а т е л ь с т в о. Значение многочлена в фиксированной точке — линейная функция от его коэффициентов, То же относится и к значениям его производных любых порядков.
Поэтому требование, чтобы многочлен принимал на спектре матрицы А предписанные значения, равносильно системе линейных уравнений на его коэффициенты. Если степень многочлена ~й — 1, то неизвестных в системе гг. Число уравнений равно числу значений иа спектре, т. е. тоже й. Поэтому остается доказать, что детерминант матрицы системы отличен от нуля. Это будет доказано, если мы и роверим, что соответствующая однородная система имеет только нулевое решение. Докажем последнее утверждение. Для этого рассмотрим многочлен, принимающий на спектре А нулевые значения. Из (15) следует, что он — аннулирующий для матрицы А.
Но степень его меньше степени минимального многочлена, н он должен быть нулевым. Предложение доказано. вв ГЛ П ТЕОРРЯА ТКОРДАНА ФУНХПИН ОТ МАТРИП Это многочлен от матрицы А, равный нулю. Так как его степень ниже, чем степень минимального многочлена, то он нулевой. Это означает, что для многочленов й1~ из предложения 6 выполнено ра- венство 4, У ~~~ усну=о. 1 !/ ! (16) Докажем, что отсюда следует уу — — О для всех 1 и 1.
Подставляя в тождество (16) число ),1, ! = 1, ..., в, мы найдем, что у1, — — О. Затем проднфференцируем это тождество и подставим А! в производную левой части. Мы получим уп = О. Будем дифференцировать и подставлять Х; далее до порядка йч = шах йь Так мы получим все требуемые равенства. Поскольку компонентные матрицы — многочлены от А, имеем П р е д л о ж е н и е 8.
Компонентна!е матрицы матрицы А перестановочны с матрицей А и между собой. Перечислим некоторые алгебраические соотношения, которым удовлетворяют компонентные матрицы. Во-первых, при всех ! = = 1, ..., з матрицы Ец идемпотентны. Это означает, что для любой степени г. Доказательство не представляет труда. Действие преобразования Е!т с матрицей Ец = 1!Р! на вектор х состоим Многочлен, описанный в предложении 5, называется интерполяционным многочленом Лагранжа — Сильвестра. б. Свойства компонентных матриц. Докажем следующее П р е д л о ж е н и е 6. Компонентные матрицы являются многочленами от А степени меньшей, чем степень минимального много- члена. Рассмотрим произвольную компонентную матрицу 2!р Пусть Ьо — многочлен Лагранжа — Сильвестра, для которого й1!! — '> (А!) = = 1, а остальные значения на спектре равны нулю.
Из формулы (15) Вытекает, что 11!! (А) = Е!р П р е д л о ж е н и е !. Для любой мал!рицы А компонентные ма рицы линейно незави имы. До к аз а тел ь с та о. Рассмотрим какую-нибудь нулевую линейную комбинацию компонентных матриц 89 з з. Фзнкции от матзиц в проектировании етого вектора на МГ, и последующем отождествлении с тем же вектором, рассматриваемым как вектор из Х. Очевидно, что повторение этого преобразования не меняет результата.
Подстановкой 1($) = 1 в разложение (15) проверяется, что ~) Яп=Е, 1=! Так как правый множитель в выражении 1;В) ~Р~=Ен есть проектирование, имеем 1ш 'Е» ~ Ю~ и Л1 — Кег Ец при 1М й Отсюда ЯцЕ~ =О прн 1~1 и всех 1, и. Преобразование Еп действует на Ю, как тождественное. Поэтому для всех 1 и 1 Отметим еще следующее интересное равенство, которое получается при 1 ($) = $: Поучительно рассмотреть компонентные матрицы для матрицы А, имеющей жорданову форму. Вместо громоздкого общего описания приведем достаточно характерный пример.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
