Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В написанных ниже матрицах шестого порядка отсутствующие элементы равны нулю. Пусть 2 2 1 2 3 1 3 1 3 Тогда для какой-нибудь функции 1 имеем 1(2) 1(2) Р (2) 1(2) 1(3) ) (3) †' ) (3) . 113) ) (3) Пз) 90 ГЛ. и. ТЕОРВМА ЖОРЛАНА ФУНК11ИИ ОТ МАТРИП 1 1 1 о о о 1 1 ;о о О 1 о о о о о о А2 =', О1О глл= о о 1 2( л АЗ = О1 7. Вычисление компонентных матриц. Интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестра можно построить, исходя из решения интерполяционной задачи Эрмнта. Она состоит в том, чтобы для заданной функции 1 и л различных точек Х„..., Х, построить многочлен, который вместе со своими производными указанных порядков Й„ ..., Ф, принимал бы те же значения в точках Х„ ..., )„ что и функция 1. Такой многочлен степени, меньшей чем й = я1 + + ... + л„называется интерполяционнь1Ж л1ногочленол1 Эрл1ита. Многочлен Эрмита можно получить по формуле 1 1/ ! если построены миогочлены йн, 1 = 1, ..., з, 1 = 1, ..., й„степеней, меньших й, для которых 61„(Х,) = ,1 1 при 1=1 и 1'=т, О при (чь! или 1 ~т.
(17) Опишем построение этих многочленов. Для каждого 1 возьмем многочлен м1$) =И(~„~) '. 1~1 И в силу лннеинои независимости компонентных матриц полу- чаем из (!5) $3. Функции от матРиц 11с Я) = и~ (Я) ', 1(с — л~)" 'Гь ~,— (в). Иначе этот мвогочлен можно представить так: й а)=( „1а — м ' (вЯ+о((в-Л)" ")~= 11, (С вЂ” Ц)"'-' )- и~ ($) о((К вЂ” Л ) с '). Докажем, что многочлен (!9) удовлетворяет условиям (17), Для всех ! ~ Ц мы имеем (и, 1с) о((с — Л,) ~ )! х,'* 0 по формуле Лейбница, поскольку первые йс — 1 производных от функции о((~~ — Л,)~~ ) в точке Л, равны нулю.
Поэтому первые й,— 1 производных миогочлена й, в точке Л, такие же, как у ! (т — 1)1 Я вЂ” Л)"'-', т. е. (19) й,".-п(Л,)=! ' ~ ! О, у~т. Многочлен и~ имеет степень й — й,. Произведение двух остальных сомножителей в (19) имеет степень не выше гп — 1 + й, — т. Поэтому степень многочлена И,„не превосходит й — 1. Это заканчивает доказательство. Общий способ вычисления компонентных матриц матрицы А состоит в подстановке А в формулы (!9), поскольку У» й» (А) для всех ! и !Л Однако стоит заметить, что более эффектививыи» мо.
жет оказаться следующий не столь общий способ. Мы можем подставлять вместо Г в разложение (15) какие-либо многочлены, например делители минимального многочлена илн просто степени матрицы А. При этом мы получим систему линейных уравнений с числовыми коэффициентами относительно матриц Е». Как нетрудно проверить, для любого (чь 1 и любого 1 ~ йг и)1 и (Л;) = О. (18) Это означает, что и, удовлетворяет требованиям (17) в точках Ло 1 Ф 1, но, вообще говоря, не удовлетворяет им в точке Лп Исправим его. Для этого заметим, что свойства (!8) сохраняются при умножении на любой многочлен 1а ($): ф-1 — (и,1а)! „=О, !Ф1, !(й.
