Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В нем, как и в любом линейном простран- стве, могут быть введены различные нормы. Нас будут интересо- % 4. нОРмиРОВАнные НРостРАнствА вать те из них, которые связаны с нормами столбцов и с тем обстоя- тельством, что элементы пространства — именно матрицы. Дальнейшее изложение проводится для вещественных матриц. Для комплексных матриц возникают очевидные незначительные раз- личия. Например, евклидова норма заменяется унитарной нормой, ортогоиальные матрицы — унитарными. О п р е дел е н не. Норма в й „называется согласованной с нормами в арифметических пространствах сЯ„, и РЯ'и, если для любой матрицы А и любого столбца ~ ен РЯ.'„выполнено !! Ав(» ! А11е !.
(7) Здесь Ав и 5 — столбцы высоты соответственно т и и, и в нера- венство входят их нормы, выбранные в пространствах сЯ и ОЯ'„. Покажем на примере, что согласованные нормы существуют. Именно, рассмотрим функцию от матрицы А ен лг,„: ф(А) =зпр — ' 1з! (8) Поскольку 11 А в 11/ 11 и 11 = 11 А $' 11, где й' = 11 й 11 '~, функция ф может быть записана также и в виде ф (А) = зпр ! А в !. (9) ~4.'!= 4 П р е д л о ж е н и е 8.
Функция (8) определена и является согласованной нормой в .Р „, каковы бы ни были нормы, выбранные в еЯ' и еЯ'„. Существование точной верхней грани будет установлено, если мы докажем ограниченность отношения 11 Ав 11/ 11 ~ 11. Используя теорему 1, мы можем написать ! Ав ! ( а ! А в 1„= а )~ ~ ~ аф ( а гп ах ! $l ! ~ ! а! ! = р !1 в ~ ~ у ! й !. Отсюда 11 А в 11 / 11 в 11 ~ у. Проверим условия, входящие в определение нормы.
1) Выражение 11 А в 11/ 11 $ 11 неотрицательно, и потому ф (А) ) О. При этом ф (А) = О тогда и только тогда, когда 11 АЦ 11 = О для всех й. Но условие 11 Ав 11 = О равносильно Аи =- О и выполнено для всех и в том и только том случае, когда А = О. 2) Из тождества (ЛА) в =. Л (А и) следует 11 (ЛА) в 11 — ! Л ! ° ! Ай !1. Нетрудно доказать, используя определение точной верхней грани, что при умножении всех элементов множества на неотрицателыл ное число точная верхняя грань множества умножится на это число: зпр 1Л!!Ав)=!Л1зпр !А$1,Этим будет доказана положиВ$=~ В! тельная ' однородность функции ф (А).
3) Для любых А и В и 11 в 11 = 1 имеем !(А+ В) $)=!А~+ Вй)=-!Ай!+!Вй1, ГЛ. Е ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ )Е1» 1. Кроме того, из кольцевого свойства вытекает, что ) А»1() А )» для любого натурального я и )А-'1») А)-'. (13) Докажем также следующее П р е д Л о ж е н и е 10. Любая индуцированная норма в ЫЕ„» сохраняет единицу и обладает кольцевым свойалвом. Первая часть предложения очевидна. Вторая вытекает из следующей ЕФенки, в которой еще раз используется свойство точной (11) (12) а в качестве общего свойства точной верхней грани можно доказать, что (р+ц)= ц (р)+ р(ц), РЕР, «ЕО Р е если Р и 1г — множества вещественных чисел (ср. Кудрявцев Пб!, т.
1, стр. 26, упр. 1). Таким образом, функция (8) является нормой. Докажем, что она согласована. Действительно„при $~ 0 по определению точной верхней грани !~ Ай ~~/ ~~ ~~!,' ~ «с (А), откуда ,'! А' ~~ ==«р (А)Д 11. О п р е д е л е н и е, Норма в»» „, определяемая формулой (8), называется нормой, индуцированной нормалш в пространствах атс и е»»'„, илн просто иноуцированной нормой.
