Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 15
Текст из файла (страница 15)
П р е д л о ж е и и е 3. Показатель нильпотентности 1; преобразования В; в точности равен кратности корня )и в минимальном многочлене. Предположим противное: 1; «-йь Рассмотрим многочлен р(ъ) (» ~1) '6 )ч) '''(1 ~5) и подействуем преобразованием р (А) на произвольный вектор х пространства Х„, который мы представим разложенным в сумму векторов, принадлежащих корневым подпространствам: х = х, + ...
... + х,. Мы имеем ря (х) = ря (хт) +... + рА (х,). (б) Для вычисления каждого слагаемого переставим в р (А) на последнее место тот сомиожитель, который обращает в нуль вектор х,, входящий в это слагаемое. Так мы покажем, что все слагаемые, включая р" (х;), равны нулю, и, следовательно, р" (х) = о для любого х из Х„. Но степень р меньше степени минимального миогочлепа, что противоречит определению последнего.
Предложение доказано. Из предложений 2 и 3 и следствия 2 предложения 1! $ ! вытекает, что кратности корней в минимальном многочлене не превосходят их кратностей в характеристическом многочлене й; =.ть Отсюда следует, что характеристический многочлен делится на минимальный, и мы приходим к такой теореме. Гл. и. теОРемА ЖОРдАнА. Функции От м»ТРиц Теорема 2 (Гамильтона — Кэли). Хараюпериетачгекий многочлен преобразования «ел«ется его аннулируюи(им мнагочленом.
Эта теорема имеет матричную формулировку: Т е о р е м а 2м. Каждая матрица удовлетворяет своему характеристическолоу уравнению. Простое доказательство теоремы Гамильтона — Кали получено в результате длительного исследования свойств преобразований. В литературе (см., например, (21)) читатель может найти и непосрсдственные ее доказательства. Впрочем, эта красивая теорема используется довольно редко. 2.
Жордаиовы цепочки. В следующих трех пунктах мы будем изучать одно фиксированное корневое подпространство Ю~ и огра. няченне В; преобразования А — )чЕ на нем. Поскольку значение 1 будет только одно, мы будем пропускать этот индекс для сокращеНня ЗаПИСИ.
ИтаК, раССМатрИВаЕтСя т-МЕРНОЕ ПрОСтраНСтВО ои" И нильпотентное преобразование В этого пространства, имеющее показатель нильпотентности 1г. Мы докажем, что пространство Л' распадается в приму~о сумму подпространств, циклических относительно В. Для этого мы построим циклические базисы, объединение которых составляет базис в Й'. Пусть для некоторого вектора В" (х) ~ о, В"" (х) = о. Введем следующие обозначения для векторов циклического базиса: В» (х) ео В»-г (х) е» В (х) е»-1 х е» Нетрудно заметить, что вектор ео — собственный для В, так как В (ео) В»и (х) о О п р еде л е н и е.
Пусть какие-то векторы е', ..., е» вместе с собственным вектором ео удовлетворяют условиям В(е')=е' В(е') =е' ..., В(е") е" ' (7) Тогда они называются соответственно первым, вторым и т. д. присоединенными к е' векторами. Говорят также, что е', е', ..., е" образуют жорданову цепочку с началом в е'. Легко видеть, что каждый циклический базис состоит из собственного и присоединенных к нему векторов, Обратно, каждая Жорданова цепочка Образует циклический базис, в чем нетрудно убедиться, подставляя равенства (7) одно в другое.
П р е дл о же н и е 4. Вектор ео имеет ровно й присоединенных (т. е. «ел«ется началом цепочки из и+ 1 вектора) тогда и и,"олька тогда, когда ео ~ 1пт В" Д Кег В, ео ф 1гп В»+'. Действительно, как отмечалось на стр. 61, включение е' еи ен Кег В равносильно утверждению, что вектор ео собственный. Если е" ен 1|и В", то найдется такой вектор х, что ео = В" (х).
з а ЖОРдАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА Циклический базис, порождаемый вектором х, дает нам нужную цепочку. Условие в' ф 1ш В"+' означает, что не найдется цепочки большей длины, начинающейся с е'. Обратное утверждение доказывается аналогично. 3. Нахождение начальных векторов цепочек, Из предложения 4 видно, что подпространства 1ш В" () Кег В для различных й должны играть большую роль в построении цепочек.
Мы обозначим 1ш В" () Кег В через Ю», Так как вектор Ван (х) можно представить в виде В" ( В(х)), мы имеем включения 1шВ"-' а: — 1шБ"-': —... =1гп В'а:-1ш В. (8) Если й — показатель нильпотентности, то !ш В» ' а= Кег В, т. е. еЯ.'" ' = 1ш В» '. Пересечения подпространств нз системы (8) с подпространством Кег Б, очевидно, вложены одно в другое таким же образом, как и сами подпространства.
