Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Разумеется для некоторых х окажется, что В" (х) = о прн й - 1, Обратим внимание на то, что все собственные значения нильпотентного преобразования равны нулю. Действительно, для собственного вектора х имеем В' (х) = Х'х = о, откуда Х *= О. Поэтому для нильпотентного преобразования все собственные векторы вместе с нулевым вектором составляют ядро Кег В. П р е д л о ж е н и е 1 !. Пусть  — нильпотентное преобразование и для векторах при некотором й выполнены условия В" '(х)М Ф о и В" (х) = о.
Тогда векторы х, В(х), ..., В" '(х) линейно независимы. Для доказательства предположим, что векторы линейно зависимы н а; (1 ~ О) — первый отличный от нуля коэффициент в их нулевой линейной комбинации а,х+...+а;В' (х)+...+аА,В"-'(х) =о. (5) Из условия следует, что 1 ( й — 1, и мы вправе рассматривать преобразование В" *' ". Подействуем им на обе части равенства (5). Мы получим аВ" ' (х) = о, откуда следует и; = 0 вопреки предположению.
Предложение доказано. С л е д от в и е !. Любой набор векторов х, В (х), ..., ЕУ (х), кончающийся ненулевым вектором, линейно Независим, так как он может быть расширен до линейно независимого набора. С л е д с т в н е 2. Показатель нильпотентности не превосходит размерности пространства. О и р е д е л е н и е. Подпространством, циклическим относи.
тельно ннльпотентного преобразования В, мы назовем линейную оболочку векторов х, В (х), ..., В" ' (х), если В" ' (х) Ф он В* (х) = = о. Мы будем говорить, что циклическое подпространство порождается вектором х. Согласно предложению 1 указанные в определении векторы образуют базис в циклическом подпространстве.
Мы назовем этот базис циклическим базисом (порождаемым вектором х). Г! р едл о же н не !2. Пусть И вЂ” циклическое надпространство размерности й, порождаемое вектором х. Тогда при г .-,й подпространство В' (Б) циклическое. Оно порождается веюпо- й) ГЛ.
и. ТЕОРЕМА ЖОРДАНА. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ ром В'(х) и имеет размерность й — г. Если же г ~ й, та лодлространспрво В'(Б) нулевое. Доказательство. Пусть у=арх+а!В(х)+... „+ О„,В" ' (х) — произвольный вектор из Б. Тогда в силу ВА (х) = о образ вектора у имеет вяд В(у) = а„В (х) + ... ...1+ ОА рВ" ' (х). По предложению 1! векторы В (х), ..., В" ' (х) составляют базис в В (Б). Поэтому В (Б) — циклическое надпространство, порождаемое вектором В (х), и б!ш В (Б) = Ь вЂ” 1, если только й > 1. Применяя этот результат последовательно г раз, мы получим нужное заключение. С л е д с т в и е. Каждое иикт!чссяое иодиространипва инвариантно относительно преобразсеанич В. Действительно, из предложения !2 имеем В (Б) ~ Б.
й 2. Жорданова нормальная форма 1. Корневые подпространства. Мы будем рассматривать комплексные линейные пространства, хотя частично наши результаты будут справедливы и для вещественных пространств. Собственно, Нам потребуется предположение, что минимальный многочлен изучаемого линейного преобразования допускает следующее разложение на множители: Вдесь натуральные числа й„..., й, — кратности корней Л!, ..., Л,.
Йх сумма й! + ... +й, равна степени минимального многочлеиа. Корни Л„..., Л, мы предполагаем попарно различными. Любой многочлен имеет разложение вида (1), если в качестве Л! допускаются комплексные числа. Поэтому дальнейшие результаты будут справедливы для любого линейного преобразования в комплексном пространстве и только для тех линейных преобразований в вещественном пространстве, у которых минимальный много- член имеет лишь вещественные корни. О и р е д е л е н и е, Корневыми под!рространстеа~ии преобразования А называются подпространства й'! = Кег (А — ЛрЕ)А', 1 = 1, ..., з, где числа Л! и й! определены разложением (1) для минимального многочлена преобразования А.
П р едл о ж е н н е 1. Корневые лодпространства преобразования А инвариантны относительно этоса преобразования. )с,йя1дый многочлен от А перестановочен с А. Поэтому ядро йюбдЯ~ногочлена от А будет инвариантно относительно А (предложен е 1 $ 3 гл. 1). В частности, это относится к многочленам (А — ЛрЕ)А!.
Нап(а ближайшая цель — доказать теорему о разложении пространства х„в прямую сумму корневых подпространств. Для , это(м цу)щ)й Бстайдвйться на свойствах прямых сумм, 5 а ЖОРЛАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА В К., п. 3 ч 2 гл. Ч1 было дано определение прямой суммы двух подпространств. Так была названа сумма подпространств Х' + Х при Х' () Х" = о.
