Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Для нормы Гельдера мы не будем проверять аксиомы, так как у нас не будет случая воспользоваться этой нормой. В произвольном линейном пространстве можно использова:ь те же нормы, если фиксировать в нем базис, и сопоставить каждому вектору одну из вышеперечисленных норм его координатного столбца. Естественно, что так построенная норма зависит от выбора базиса. Для каждой нормы в линейном пространстве с„можно рассма гривать множество линейных преобразований пространства, сохраняющих норму, т. е. удовлетворяющих условию 1~ А (х) ~~ = ~! х ,'!. Для евклидовой (унитарной) нормы это — орто- ~у тональные (унитарные) 1 преобразования.
~х~ ~ Назовем единичной сферой нормированного пра- !х~ + странства множество век- 1х~ . ~у~ = 1 торов, норма которых равна единице. Предложение 1. Норма любого вектора в нормированном пространстве может быть вычис- пп( лена, если известна единичная сфера.
Действительно, любое одномерное подпростран- Рвс. 1. ство Х, пересекает единичную сферу Ж, так как если х ее У„ то х, = ~~ х ~Г4х ее ее У, П Ж. Далее, каждый вектор у еп У, отличается числовым множителем от вектора х, ен Ж. Теперь мы можем заметить, что 11 у 1~ = 11 Хх, 1~ = 1 Х ~. На рис, 1 нарисованы единичные сферы в двуьерном простраи: стае, соответствующие различным нормам. Октаэдрическая и кубическая нормы называются так потому, что при и = 3 соответству.ощне единичные сферы являются соответственно октаэдром и кубом. Предоставим читателю это проверить. Легко можно понять, что, например, октаэдрическая норма не порождается никаким скалярным произведением.
Ее единичная сфера обладает совсем иными свойствами симметрии, чем обычная сфера. Поэтому существование скалярного произведения, порождающего эту норму,. противоречит теореме об изоморфизме евклидовых пространств. Подробного доказательства мы не приводим. 42 ГЛ. Г. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРА)КЕНИЯ Для двух векторов х, и х, в нормированном пространстве рассмотрим множество всех векторов вида у=«х,+(1 — «)х, для произвольных а из отрезка (О, 1).
Это множество векторов называется отрезком с концами х, и х,. Какова бы ни была норма, единичный шар, т. е. множество векторов, по норме не превосходящих единицу, обладает следующим свойством, П р е д л о ж е н и е 2. Если концы х, и хе отрезка принадлеаеат единично,ну шару, то ему принадлехеит и весь о презок.
Действительно, в силу третьего условия нз определения нормы, для любого вектора отрезка мы имеем (у," ==«,"х,(+(1 — «)(хе',~. Отсюда прямо вытекает доказываемое утверждение. Множества, которые обладают сформулированным в предложении 2 свойством, называются выпуклыми. Отсюда происходит название третьего условия. Из предложения 2, например, следует, что астроида — линия с уравнением хьч + уч = 1 — не может быть единичной окружностью ни для какой нормы на плоскости. 3. Эквивалентность норм. Пусть ~р — норма в линейном пространстве Ж„. Если а — положительное вещественное число, то функция ф (х) такая, что ф (х) = а<р (х) для любого х еи Х„, также является нормой.
Эта норма обозначается а~р. Рассмотрим две нормы гр и ф Мы будем говорить, что норма р мажорирует норму ф, и писать'ф ~ ~р, если для любого вектора х из Ж„выполнено неравенство ф (х) ~ ~р (х). Ясно, что две произвольные нормы могут быть и не связаны подобным отношением. Обозначим е-окрестность вектора а относительно нормы ф символом 0„(а, е).
Если ф ~ <р, то нетрудно проверить, что 0„(а, е) = Оэ (а, е) для любых а ее Ж„и е ) О. Нормы <р и ф называются эквивалентными, если существуют такие положительные числа а, и а„что «Л ~ $ ~ ~ь% (2) Очевидно, что отношение эквивалентности рефлексивно, т. е. каждая норма эквивалентна самой себе. Это отношение также транзитивно: если а,гр ф ( а,~р и р1ф = Х ~ реф, то а,))пр ( т - аер,гр.
Кроме того, из (2) следует, ае'ф ~ <р ~ «1'чь Это означает, что отношение эквивалентности норм симметрично. Пусть гр и ф — две эквивапентные нормы. Легко доказать, что в этом случае для любых а ее Х„и е) О Оэ(а, — е: — Оч(а, е): — Оч(а, — ), (3) где числа а, и а, определены соотношением (2). $4. БОРмиРОВАнные пРостРАнствА 43 П р е д л о ж е н и е 3. Последовательность векторов (хь) в ЛГ„ сходится по норме ф тогда и только тогда, когда она сходится по любой эквивалентной ей норме ф. До к аз а тел ь ство. Пусть последовательность (хь) сходится к вектору а но норме ф.