Итак, 1ш В" ' = ай» ' а ай» а ': —... ': — ' а~а а ': — ай"': — ' Кег В. (9) Выберем в пространстве собственных векторов Кег В базис, связанный с системой пространств (9). В первую очередь отнесем к этому базису все векторы какого-нибудь базиса в Рлг» '. Далее, присоеднним линейно независимые от предыдущих векторы нз ФР» а, затем из ОЯ» ' и т. д. Вектор из какого-либо пространства а7г» ' может быть включен в базис только тогда, когда в а:У» больше нет векторов, которые не раскладывались бы в лпнейную комбинацию векторов, уже отнесенных к базису. Таким образом, для любого й каждый вектор нз ааг» раскладывается по векторам базиса, лежащим в а77».
Описанный процесс добавления векторов закончится, когда будет построен базис в Кег В. Последними, если потребуется, будут включены в базис векторы нз Кег В, не лежащие в 1ш В. Обозначим так построенный базис через е' = 1! е1, ..., е' я. 4. Разложение корневого надпространства в сумму циклических, Если к каждому вектору базиса е' добавить цепочку присоединенных к нему векторов, мы получим следующую систему векторов в пространстве 3". а 1», в„е„..., е,, ва в» в», (10) В', В', ..., Е Р. П р е д л о ж е н и е 5. Система из собственных и присоединенных к ним векторов линейно независима, если входяи(ив в нее собственныв вектора линейно независимы. ГЛ. И.
ТЕОРЕМА ЖОРДАНА. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ Докажем это индукцией по числу векторов в системе. Если в ней только один вектор, то он — собственный, и утверждение очевидно, Предположим, что утверждение справедливо для любых систем вида (10), содержащих не более 1У вЂ” 1 вектора. Для некоторой системы вида (10), содержащей 1«* векторов, составим произвольную линейную комбинацию, равную нулю: са «, «, а,е, +аег +...+а,'е,'+ ао «, «, +а,,е, +а,е«+ .,+а,'е.,*+ -1- я« ее -1- я' е' +... + я "е Р = о.
(1 1) Докажем, что эта линейная комбинация тривиальная. Подействовав на обе части равенства (11) преобразованием В, мы получим с учетом (7) а,е, +...+а,'е,' + +а,е, +...+а„'е,* + +а1е«+...+а"«е"Р ' =о. РР ''' Р Р Здесь написано равенство нулю линейной комбинации векторов, входящих в систему вида (1О) из меньшего числа векторов (длина каждой цепочки уменьшена на 1). Следовательно, все коэффициенты последней линейной комбинации равны нулю.
Если мы учтем зто в равенстве (!1), то оно сведется к следующему: а',е',+...+а,"е« =о. Поскольку собственные векторы линейно независимы, оставшиеся коэффициенты также равны нулю. Предложение доказано. П р е д л о ж е н и е б. Каждый вектор пространства й«" роскладывается в линейнро комбинацию векпюров системы (10). Для удобства доказательства будем говорить, что вектор х из Ю имеет высоту й, если х ен Кег В". Каждый ненулевой вектор имеет некоторую высоту Ь, 1 ( 11 == к, так как В нильпотентно с показателем нильпотентности й.
Мы докажем предложение индукцией по высоте вектора. Ненулевой вектор высоты 1 собственный, и по построению системы и' он раскладывается по векторам е1, ..., е'. Допустим, что утверждение справедливо для векторов высоты и, и докажем его для произвольного вектора х высоты й + 1. С этой целью рассмотрим вектор х, = В" (х). Очевидно, что х, ~ Кег В, так как В (В" (х)) = о. Поэтому х, еи ог㻠— — 1ш В" П Кег В. Система векторов е«построена так, что каждый вектор из вб'» раскладывается по тем векторам этой системы, которые принадле- $ Х ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА 69 жат е6'А. Поэтому в системе есс найдутся векторы в,',и .. еа из ФБ'а такие, что ха=алга +...+~, еаа Но векторы из ЮА имеют )с-е присоединенные, для которых е'с, =а =В (вл,,), ..., е,„=В (в,„).
Итак, мы имеем В (х)=ИВ (еа)+ ° ° +Ба В (еа ) Отсюда мы можем заключить, что вектор у =х — $„еа, — ...' ... — с,ел лежит в Кег В", т. е. имеет высоту )с и удовлетворяет о аа предположению индукции. Поэтому он раскладывается по системе векторов (10). Отсюда сразу вытекает, что и х раскладывается по этой системе. Предложения 5 и 6 показывают, что нами построен базис пространства Л", которыя является объединением циклических базисов.
Этот базис называется жордановылс базисом пространства Ю для нильпотентного преобразования В. Из того, что линейная оболочка каждой цепочки векторов— циклическое пространство, мы получаем следующую теорему. Т е о р е и а 3. Пространство Ю, в которолс задано нильпогпентное преобразование В, распадается в прямусо сумлсу надпространств, циклических отнсссительно В. 5. Размерности циклических прямых слагаемых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