П р е д л о ж е н и е 9. Каждая согласованная норма л;алкорирует индуцированну»о норму. Б самом деле, согласованная норма матрицы А является верхней границей для отношения ~~ АВ ~~/ ~~ Е ~~, а верхняя грапь— наименьшая нз верхних границ. Поэтому индуцированная норма матрицы А не превосходит любой ее согласованной нормы. Дадим определение двух важных свойств норм матриц. Если норма в пространстве квадратных матриц М„» обладает тем свойством, что )! Е !) = 1, то говорят, что она «сохраняет единицу». Легко видеть, что для любой нормы ц~ в «»„» среди норм вида ор одна и только одна норма обладает этим свойством.
Нормы в пространстве Ф„н удовлетворяющие при любых А и В условию 1АВ( =.(А) 1В(, (1О) называются матричными или кольцевыми нормами. Мы будем придерживаться последнего термина, хотя он и менее распространен, для того чтобы избежать трудно воспринимаемой на слух ситуации, когда норма матрицы не является матричной нормой.
Условие (10) будем называть кольцевым свойством нормы. Легко видеть, что дая кольцевых норм 1~ А 11 =- 1~ Е ~! ~! А !1, откуда $ «. нОРмиРОВАнные НРОстРАнствА верхней грани, примененное в доказательстве предложении 8« !АВ1= знр (А (В5)!( зпр !А!-(ВЦ=1!А! знр 1В$! =1А1 ° Щ ~аг=« !Ы=! мн « Обратим теперь внимание на то, что неравенство (10) может иметь место и в более общем случае. Достаточно считать, что матрицы А н В прямоугольные и имеют такие размеры, что определено нх произведение (напрнмер, А ен лх „, В ев лм„,,). Тогда нормы в трех матричных пространствах й „, у„, и «ь, могут быть согласованы таким образом, что «АВ1«««((Л !«! В(п.
(14) Это свойство согласованности мы будем также называть кольцевым свойством. В частности, при 1= 1 свойство (!4) означает согласованность нормы !!в 11«с нормами 11 в 1!н и !! в !!«и в арифметических пространствах. Просматривая доказательство предложения 10, мы можем заметить, что имеет место следующее П р е д л о ж е н и е ! 1, Неравенство (14) справедлива при л«обых матрицах подходящих размеров, если нормы !! в 11гн и !1 в !1н явля«отся индуцированньаыи, а норма 11 в 1й — согласованной. В связи с определением нндуцированной нормы естественно возникает интерес к точной нижней грани д (А) =! п1 (15) $~0 ,'$1 ' Она существует, так как множество чисел вида 11 Л$11/ 11 в 1! ограничено снизу нулем.
Будем предполагать, что А — квадратная матрица, и для столбцов !1 в 11 и 1! Ай !! берется одна и та же норма. Тогда имеет место П р е д л о ж е н и е 12. Лусть 11 в 1! — индуцированная норма. Если де( А ~ О, то д(Л) = (!1 А ' 11) '. Если же бе1 А = О, то д(А) =О. Доказательство. Если де«АчьО, то выражение (15) можно переписать в виде гп1 (!! т) 1! / !! А ' т) !!), где Ч = АР„Заметим, что т) ~ О. Далее нужно сослаться на следующее свойство точных нижних и верхних граней числовых множеств: если множество Р состоит из положительных чисел, а множество «е — из всех чисел вида р ', где р ен Р, то 1п1 Я = (зпр Р) '.
Предоставим читателю проверить это. Отсюда мы имеем ! 1А «ч!« — « д(Л; зпр ~ч~ь «««1 и первое утверждение доказано. Второе утверждение очевидно, так как 1п1 11 Аф!)/,5 й!12:.«1в но пРи де1 А = 0 сУществУет ненУлевой столбец $в, длй котоРогб А$« = О. ГЛ. Ь ЛИНЕИНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 6. Наиболее употребительные нормы матриц. Посмотрим, какие нормы индуцируются в пространстве матриц теми нормами в арифметических пространствах, которые мы рассматривали в п. 1.
