Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

103. Аналогично, используя столбцы, а не строки, находим оценку-г) гл. и, твоивма жоецкнл. вхикцин от магтиц Пусть теперь для некоторого характеристического числа Х, матрицы А ранг матрицы А — ХьЕ равен г. Тогда ни один минор порядка г+ г не может иметь доминирующей главной диагонали, и, следовательно, условия (2) нарушаются для и — г значений индекса г. Это означает, что число Х, лежит в и — г кругах. Отсюда П р е д л о ж е в и е 7. Если собапвенному значению Х, ггреобразавания А принадлежат и — г линейно независимьгх собственных векторов, то Х, лежит в и — г локализационных кругах матрицьг А преобразования А.

Из формул (5) вытекает такое достаточное условие положительной определенности квадратичной формы: П р едл о ж е н и е 8. Если матрица квадратичной формы имеет доминирующую главную диагональ и положипгельные элементы на главной диагоналгг, то квадратичная форма положительно определена. Действительно, согласно (5) все характеристические числа матрицы положительны. Сказанного здесь достаточно, чтобы представить себе возможные приложения локализационных кругов. Перечисленные в этом параграфе локализационные теоремы просто доказываются и применяются. Некоторые важные результаты этой теории, не обладающие указанным свойством, мы нс имеем в'-„зможности изложить здесь. В частности, это относится к критериям Раусса — Гурвица и Ляпунова.

Они дают необходимые и достаточные условия, при которых все характеристические числа матрицы имеют отрицательные вещественные части. Восполнить указанный пробел читатель может при помощи специальных руководств по теории матриц, например книге Гантмахера (8). ГЛАВА 1!1 ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ й 1.

Введение !. Цель главы. В современных условиях инженер или научный работник, решающий сколько-нибудь значительную систему линейных уравнений, естественно, воспользуется ЭВМ. Для этого существуют хорошо отлаженные и эффективные программы, и потому для большинства читателей этой книги практическое решение системы линейных .уравнений сведется к написанию обрзщения к какой-либо стандартной программе нли процедуре.

Однако для правильной постановки задачи, выбора программы и интерпретации результатов очень важно быть знакомым с применяемыми алгоритмами, а также с основными трудностями, возникающими прп решении линейных систем, и путями их преодоления. Об этом и будет идти речь в настоящей главе. Разумеется, программное обеспечение ЭВМ постоянно совершенствуется. Разработка новых алгоритмов и программ для решения задач линейной алгебры остается актуальной проблемой,. Но следует иметь в виду, что написание программы, которая могла бы превзойти по эффективности уже существующие, — трудное дело, требующее не только глубоких познаний, но и практического опыта.

Поэтому для тех, кто готовит себя к такого рода дея. тельности, эта глава может служить лишь началом. Отметим в втой связи, что достаточно полное изложение результатов, относящихся к теме любого из параграфов этой главы, может составить содержание целой книги. В ~ 1 мы з общих чертах рассмотрим основные трудности, с которыми приходится сталкиваться при численном решении задач линейной алгебры. По существу, в гл. 111 мы переходим в область прикладной математики, и эти трудности являются специфическими для данной области.

2. Ошибки округления. Одна из наиболее заметных особенностей прикладной математики — это учет ошибок округления. Они связаны с тем, что на регистре ЭВМ или в ячейке запоминающего устройства может быть записано только конечное число знаков. Для определенности мы будем говорить о десятичных цифрах, хотя чаща употребляется двоичная, а распространенытакжевосьмеричная и шестнадцатеричная записи. Числа, не представимые конечной и притом достаточно короткой десятичной дробью, д!злжцы гл.

и! ВВедение В чнслвнныв методы быть округлены и, следовательно, не могут быть представлены в машине точно. Улучшение технических средств может увеличить точность, но не может ликвидировать эту проблему. Не следует думать, что здесь речь идет о недостатках именно машинного представления чисел. Поскольку невозможно изобразить бесконечное число знаков, представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью должно быть округлено.

