Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Многочлены р„..., 'р, взаимно просты тогда и толысо тогда, когда найдутся такие многочлены и„..., и„что и,р,+...+и,р,=!. О п р е д е л е н и е. Пусть даны ненулевые многочлены р„..., р,. Миогочлен д называется общим кратным этих многочленов, если он делится на каждый из них. Общее кратное многочленов р,...р, называется их наименьшим общим кратным, если оно является делителем любого другого общего кратного этих многочленов. Наименьшее общее кратное многочленов р„..., р, обозначается НО)~ (р„, р,).
П р е д л о ж е н и е 5. Общее кратное д многочленвв р„..., р, является их наил~еньшим общим кратным тогда и только тогда, когда частные от деления д на рм ..., р, взаимно просты. Доказательство. Длявсех~ =!, ...,зчастныей;определены равенствами а = й;рь Если й = НОД (Ьм ..., Ь,) — мио-' $ ь Аннулигующие многочлены 57 гочлен ненулевой степени, то найдутся такие многочлены Г„..., )„ что при всех 1 = 1, ..., а выполнены равенства д = ~4рь Следовательно, д делится на д, и, обозначив частное через ~)', мы имеем ),р, = ...
= 1,р,= и'. Это означает, что д' — общее кратное много- членов р„..., р.Но его степень меньше, чем степень д, и потому оио не делится йй д. Следовательно, д не есть наименьшее общее кратное. Сбратно, пусть й' — общее кратное многочленов р„ ..., р„ яо не наименьшее. Тогда его степень больше, чем степень д = = 1АОК (р„ ..., р,). В самом деле, д* делится на д, и потому его степень не может быть ниже степени д, Если бы степени дь и д были равны, то по той же причине д* отличалось бы от д на числовой множитель.
В этом случае о' также было бы наименьшим общим кратным вопреки предположению. Итак, существует многочлен ) ненулевой степени такой, что д' = ~д. Теперь для каждого 1 мы можем написать д" =ф;рь где 6; — частное от деления д на рь Отсюда видно, что частные от деления д* на р, имеют общий делитель положительной степени.
Предложение доказано. 2. Многочлены от преобразований. Рассмотрим и-мерное линейное пространство Х„, не уточняя пока, вещественное или комплексное. Напомним (см. К., п. б ~ 3 гл. Н1), что для линейных преобразований пространства Ж„определены операции сложения, умножения на число и умножения преобразований.
В частности, определено возведение линейного преобразования в целую положительную степень. Ведем дополнительно определение, согласно которому каждое линейное преобразование в нулевой степени равно тождественному преобразованию Е пространства Х„. Это позволяет нам подставить линейное преобразование А в качестве значения переменной 1 в любой многочлеи р: р(А) =и,Е+а1А+а2А'+...+а„,А . Разумеется, полученное значение р (А) многочлеиа р будет также линейным преобразованием пространства Ж„.
Образ вектора х прн этом преобразовании будет обозначаться р (А) (х) или р А(х). Значение многочлена на преобразовании А коротко называют многочленом от преобразования А. Если в Ж„выбран базис, то преобразование А имеет матрицу А. Так как операциям с преобразованиями соответствуют те же операции с нх матрицами, преобразование р (А) будет иметь матрицу р (А) = ааЕ+ а, А + а, А'+... + а А Выражения такого вида называются матричными многочленами. Сложение, вычитание и умножение матриц имеют такие же основные свойства, что и те же операции с числами, за исключением коммутативности умножения. Поскольку при выводе свойств числовых многочленов не приходится делить на независимую пере- 68 ГЛ.
ДД. ТЕОРЕМА ЖОРДАНА. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ менную, потребности в обращении матриц не возникает. При умноидении матричных миогочленов приходится перемножать степени рдной и той же матрицы, которые коммутативны: А'А' = А'А' = А од Отсюда следует, что алгебраические операции с матричными многочленами от одной и той же матрицы А или от коммутатпвИых матриц обладают теми же свойствами, что и операции с числовыми многочленами. Естественно, это же утверждение распространяется на многочлены от преобразований.
Напомним, что ядром отображения (в частности, преобразования) называется множество векторов, которые опо переводит в нулевой вектор. Ядро преобразования А есть линейное подпространство, которое мы будем обозначать Кег А. Область значений А (Х„) преобразования А будем обозначать 1~п А. П р е д л о ж е н и е б, Длл любых преобразований А и В выполнено Кег А ы Кег ВА, В частности, Кег А: — Кег А" при й ~ 1. Действительно, если х ~ Кег А, то А (х) = о и ВА (х) = о. Из предложення 6 вытекает следующая формула: если о— общее кратное многочленов р„..., р„то Кег р; (А) ы Кег д (А) для всех 1=1, ..., з.
Если каждое из подпространств Кег рд (А) лежит в Кег о (А), то там же лежит и их сумма. Поэтому 'У, 'Кегр;(А) = Кегд(А). (3) д=! П р е д л о ж е н и е 7. Если д) = НОК (р„..., р,), то ~ Кег р, (А) = Кег 4(А). д=~ Ввиду формулы (3) нам осталось доказать только, что каждый вектор из Кег дд (А) разлагается в сумму векторов х„..., х, таких, что х; ~ Кег рд (А). Для доказательства обозначим частное от деления многочлена о на многочлен р; через йо В силу предложения б и следствия из предложения 4 найдутся такие многочлены и,, ..., и„что 1 = = й,и, + „.
