Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Добавляя к алгебраическим операциям с матрицами операцию предельного перехода, мы сможем пределять сумму матричного степенного ряда. Функппи, представимые как суммы степенных рядов от матрицы, мы и будем изучать. Для чтения этого параграфа необходимо знакомство со степеннымп рядами от комплексной переменной, например, в объеме 5 37 т. 1 книги Кудрявцева 1161. 2. Регулярные функции от матриц. Пусть заданы комплексная числовая последовательность (аь) и квадратная матрица А. Формально написанная сумма а,Е+ а,А+ а,А'+...
или в другой записи ,У', алА" ь=а называется степенным рядом относительно лщтрицы А. Конечные суммы вида М 'Я алА» ь-о называют частичными суммами ряда (1). тй гл и тгогкмз жогдхиз етнкции от млтгиц Выберем в пространстве квадратных матриц порядка л некоторую матричную норму, Для целей этой главы достаточно считать, что 1 А 1= н хпах1ат ~. (2) ь/ Ряд Щ называется сходящимся к матрице г, если к ней схо. дится в выбранной норме последовательность частичных сумм этого ряда, т. е. для каждого числа е) О найдется номер Л' (з) такой, что для всех йг'- уо (з) выполнено неравенство ! г — ~ ~'~~( .
«=о Если рид (1) сходится к матрице г', мы будем называть г суммой ряда н писать г'= ~ поАо Определение суммы степенного ряда легко распространить на ряды вида соо(А — Ао)'~ о=о где А, — фиксированная матрица. Ввиду легкости перехода от рядов такого вида к рядам вида (1) и обратно мы в основном будем рассматривать ряды вида (1).
В э 4 гл. 1 доказано, что сходимость последовательности матриц по какой-либо норме равносильна поэлементной сходнмости. Поэтому мы можем рассматривать матричный степенной ряд как и' числовых рядов. о Каждая частичная сумма — матрица, равная значению много- члена с коэффициентами а„..., аэ на матрице А. Естественно, что и сумма ряда, если ои сходится, зависит от А. О и р е дел е н н е. Пусть Ж и У вЂ” множества комплексных квадратных матриц порядка и.
Функция на множестве $ со значениями в множестве У называется регулярной, если существует степенной ряд, сходящийся на Ж, такой, что для каждой матрицы А из й выполнено 1(А) =,У, ото(А — 4о)о о 0 Важное свойство регулярных функций от матриц содержится в следующем предложении. % з, етнкции от м»тпиц П редло жен ив !. Пуст» !'(А) =,'»,' а»А». Тогда для любой невырожденной литрицы 5 выполнено равенства 5-'!'(Л) 5 = ~ а» (5 'А5)».
»=о Д о к а з а т е л ь с т в о. (5 'А5)' = 5 'А55 'Л5 = 5 'А'5. По индукции легко проверить, что и при любом й инеем (5 'А5)» = = 5 'А'5. Отсюда для частичных сумм ряда получаем ( л ! л 5-1 У»А»! 5 = Х (5-1А5)» о»=о» о Предложение будет доказано, если докажем правило вынесения постоянного правого множителя за знак предела !пп (Рн5) =!' (пп Рн) 5 К о> ~„Ю аэ и аналогичное правило для левых множителей. Доказательство этого правила вполне аналогично известному из анализа доказательству. Пусть !пн Рн =Р. Оценим норму разности Рн5 — Р5: ! Рн5 — Р5 !»- ! Рог — Р К 5 !. Видно, что зта норма будет меньше а при (~ Рл — Р ~! е' = гДо 5 1~. Но по определению 1~ Рн — Р о' (з для всех У) ) А'„(е').
