Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 22
Текст из файла (страница 22)
П р е дл о ж е н и е 4. Для вещественной мшприць! А компонентные матрицы, соответствующие комплексно сопряженным корням, удовлетворяют условиям Я У!/ !/ Если же корень Х! вещественный, своп!ветел!вующие ему матрицы Я!/ вещественны. Доказательство. Мы видели в з 2, что Я!/ —— й,/(А), где многочлен /!!/ степени ~ й — 1 определяется условиями <, и 11, 1=/и и '1 О! 1Фт или г~/. сО1 Э К ЛОКАЛИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ Комплексно сопряженный ему многочлен удовлетворяет условиям йс — и с 1, 1=т и г=с', ~ О, 1эьт или г~)й (8) Многочлен й; также удовлетворяет условиям (8).
Из предложений 6 и 6 э 3 мы видим, что многочлен й;, однозначно определяется своими значениями на спектре А, Поэтому й- = йсс. Такое же сс рассуждение показывает, что для вещественного корня Л, (равного своему сопряженному) меогочлеп й„удовлетворяет условию й„= й,с, т. е.
является вещественным. Подставляя в многочлены й,с вещественную матрицу А, мы получаем доказываемое утверждение. Обозначим сумму, заключенную в квадратные скобки в (6), через сгс = 5с + сТс и рассмотрим два слагаемых в (6), номера которых 1 и 1 соответствуют паре комплексно сопряженных корней. Если Ас = а, + с()„то е с' =е"с (соз КС+с з(п йс(). СУмма выбранных нами слагаемых равна 2)се(е с Йс), т. е. 2е с' (сох йс(5с — з(п ()сСТс), (9) где 5, и Т, — матрицы, элементы которых — многочлены от 1 с вещественнымси коэффициентами.
Слагаемое в сумме (6), соответствующее вещественному корню, имеет тот же вид с учетом того, что Ас = а, и ()с = О. Оно равно (10) Окончательное выражение для ес" будет получено, если мы просуммируем выражения вида (10) для всех вещественных корней и прибавим к результату сумму выражений вида (9) для всех пар комплексно сопряженных корней, $ 6.
Локализация корней характеристического многочлена 1. Введение. Задача локализации характеристических чисел матрицы состоит в нахождении условий и оценок, позволяющих по элементам матрицы указать приблизительно расположение корней ее характеристического многочлена на комплексной плоскости. В принципе, конечно, по элементам матрицы характеристические числа могут быть указаны точно, но точные значения не всегда нужны, и уж во всяком случае предлагаемые оценки должны быть проще, чем рещение характеристического уравнения. Говоря о локализации характеристических чисел, следует иметь в виду, что они инвариантны и, следовательно, применение какой-либо локализационной теоремы к матрице 5 'А5 вместо матрицы А указывает расположение тех же самых чисел, но может дать более точную (или менее точную) оценку, Хороший выбор матрицы 5 102 ГЛ. П.
ТЕОРЕМА ЖОРДАНА. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ может дать прекрасную оценку, вплоть до точного указания кор. ней, но сам по себе затруднителен. Интерес к локализации характеристических чисел связан, во-первых, с ее применениями к различным задачам теории устой.
чивости обыкновенных дифференциальных уравнений и отсюда к широкому кругу практических задач. Во вторых, применение неко« торых численных методов решения задач (даже таких, казалось бы, не имеющих отношения к характеристическим числам, как системы линейных уравнений) требует хотя бы приблизительной локализации характеристических чисел рассматриваемых матриц. Тем более это относится к задаче нахождения собственных векторов и собственных значений, в которой предварительная локализация характеристических чисел значительно упрощает решение. Локализация характеристических чисел матрицы тесно связана с локализацией корней многочлена по его коэффициентам.
Однако нахождение характеристического многочлена затруднительно и не упрощает задачу. Скорее можно пользоваться много. численными результатами о локализации корней характеристического многочлена по элементам матрицы для локализации корней миогочлена по его коэффициентам. Для этого может быть построена матрица, для которой данный многочлен является характеристическим. Примером матрицы с характеристическим многочленом 1л+а 1л — 1+ +а 1+а может служить матрица О 1 О ...
О О О 1 ... О о о „, о ~( — а, — а„1 ... — аЭ вЂ” а,! Опз называется сопровождающей матрицей данного многочлена. Вше одна область, тесно связанная с локализацией характеристических чисел, — так называемая теория возмущений характеристических чисел. Ве результаты говорят о том, как изменятся характеристические числа и их кратности при небольшом изменении (Авозмущевии») элементов матрицы. из-за недостатка места мы не будем касаться здесь этих результатов, несмотря на их большое практическое значение. Оно связано с неизбежными погрешностями, с которыми нам известна исходная информация в любой практической задаче и со столь же неизбежныл1и погрешностями округления.
Кое-что по этому поводу будет сказано в н. 4 5 2 гл. 1Н, подробное изложение теории возмущений есть в книгах Ланкастера 1171 и Уилкинсона 133). Перечисленные выше связи локализации собственных значений с другими вопросами сделали ее большим разделом линейной алгебры, богатым разнообразными результатами. В рамках общего а ь. локАлизАция хАРАктеРистических чисел 103 образования едва ли стоит подробно изучать их все, но с наиболее простыми и важными теоремами мы сейчас познакомимся. 2. Оценки для модулей характеристических чисел.