Это вытекает из формулы Лейбница. Выберем многочлен гв подходящич для нас образом. Пусть ~„(ь) — многочлен Тейлора, полученный разложением функции !/и~ по формуле Тейлора в окрестности точки Л1 а точностью до о (Я вЂ” Л,)'). Мы положим 92 ГЛ. Н. ТЕОРЕМА ЖОРДАНА. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ Если многочлены выбраны удачно, решая эту систему, нетрудно будет найти компонентные матрицы. П р имер. Пусть А =(~ Так как это — матрица второго порядка с простым спектром и А1 = 1, Х, = 2, для нее формула (15) имеет вид 1 (А) = г (!) 211 + + ~ (2) 211. Подставим вместо 1 многочлены $ — 1 и $ — 2. Не- медленно находим г ~(о — о;( Р(А) =~(1)~о ! ~+1(2)/;о о!~' Поэтому В частности, как мы видели на стр. 83, "=1~" '-'~~ Выше мы нашли компонентные матрицы для А =!!,' или для функции В' при натуральном г А.
!)2' 8. Сохранение тождеств. Пусть регулярная функция д Я) равна нулю на спектре матрицы А. Тогда д (А) = О. Применим это соображение к функции вида да)=О(116), ..., ~,(1))=б, где О = 0 — некоторое тождество, связывающее регулярные функции 11, ..., 1,. Если функция д Д) регулярная, то мы видим, что д (А) = О, и следовательно, тождество сохраняется и для матрицы А.
В двух важных частных случаях регулярность функции д (~) не вызывает сомнений. 1) О (11„..., 11,) — многочлен. На матрицы переносится любое тождество рассматриваемого вида, левая часть которого — много- член от регулярных функций. рассмотрим, например, то1кдество а(па$+ совам = 1. Функция п(т) = з!и'$+ соза$ — 1 = 0 ре. гулярна и обращается в нуль на спектре любой матрицы. Поэтому для любой матрицы А имеем а!пАА+ созт А = Е.
з в. ээнкции от млтоиц ОЗ Используя их, находим в!пв 2 — Ип' 2+ в!пв 11 1 оыв 2 — савв 2 + оовв 1 ~ в1пв! ~' ~ О савв 1 Теперь можно непосредственно убедиться в справедливости равенства для этой матрицы. 2) Пусть ! — регулярная функция от одной переменной, а Ь— регулярная ветвь обратной к этой функции, определенная в области, содержащей спектр матрицы А.
В этом случае функция д ($) =- = й Д ($)) — $ регулярна, и тождество й(1 ($)) = $ справедливо и для матрицы А. В качестве примера определим функцию $мв как сумму ряда + 2 (~ ) 8 (~ Поскольку функция ($в1в)в — $ регулярна, для любой матрицы А, характеристические числа которой лежат в круге ! $ — 1 ) ( 1, значение Ац'=Е+ 2 (А — Е) — — (А — Е)'+... удовлетворяет равенству (А!~)в = А. Следовательно, Аов может рассматриваться как квадратный корень из А. Пусть !1О 2!1' Характеристические числа этой матрицы 3 и 2. Матрица А — Е как раз та матрица, компонентные матрицы которой мы вычисляли.
Поэтому сумма ряда равна Х )'З11 — !1!~+) 2!о !! гз — уз+)г2 ! Возводя Х в квадрат, мы получим матрицу А. Следует подчеркнуть, что сохранение тождеств не относится к тождествам, содержащим две независимые переменные. Это связано с некоммутативностью умножения матриц. Классическим примером является несправедливость равенства зА . зз ел + и для произвольных матриц. Однако если матрицы коммутативны, то равенство имеет место.
В этом можно убедиться, перемножая степенные ряды. 9. Аналитическое продолжение. По поводу разобранного выше примера извлечения квадратного корня из матрицы нужно сделать два важных замечания. Во-первых, этим путем мы получили только одну из матриц Х, удовлетворяющих уравнению Х' = А и потому имеющих право называться квадратным корнем из А.