+ й,и„.. Это означает, что тождественное преобразование Е раскладывается в сумму произведений Е=ид(А) йд(А)+...+и,(А)й,(А). Применим обе части этого равенства к произвольному вектору х из Кего(А). Мы получим х = Ад+ ... + х„где х; = = ид (А) й, (А) (х). Докажем, что х, еи Кег рд (А). В самом деле, если для компактности записи заменить обозначения рд (А) на р,", то мы 5 !. Аниулигующив многочлеиы сможем написать р!л (х!) = р,".и!лЬ!л(х) = и!лдл (х) = О. Это заканчивает доказательство предложения.
Пусть с( — общий делитель многочленов р„..., р,. Это ознд чает, что при каждом !' найдется многочлен Ь! такой, что р, = Ья4, Поэтому предложение 8 показывает, что Кег!((А) принадлежиФ каждому из подпространств Кег р„(А), а значит, и их пересечению! Кегс((А) ы П Кегр;(А), (4) !=! Предложеиие8. Если!(=НОД(р„, ...,р,),л!о 5 Кег с( (А) = П Кег р! (А). ! ! Ввиду формулы (4) нам остается доказать только то, что каждый вектор из пересечения пространств Кег р; (А) принадлежит Кегс((А). Для доказательства напишем с( в виде с( и,рл+ ... ...+ и,р,.
Отсюда И = ил!рл! + ... + илрл. Применим обе части этого равенства к произвольному вектору и х из пересечения. Мы получим с(л(х) = илрл (х)+...+илрл (х) =о, что равносильно доказываемому утверждению. Если многочлены р„..., р, взаимно просты, то с((А) = Е. Но Кег Е = о. Поэтому из предложения 8 вытекает С л е д е т в и е. Для вопил!но простых многочлвнов П Кегр!(А)=о. с=! 3.
Минимальный аинулирующий миогочлен преобразования. Преобразование О линейного пространства о„называется нумвым, если оно сопоставляет каждому вектору нулевой вектор. Это равносильно тому, что ядро этого преобразования совпадает со всем пространством Х„. О и р е д е л е н и е. Ненулевой многочлен р мы будем называть аннулирующи,я преобразование А или аннулнрующим много- членом преобразования А, если р (А) = О.
Очевидно, что р — аниулирующий многочлен преобразования А тогда и только тогда, когда Кег р (А) = с„. Каков бы ни был базис в пространстве Х„, нулевое преобразование имеет нулевую матрицу О. Поэтому матрица А преобразования А удовлетворяет уравнению р (А) = О в том и только том случае, когда р — аннулирующий А многочлен. 30 ГЛ. Н. ТЕОРЕМА ЖОРДАНА. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ П р е д л о ж е н и е 9. Для каждого линейного преобразования А существует аннулирующий его мнбгочлен. Д о к а з а т'е л ь с т в о. Пусть А — матрица преобразования А в каком-либо базисе. Среди неотрицательных целых степеней матрицы А не более чем пз линейно независимых, так как вообще не может быть больше чем пэ линейно независимых матриц порядка и.
Пусть а„..., а — коэффициенты равной нулю нетривиальной линейной комбинации степеней матрицы А. Тогда аьЕ+а,А+...+а А =О, что и заканчивает доказательство предложения. Говоря об аннулнрующих многочленах, мы стоим на точке зрения, отличной от принятой в элементарной алгебре. Там интересуются корнями заданного многочлепа, мы же рассматриваем множество мпогочленов, значения которых при данном А равны нулю.
Множество б' всех многочленов, аннулнрующих данное преобразование А, обладает следующими легко проверяемыми свойствами: а) Если д, ЬЕ=У, то д+ЬЕЕУ. б) Если д ен У, то дй ев У, каков бы ни был многочлен и. Этими же свойствами обладает множество $, определенное нами при доказательстве предложения 4. Опираясь на них, мы доказали, что в этом множестве существует многочлен минимальной степени, который является делителем всех остальных много- членов. То же самое рассуждение приведет нас к следующему предложению. П р е д л о ж е н и е 1О.
Среди многочленов, аннулирующих преобразование А, существует многочлен манил~илоной степени, «ото* рай является делителем всех аннулирующих А л~ногочленов. Этот многочлен определен с точностью до числового л~ножителя. О и р еде л е н и е.
Многочлен, описанный в предложении 1О, называется -минимальным л~ногочленом преобразования А, если его старший коэффициент равен !. П р и м е р. Пусть преобразование А в некотором базисе задано матрицеи О О 2 О лирующий, так как — о о о Π— 1 О О О О О О О О О О О О О О оооо О О 1 О О О О 1 (А — Е) (А — 2Е) = Докажем, что многочлен Тз — 31 + 2 = (1 — 1) (1 — 2) есть минимальный многочлен преобразования А. Действительно, он анну- $ ь Аннулнгующие многочлены Если бы нашелся аннулнрующий многочлен первой степени 1 — а, то матрица А должна была бы удовлетворять равенству А — аЕ = О, откуда следовало бы а = 1 и а = 2.
4. Нильпотентные преобразования. Дадим следующее О п р е д е л е н и е. Линейное преобразование В линейного пространства яс называется нильпотентным, если его минимальный многочлен имеет вид 1'. Число 1 называется показателем нильпотентност и. Таким образом, если 1 — показатель нильпотеитности, то В' (х) = о для любого х из З', но найдется такой вектор у еи К, что В' ' (у) Ф о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