Дадим О п р е де л е н и е. Пусть Лн с = 1, ..., э, — характеристические числа матрицы А. Число ЛА = псах ! Л; ! называется сссентральным радиусом матрицы А. Очевидно, что спектральный радиус — вещественное неотрицательное число, н его обращение в нуль равносильно нильпотентности матрицы. П р едл о ж е н и е 1. Если норма с! в !! ооладает кольцевым свойством, псо саектральный радиус лсатрис1ьс Л не превосходит нормы этой матрицьс: Лл -=- !! Л !!. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Л, — то характеристическое число, для которого ! Л, ! = Лл, и пусть Л' = Лсв, 3 Ф О.
Обозначим через Х квадратную матрицу порядка п, у которой первый столбец равен в, а остальные столбцы нулевые. Очевидно, что АХ = Л,Х. Переходя к нормам правой и левой частей равенства, имеем (Л, ! !!Х!! =-!!ЛХ!!-"!!Л !! !!Х!!. Так как !!Х !!) О, отсюда следует доказываемое неравенство. Применяя предложение 1 к различным нормам (см. 5 4 гл. 1), мы получим следующие оценки для модуля произвольного характеристического числа: а) Ж б) , ')м ! ~ и снах,! аи !, сс в) !Л»/=.-гпах~ !ан!, с сс Л» , 'гпах .У,,' а„!, с г) ! Л„! ( а, для спектральной нормы (здесь а„— максимальное сингулярное число матрицы А).
Последнее неравенство может быть дополнено нижней оценкой. Именно, имеет место П р е д л о ж е н и е 2. Модули характеристических чисел ма- трпцьс А ванлюченьс между ее напменыиим и наибольшим сингуллр- ньыщ числами. Для доказательства рассмотрим столбец в, удовлетворяющий словию Лй = Л»чь. Пусть, как всегда, В' = $г и !! В 1Р = в"в. ' 1ы будем предполагать, что !! в !! = 1. Тогда !Л, »=!!Ай!»-(Л$)*Ай=2~(А*Л) $. С другой стороны, согласно формуле (9) $ 2 гл. 1, величина В" (А»А) $ при !! В !! 1 заключена между наименьшим и наибольшим ха- 104 Гл,и.
теОРемА жОРдАнА.Функции От мАтРиц рактеристическим числом матрицы А»А, т. е. между а,' и а'„, где а„и а, — минимальное и максимальное сингулярные числа. Это приводит нас к неравенству, равносильному доказываемому утверждению а„* ( ! Х» Р = а,'. 3. Оценки для вещественных и мнимых частей характеристических чисел. По существу тот же прием сведения к некоторой эрмитовой матрице, который применялся при доказательстве предложения 2, можно применить к доказательству следующего утверждения.
П р е д л о ж е н и е 3. Пусть матрицы 5 н Т определены равенствами 5 = — (А+ Л*) и Т =- —, (Л вЂ” А*), Тогда для любого ! 1 характеристического числа Ач матрицы А и, «=. 1! е А! ( р„, ч! ( 1гп )ч ( У„, где р„у, и р„, у„— соответс!пвенно мином льные и максимальные характеристические числа матриц 5 н Т. Докажем первое неравенство. Пусть Ав = й!в и !! а !! = 1. Тогда ~*А" = ХД», и мы имеем а»5$ = — (Е*Аф+ ф*Л»$) = — ($ "А.ф+ '*А ф) = ((ке Л;) й "ф = Ке Л!. Но при !! ф !! = 1 число $"5э заключено между р, и р„.
Второе неравенство доказывается аналогично. рассматривая матрицу А как комплексную, мы можем воспользоваться теоремой 1 3 3 гл. 1, согласно которой найдется такая унитарная матрица У, что матрица )»' = У 'А У является верхней треугольной. Диагональные элементы 14 — характеристические числа А! матрицы А. Унитарную норму матрицы Я можно вычислить так: )йЬ= Х г!!ГО= Х !Ас!'+ Х !Тц Р» ~ !)к!» Е,! ! !(! Но унитарная норма матрицы А не меняется при умножении А на унитарную матрицу слева или справа. Поэтому ! Л (й» ~„!Хг!» При этом равенство достнгается в том я только том случае, когда все ги — — О (! ( !), т. е. матрица»( диагональна, и, следовательно, А — нормальная матрица. Получим некоторые следствия из неравенства (1).
Пусть У' обозначает Уг. Тогда для унитарной матрицы У имеем У* = У ', и потому )чч = (У*АУ)* = У*А*У. Отсюда для матрицы 5 из предложения 3 У 5У=,' У*(А-! А*)У= — '(Л+Л ). 2 $ $. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 10$ Диагональные элементы матрицы — Я+ сгл) равны йе Лс, = 1, ..., а, и для унитарной нормы матрицы 5 мы находим л л )5Ъ=,~~ !ЙЕЛс!'+ ~ ~, (асс+Ь)» ~~' 1ЙЕЛс12. с ! с~с с ! Аналогично доказывается, что л ) Т )Ь» '5, '~ 1гп Лс !2, с=! где матрица Т определена в предложении 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