Во-вторых, мы можем найти Амв только для матриц, собственные значения 94 гл. и. твоввмх жорлхпх егнкции от мхтяиц которых лежат в круге сходимостн, хотя квадратный корень из матрицы существует и для других матриц. Ясно, что подобные замечания относятся не только к квадратному корню, но и ко многим другим функциям, например к логарифму. Читатель, более подробно знакомый с теорией функций комплексной переменной, заметит, что оба вопроса тесно связаны между собой и относятся к возможности аналитического продолжения регулярной функции от матрицы.
Их решение не содержит ничего сложного, но больше относится к анализу, чем к линейной алгебре. Поэтому мы ие будем углубляться в эту сторону. Заметим только, что у нас есть возможность определить регулярную функцию от матрицы и для тех матриц, собственные значения которых не лежат внутри круга сходямости определяющего функцию ряда.
Для этого достаточно, чтобы мы могли найти значения функции на спектре интересующей иас матрицы. Тогда, приме. няя многочлен Лагранжа — Сильвестра, мы сможем найти значение функции на матрице. Лучшее изложение обоснования этого способа можно найти в первоисточнике — работе Лаппо-Данилевского 11Ь1. Приведем пример. Матрица ;! ! — 2~ имеет характеристические числа 1 3 и — ',/3.
Они таковы, что любой круг, их содержащий, содержит также и О, Поэтому ни одно разложение функции 1/$ в степенной ряд не может сходиться сразу в обеих точках !'3 и — $"3, Однако функция в нйх определена и принимает значения ()I 3) ' и ( — )/3) '. Найдем компонентные матрицы для матрицы А: 12+у'3 ! ! 3 ! !2 — рз ! 2Р3 ~ ! 2+у'3 ~ 2У"3') ! 2 )ГЗ (! Подстановкаихв выражение О/3) 'Еп+( — )/3) 'хм дает матрицу !!АЗ -АЗ~~ действительно являющуюся обратной матрицей для А.
(Этот пример иллюстрирует продолжение регулярных функций от матриц при помощи многочлена Лагранжа — Сильвестра, но не должен рассматриваться как удобный способ обращения матриц второго порядка). Спектральное разложение, илн, иначе, многочлен Лагранжа— Сильвестра, — не единственный многочлен, при помощи которого могут вычисляться функции от матрицы. Очевидно, достаточно только того, чтобы значения этого многочлена на спектре матрицы совпадали со значениями функции. Укажем такой многочлен для функции 9 ', $4 ПРИЛОЖЕНИЕ К П44ФФЕРЕИЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ $5 Согласно теореме Гамильтона — Кали матрица А удовлетво- ряет своему характеристическому уравнению А" + о,А '+...
+ а„,А + О,Е = О, где а„= бе1 А. Если и„„-ь О, мы можем написать а„'А (А"-'+о,А"-'+...+а„,Е) =Е, откуда получается выражение для А ' в виде многочлена от А. Практическое значение такого способа обращения матрицы невелико, так как вычисление коэффициентов характеристического мпогочлена — трудоемкая операция. Однако если характеристи- ческий многочлен представляет самостоятельный интерес, заодно с ш4м можно легко найти обратную матрицу. Алгоритм нахожде- ния коэффициентов характеристического миогочленз и обратной мел рицы приведен в книге Д.
К, Фаддеева и В. Н. Фаддеевой (35). 10. Характеристические числа регулярной функции. Докажем П р е д л о ж е н и е 9. Если г — регулярная функция, то корни характеристического л4яогочлена ллатрицьс 7 (А) равны ~ (Лл)„,. ..., 1 (Л„), где Л„..„˄— корни характеристическою лляогочлена люо4риць4 А. Д о к аз а тел ь с та о. Воспользовавшись предложением 1, мы можем заменить в доказываемой формулировке матрицу А на жорданову матрицу А' такую, что А' = 5 4А Я. Вид матрицы 1 (л) яля одной жордаиовой клетки л' мы, по существу, получилн в при- мере иа стр. 83, Распространить его на клетки произвольного порядка не представляет труда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