Докажем, что она сходится к а по эквивалентной норме ~у. Выберем произвольное е ) О. В силу сходимости по норме ф существует такой номер й,(е/а,), что х„ еи ~ Оь (а, е/о,) для всех й =» й„(е/а,). Тем самым, согласно (3), хь ~ 0„(а, е). Следовательно, число и, (е/о,) удовлетворяет требованиям из определения сходимости по норме <р. Обратное утверждение следует из угке доказанного в силу симметричности отношения эквивалентности норм. Яы докажем, что в конечномерном линейном пространстве все нормы эквивалентны.
Доказательство использует свойства непрерывных функций (см. Кудрявцев, (161, т. 1, э 19), однако эквивалентность трех основных норм можно показать без труда. П р е д л о ж е н и е 4. В арифметическом пространстве 1-норма, с-норма и евклидова норма эквивалентны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Произвольный столбец $ может быть разложен по столбцам единичной матрицы. Применяя свойства нормы к этому разложению, мы имеем для произвольной нормы !! ь !) (4) !!з!!' ~л~!Р((ею! Оценим правую часть, заменяя каждое из чисел !! е; !! на максималь- ное из них. Обозначив шах !! е; !! через а, получаем )ф(~а ~!5~!=а(й),.
Но правую часть (4) можно оценить и заменяя каждое из чисел ! $' ! на максимальное из них. Отсюда ! й ! == !пах ! $' ! 'У', ,'! ес !! = () ! й (, . (6) с с где () = Х !! е; !!. Применим (6) к с-норме, а (6) — к 1-норме. Тогда, поскольку а ~ О, а '(й~ ~(5Ь~1(1! Этим доказана эквивалентность 1-нормы и с-нормы. Из оценки гпах !5'!~(~ч', !$'!'!'м к=оп шах ! 5'! следует эквивалентность с-нормы и евклидовой нормы.
Прещожение доказано. Одновременно мы доказали следующее П р ед ложе н и е 6. Каждая норма в арифметичхком пространстве магкорируется произведением 1-нормы на некоторое число ' ГЛ. Ь ЛИНЕЯНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ а, произведением с-нормы на число р и произведением евклидовой нормы на число р, П р е д л о ж е н и е 6.
Любая норма <Р есть непрерывная функция в каждой из трех основных норм, т. е. <Р ($л) — <Р (5а) для каждой последовательности (Еа), сходящейся к Е по (-норме, с-норл<е или евклидовой норме. Достаточно доказать это, скажем, для с-нормы. Мы имеем, согласно (1), <<Р (ьа) — <Р(ьа)~ ~ <Р(ва — ьа) ~ Р ) Ц ьа) Поскольку 11 5ь — Ра~! — <-(), наше утверждение следует из свойств числовых последовательностей. П р е д л о ж е н и е 7.
Для любой норл<ы <Р существуют такие положительные числа р, и р,, что каждь<й столбец Е, для которого 11 Е 11а = 1, удовлетворяет неравенству р, =- <Р (Е) = ра. Для доказательства воспользуемся результатами из математи- ческого анализа (см. Кудрявцев [16), т, 1, э 19). Евклидова единич- ная сфера — множество столбцов таких, что 11 Е 11а =- 1, — замк- нута и ограничена в евклидовой норме. Функция <Р непрерывна в евклидовой норме и потому достигает на сфере максимального и минимального значения.
Обозначив эти значения через р, и р„ мы получаем нужное неравенство. Остается доказать, что о, ~ О. Но это очевидно, так как существует столбец $а, для которого Р (ь„) = р, и 11 $, 11 = 1. Теперь мы можем доказать следующую теорему. Т е о р е м а 1. Все норл<ы в арифметическом пространстве эквивалентны.
Л о к а з а т е л ь с т в о. Мы докажем эквивалентность любой нормы <Р и евклидовой нормы. Отсюда в силу транзитивности отно- шения эквивалентности норм будет следовать утверждение теоремы. Произвольному столбцу Е О сопоставим столбец Еа такой, что $ = ~1 ЦДа. Тогда <Р (4) = 11 е 11а<Р (4а), и, согласно предложению 7, мы можем написать о, ) 4 1<а ~ <Р (Е) ( ра ) 4 )а, Так как для Е = 0 это неравенство очевидно, теорема доказана.
Поскольку все нормы эквивалентны, иногда бывает безразлично, какой нормой пользоваться, и нам будут встречаться формули- ровки, содержащие слова вроде следующих: «если данное неравен- ство выполнено в какой либо норме..м. Однако проводимые вы- кладки часто очень существенно зависят от того, с какой нормой мы имеем дело, и возможность свободно пользоваться любой наи- более подходящей к случаю нормой существенно упрощает рассуж- дения. 4. Нормы матриц. Рассмотрим линейное пространство ыв,„ матриц размеров т х п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