Для левых множителей доказательство почти ве отличается от приведенного. Рассмотрим линейное пространство Х„ с выбранным в нен базисом и. Пусть А в лииенное преобразование пространства Х , имеющее матрицу А в данном базисе. Если А' — матрнва А в базисе е' = е5, то, согласно предложению 1, ~ (Л') = 5 'г (А) 8. Поэтому матрицы ! (А') и г' (А) определяют одно и то же линейное преобразование, каков бы нн был базис е', й)ы»езжем считать преобразование с матрицей ~ (А) значением функции 7" на преобразмакии А и обозначать его !' (А). 3. Исследование сходимостн матричных степенных рядов. Предложение ! открывает нам возможность исследовать степенные ряды от матриц, упрощая их заменой матричного аргумента А иа матрицу 5 'А5.
Предложение 2. Пуст» А =й(ад(А„..., А,). Тогда для любой регулярной функции !"., определенной на матрице А, !' (А) = п(ай () (А,), ..., !'(А,)). Действительно, как указывалось иа стр. 73, при возведении клеточно диагональной матрицы в степень получается илемочио диа- 80 Гл. сь теОРемА жоьдкнА Функции от млтеиц тональная матрица из степеней диагональных клеток. Так как сложение и умножение на число для матриц определены поэлементно, для любого многочлена р имеем р(А) = с(!ай(р(А!), ..., р(А,)). Далее, поскольку норма (2) матрицы не меньше, чем норма любой ее клетки, неравенства ) рн (Ас) — ) (Ас) ~,'(е выполнены, начиная по крайней мере с того же номера, что и нера- венство ) рн (А) — ~ (А) ~! ( е. Это заканчивает доказательство-предложения. Если нам дана некоторая квадратная матрица А порядка и мы можем сопоставить ей линейное преобразование А, имеющее данную матрицу А в некотором базисе и.
Пусть теперь 5 — матрица перехода от базиса е к базису, являющемуся объединением базисов корневых подпространств преобразования А. Тогда, как известно, Л'=5-'А5= с(сай(А„..., А,), где А„..., А, — матрицы ограничений А на корневых подпрост- ранствах. В силу предложения 2 теперь получаем с(А) =5!(А) 5-с = 5 йсад()(А!), ..., с(А,)) 5 '. (3) Результат может быть сформулирован так: П р е д л о ж е н и е 3. Регулярная функция с' определена на матрице А линейного преобразования А тогда и я!олька тогда, когда она опреоелена на масприцах А; ограничений А на его корневых подссроепсранствах.
Значение ((А) может бьсспь найдено по формуле (3). Рассмотрим теперь корневое надпространство Юс размерности тс, соответствующее корню Ц. Мы видели, что линейное преобразование 8; — ограничение преобразования А — Х;Е на Л'!в нильпотентно, и его показатель нильпотентности яс равен кратности корня )ч в минимальном многочлене. Преобразование Вс имеет матрицу В, = А, — ).сЕ, где Е, — единичная матрица порядка спь Таким образом, матрица А, представима в виде суммы А!=В!+ХЕ Матрица Е . коммутирует с Вь как и с любой матрицей того же порядка. Поэтому г-я степень матрицы А, может быть записана по формуле бинома Ньютона, (Напомним, что для коммутирующих матриц правила действий с многочленамн такие же, как и для В1 э 3 Функции от мхтРип чисел.) Если С~ — биномиальные коэффициенты, то Г А; = (В;+ );В.,)' =;У', С',В,'М-'.
/-О В салу нильпотентности матрицы В„в этом разложении могут отличаться от нуля только члены со степенью 1 ( йн и для г --: й, мы имеем и — ! 1 А( = ~ С,'Х~ ~В~~, г=о Выяспнм условия, при которых сходится ряд ~ а,А(. =О Любая частичная сумма этого ряда ие содержит В; в степени, большей чем Ц вЂ” 1. Мы можем сгруппировать члены, содержащие одну и ту же степень В; в Ц групп О,-! О где Вспоминая выражение для бнномиального коэффициента С',, мы получаем о; = —, ~ а,г(г — 1)... (г — )+1))ч Рассмотрим теперь скалярный степенной ряд от комплексной переменной 1(ь)= Х ОО.к' (5) О Допустим, что точка Х; лежит внутри круга сходимости этого ряда. Тогда, как известно, ряд может быть почленно продифференцирован в этой точке любое число раз. )хя производная функции ) ($) в точке Х, имеет вид СО )~л (Ц) = ~ а г(г — 1)...