На произвольное число подпространств это определение распространяется так: О п р е д е л е н и е. Сумма подпространств Х 1'1+ ... + Я<4 называется прямой суммой и обозначается о'1" 8 ... 9.О1'1 илн О+ Х"1, если 1=1 .ом1П У, '.о1" =ОдЛя ВСЕХ А=1, ..., З. 1фй Легко видеть, что в этом случае Х'"(Э...О+Я'~'=(2ч" Я...ЯХи-11)1зЯ ло1, 1=2, ..., з. Используя эту формулу и свойства прямой суммы двух подпрост- ранств, по индукции нетрудно доказать, что объединение базисов подпространств Х1'1 образует базис в их прямой сумме.
Отсюда, в частности, следует, что размерность прямой суммы равна сумма размерностей слагаемых, Каждьш вектор суммы подпространств раскладывается в сум- му ~х1, где х, ен Х"'. В случае прямой суммы такое разложение единственно. Действительно, из существования для вектора в двух различных разложений такого вида х = ~,х1 = ~~~у1 выте. кало бы, что,Я~ (х1 — у,) =о, а из этого равенства нетрудно полу- чить линейную зависимость векторов из объединения базисов подпространств Х1и.
Предоставим читателю проверить, что все перечисленные здесв свойства прямой суммы являются характеристическими, т. е. рав- носильны определению прямой суммы. Т е о р е м а 1. Если А †линейн преобразование комплексного линейного пространства й:„, то .Є— прямая сумма корневых подпространств Я."1 преобразования А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем для краткости разложе- ние (1) минимального миогочлена преобразования А в виде р ~ = Ь,Ь,...Ь, и обозначим через ут частное от деления р на Ью т.
е. у,=Ь,...Ь,,Ь„,...Ь,. Так как ни один корень ие является общим для всех многочленов уи ..., у„они взаимно просты в силу предложения 3 й 1. Поэтому, согласно предложению 5 $ 1, р = НОК (Ь„..., Ь,). Поскольку Кег р (А) = Хт из предложения 7 $ 1 имеем 8 3 Х.=Х Кегь1(А)-Х ЗГ1. (2) 1 1 1 Аналогично доказывается, что Кетури,У~ Юм 1Р-1 ВА ГЛ. Щ ТЕОРЕМА ЖОРДАНА. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ Многочлены Ь~ и д взаимно просты. Поэтому, согласно следствию нз предложения 8 э 1, Ю~ П Кег аг = о. Таким образом„сумма (2) прямая, н теорема доказана.
Пусть е — базис пространства о„, являющийся объединением базисов корневых подпростраиств. Как нетрудно. доказать (ср. К., п. 2 4 4 гл. Ч1), инварнантность надпространств Ю; приводит к тому, что матрица прсооразования А в базисе е имеет вид, который называют блочно диагональным или клелючно диагональным: (3) Здесь Л„..., Л,— квадратные матрицы порядков гпи ..., т„ равных размерностям корневых пространств. При этом а, + ... ...+ т, = и. Матрицы А; (1 = 1, ..., з) являются матрицами ограничений преобразования А на подпространствах Юь Клеточно диагональную матрицу (3) мы будем записывать также символом д(ан (А,, ..., А,).
Детерминант клеточно диагональной матрицы С = 81ан (С„ ... ..., С,) равен произведению детерминантов диаеональных клеток С„ ..., С,. Для доказательства этого предложения индукцией по порядку матрицы достаточно разложить детерминант матрицы С по первой строке и применить предположение индукции к каждому минору в полученном разложении.
Используем этот результат для вычисления характеристического многочлена преобразования А. Пусть А — матрица А в базисе, являющемся объединением базисов корневых надпространств. Тогда д (Л) = бе1 (А — ЛЕ) = Д де1 (А~ — ЛЕ .), [ ! (4) где Š— единичная матрица порядка ть Таким образом, характеристический многочлен преобразования равен произведению характеристических многочленов его ограничений на корневых подпространствах. Рассмотрим какое-нибудь одно корневое надпространство Ю, = = Кег (А — Л;Е) "И Пусть (А — собственное значение ограниче ния А на этом подпространстве, а х — соответствующий собственный вектор. Подействуем на вектор х преобразованием А — Л;Е, Мы получим (А — Л~Е) (х) = А (х)-Лех =рх-Лех ((А-Ле) х.
Отсюда вьпекает, что (А — ЛеЕ)~т(х) ()А — Л~)'юх О. З 2.ЖОРДАИОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА Или, поскольку х ~ о, Таким образом,мы видим, что все корни характеристического мно. гочлена ограничения А на Л'~ совпадают с Х;, и потому этот характеристический многочлен имеет вид р, (А) = (),, — ).)-~. Согласно формуле (4) находим характеристический много- член А д().) =(л, — )) ...
().,— л)". Отсюда вытекает П р е д л о ж е н и е 2, Множество корней минимального многоч гена преобразования А совпадает с мновкеством корней его характеристического многочлени. Кратности корней в характеристическом многочлене равны размерностям корневых надпространств. Обозначим через В~ ограничение преобразования А — гчЕ на корневом подпространстве Юн соответствующем корню )ч. Тогда, согласно определению корневого подпространства, В; нильпотентно и показатель его нильпотептности не превосходит кратности д, корня )ч в минимальном многочлене.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