а) Пусть в арифметических пространствах выбраны евклидовы (или унитарные) нормы. Индуцированная ими норма носит название спектральной нормы матрицы. Это 1Ай( зир —., „'. Б~ь 1ь В предложении 8 5 2 мы видели, что для квадратных матриц эта точная верхняя грань достигается и равна максимальному сингулярному числу матрицы А.
Ниже мы увидим, что это справедливо и для прямоугольных матриц, но сначала докажем П р е д л о ж е и и е 13. Спгктральная норма матрицы не меняется при умножении этой матрицы справа или слева на ортогональную (унитарную) матрицу. Д о к а з а тел ь ст во. Умножение столбца на ортогональную матрицу не меняет его евклидовой нормы: )~ УБ ~~ = 1в ~1. Отс/ода следует, что спектральная норма ортогональной (как и унитарной) матрицы равна 1. Теперь в силу предложения 4 мы можем написать )УА) =)У((А)=(А) )А (=(У-1УА)~)У-'Ц (УА)=)УА), откуда следует доказываемое для левых множителей.
Для правых доказательство почти не отличается от приведенного. Для вычисления спектральной нормы можно воспользоваться предыдущим предложением 13 и теоремой 1м э 1. Они позволяют свести вычисление спектральной нормы матрицы А размеров т Х и н вычислению нормы матрицы А' вида (ср. (!7) 5 1): Здесь Є— диагональная квадратная матрица порядка г = Ки А, на диагонали которой стоят ненулевые сингулярные числа а, матрицы А. При этом их нумерация такова, что а, ~ а, - -...
~ а,. Рассмотрим столбец в ~ еЯ',. Для него / е ~1/э / г ~!/э 1в1='Д (в/)'1 и 1А'3) =~Д (а/Б/)') Сьл /=/ Отсюда, заменяя все а„..., а, на а„получаем !1 А'$ П / 11 $ П ~ пм причем равенство достигается в том случае, когда $ = 11 1, О, ..., О Г. Итак, доказано П р едл ож е н и е 14. Спектральная норма матрицы равна ее максимальному сингулярному числу: 11 А 1 = а,. Э Е НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Для невырожденной квадратной матрицы из предложения 12 и предложения 8 5 2 мы находим, что )А ')=а„', (16) где а„— минимальное сингулярное число (при де( А чь О оно не равно нулю). б) Пусть в РЯ' и ейР„выбраны (-нормы.
Оценим 11 А$ 11, для столбца 4 Ф Рл 1 А Э 1, = ')„( ~~ , 'аА~$" ! ( ~'', ~ У, '~а'„'111 $А1(~~тах ~ 1а' ~~,5 1 еьт!. Итак, — = гпах ~) 1аТ1, 1$ч ! Покажем, что здесь достижимо равенство. Пусть максимум дости- гается при значении я = з. В качестве $ выберем з-й столбец еди- ничной матрицы порядка а. Тогда Лй есть з-й столбец матрицы А, и его )-норма равна )Ле,)1 = ~1а!1. Поскольку 1е,1,=1, имеем )Ае,) /)э,)я= ~х~1а(!=Птах,У,1а„'!.
Ф Следовательно, нормой, индуцнрованной (-нормами в арифмети- ческих пространствах, является норма (А 1! = птах ~ ~а( $, / т. е. максимальная из сумм модулей элементов матрицы по столб- цам, или, иначе, максимальная из (-норм столбцов. в) Пусть в еЯ и РЯ'„выбраны с-нормы. Оценим 11 Аэ 11 для столбца я ~ Рл 1 Аф ~, '= тах ( ~' а~Ась ) ~ гпах ~', 1а~А (1 $А 1 ( (гпах 15' 1) гпах ~х , '1а~ь (, Отсюда — „'" -=.
Тпах ~Р 1а~А ~. А Покажем, что здесь возможно равенство. Пусть максимум достигается прн значении й = з. Мы хотим, чтобы з-й элемент столбца Ч = А$ был равен ~ 1а*А ~. Для этого достаточно выбрать й так, чтобы для всех й было выполнено аЯ" = 1а1А 1. Очевидно, это всегда можно сделать, причем 50 гл. !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