(г — ) +1) 1ч О ! ая теоов/а/! жоядаиа, Фз'нкпии от матег!ц Число он/ только множителем отличаетсн от 7!/-й частичной суммы ряда для 7//! (Л!). Позтому о - —.-1!г! (Л!) при /У-~-со. н ! / Отсюда следует, что и о-! х — ! ~~ а,А! = ~~ о/ В/-» ~~ — !/!п(Л/)В( (о) г=о /=о /=о /1! Действительно, если обозначить !-. !/'<»(Л;) чеоез о/, имеем (/ц!/ ! !о! — ! о/ — ! ~ ~; о";В; '— У', о В; '~~Х', ~о/ — о/~((В!/(» , !'=о /=о ~шах(В/) Х !о/ — о/!. (7) / Но для каждой из й/ последовательностей (оД при любом а' » О найдетсЯ помеР Л/о/(г'), начинаЯ с котоРого /о, — ог~(е'.
Дли того чтобы правая часть неравенства (7) была меньше е, доста. точно выполнения неравенства М ~ шах /ч/ (г'), где з' = / =е)(гпах1В(~! Я!'/. / В результате мы имеем СО о.— ! ! ,"~ а,А;= ',~ — '. 7'"(Л,)В~ »=о /=о или, заменяя В! на А! — Л/Е, о,.— ! ПА,) = 'ӄ—,'. 7! ! (Л,) (А -Л,ЕУ. /=о Соотношение (б) показывает, что для сходимости ряда (4) достаточно, чтобы число Л! лежало внутри круга сходимости ряда (5). Если же Л! лежит вне круга сходимости, то не имеет предела уже последовательность (оо"). Позтому для сходил!ости ряда (4) необходимо, чтобы Л/ лежало или внутри круга сходимости, или на его границе.
Воспользуемся предложением 3 и формулой (3) для того, чтобы перейти от матриц А; к исходной матрице А. Мы получим следующий результат. Т е о р е м а 1. Для того чтобы рггулярная функция /, задаваемая рядом (5), была определена на ма/праце А, достаточно, чтобы корни характеристического многочлена матрицы А лежали внутри з з етнкции от мхтгиц круга схтьдамости ряда (8). Необходимым условием является прпнадлеясносте этих корней замыканиьо круга сходимости. При этом, если 5 — матрица перехода к базису, который расположен в корневых подпроспгранствах соответствуюьцего А преобразования и А = 5 б1ай (А„..., А,) 5-', то Ь,— 1 ~(А)=5б(ай ~ —,Р~(г~)(А — ) Е)~, °" э=О ь — 1 Ю ..., д -'.рггьььь,— ььг~ь' !=О (8) П р и м е р 1. Приманим формулу (8) к матрице простой структуры, Для нее кратности 4 корней в минимальном мпогочлене равны единице и в формуле (6) останутся только члены с В', = Е„,,: ~~ агА;= ~', а,ЦЕ,-ь-~(Х;) Е,.
г=О г=О Мы находим П р и м е р 2. Рассмотрим фуикц|по от матрицы, состоящей из одной жордаиовой клетки, например, четвертого порядка: А = 0 оа ~х 1 Для иее матрицы В, Ва и ВО равны соответственно ~о о 1 о ооо~ ° оооо оооо 1 о 1 о о о о о о Далее по формуле (3) находим ~(А) = 5 б(ай (~ ()и) Е„,, ..., г (Х,) Е„) 5-'. В частном случае, когда А — диагональная, г (А) есть также диагональная матрица, получаемая из А заменой каждого диагональ-, ного элемента Ц на число ( (Ц).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