Конечно, мы можем (и часто это делаем) обозначить встречающиеся нам числа отдельными символами, такими, как г'2, и оперировать с этими символами, получая точные результаты вроде и У 2 — е'". Но употребить такой результат на что-нибудь, кроме сравнения с ответом в задачнике, можно, только если его вычислить или оценить, а следовательно, округлить. С другой стороны, можно попробовать ограничиться рациональными числами и действовать с ними, как с обыкновенными дробями. Но если нужно произвести не очень маленькое количество арифметических операций, это будет приводить к дробям с очень большими числителями и знаменателями, которые рано или поздно придется округлять.

Можно считать, что ошибки округления в численных расчетах столь же неустранимы, как и ошибки измерения в физике. Заметим, что возможности увеличения точности в принципе очень велики. Используя специально составленные программы, можно записывать числа и производить с ними арифметические операции с точностью, далеко превосходящей обычную рабочую точность ЭВМ (см., например, Дрейфус и Ганглоф Н2)), Однако и двести десятичных знаков обеспечивают только приблизительное представление чисел. Кроме того, применение подобных приемов увеличивает время счета до величин, не приемлемых для реальной работы.

Поэтому для задач линейной алгебры этот подход не имеет практического значения. Рассмотрим два основных способа приближенной записи чисел. 1) Представление с фиксированной запятой. Обозначим через Р,, множество чисел, которые записываются при помощи г десятичных цифр со знаком + или —, причем ! цифр расположены после запятой, т. е. изображают дробную часть.

Множество Р„, конечно, хотя при большом г и очень велико. Вещественное число а можно приближенно представить числом из Р, „если целая часть а меньше чем 1О" ' или, иначе, может быть записана г — ! десятичными цифрами. В этом случае или а ~ Р, о или в Р,, существуют числа а' и а" — ближайшее снизу и ближайшее сверху к числу а. Если 1а — а' ~ ~ ~ а — а" ), то приближенным представлением а числами из Р„, считается а', в противном случае — а".

Число а лежит в интервале (а', а") и потому находится не дальше чем на — (а — а'), хоть от одного из его концов. Очевидно, что 1 а" — а' 1О-!, Отсюда следует б 1, ВВВДВНИВ пз П р едл о же н не 1. Если число а приближено числом й из Е, н то модуль абсолютной погрешности [ а — й [ не превосходит — 1О-'. 1 2 2) Представление с пловшошей запятой. Пусть [х — число из полуинтервала [0,1, 1), принадлежащее множеству Е»», а й— целое число, по модулю не превосходящее р.

Мы обозначим через Е», множество чисел вида -1- [» 10". Нуль также включается в Е» . Число )х называется мантиссой, а й — порядхом числа из Е» р. Если число а по модулю меньше чем 10» и больше чем 10 р, то оно может быть представлено числом й из Е», . С этой целью оно записывается в виде -+- т 1О', где т ен [0,1, 1), а Ь вЂ” целое число. Затем т приближенно представляется числом [«из Е»». При этом абсолютная погрешность а — а по модулю не превосхо- 1 дит — 10"-». Для модуля относительной погрешности имеем 2 — — — 10'-", Ш -» 1О»- 2[»1 = 2 1ей г2 поскольку т ' =.10.

Итак, справедливо П р е д л аж е н и е 2. Если число а может быть приближено числом из Ею, то относительная погрешность, с которой вто 1 может быть сделано, по модулю не превосходит — 10' ", где й— число разрядов в мантиссе. Каждая из форм записи чисел имеет свои преимущества. При представлении чисел с фиксированной запятой арифметические операции выполняются быстрее, но диапазон чисел, представимых в такой форме, значительно уже. Представление чисел с плавающей запятой распространено значительно шире именно из-за возмож- ности представить в такой форме числа, сильно различающиеся по величине.

Подробнее об этом можно прочесть, например, в книге Воеводина [б]. Нужно четко представлять себе, что обычные арифметические операции не являются операциями на множествах Е„л или Е» поскольку результат такой операции, примененной к элементам какого-либо из этих множеств, этому множеству, вообще говоря, не принадлежит. Поэтому строятся, по существу, новые операции, приближешю изображающие обычные арифметические операции.

Характеристики

Список файлов книги