Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Так как след матрицы есть сумма ее характеристических чисел, 1г А" = о». Затем А,=АВ», а,= — — 1гА„В»= Ад+а,Е 1 и так далее. Выпишем последние равенства: ! А,=АВ„„а„, — „— 1гА„„В д — — А„,+а„дЕ а„= — — „1г А„, 1 А„= АВ„„ В„А„+а Е. Найдя таким образом числа о», мы можем последовательно применить формулы (2) для нахождения всех коэффициентов а„, й=-1, ..., п. Усовершенствование этого метода, введенное Д. К.
Фаддеевым' в книге 1351, позволяет совместить нахождение степеней матрицы, с подстановкой в формулы (2). Для этого проделывается следующая последовательность вычислений. Положим А,=А, ад= — 1г Ад, В»=А,+а,Е. доз»аленке Докажем, что так определенные числа а„ ..., а„ удовлетворяют равенствам (2) и, таким образом, только множителем ( — 1)' отличаются от коэффициентов характеристического многочлена матрицы А. С этой целью отметим сначала, что А» = А»+ а,А»-'+... + а„,Л, (8) как нетрудно проверить с помощью метода полной индукции.
След матрицы — линейная функция от ее элементов. Поэтому 1г А, =1г А'+а, 1г А»-'+...+а„, 1г А. Так как 1г А„ = — йа», последнее равенство совпадает с равенством (2). Наша задача выполнена, но построенная последовательность матриц В„..., В, заслуживает того, чтобы поговорить о ней подробнее. Из равенства (8) легко видеть, что В» = А" + а, А»-'+... + а„, А + а»Е и, в частности, В =А»-)-а»А~-д+...+а„Е=О согласно теореме Гамильтона — Кэли.
Отсюда следует, что А„= = АВ„,= — а,Е. Мы знаем, что свободный член характеристического многочлена равен детерминанту матрицы. Поэтому для невырожденной матрицы а„~0 и А-'= — (а„)-' В» м Таким образом, мы пришли к выражению для обратной матрицы, полученному на стр. 95, ио теперь явно указана последовательность вычислений, приводящая к А-'. рассмотрим матрицу Ц(й) =);-дЕ+ К Вд+...+),В„»+ В. д Для нее мы имеем (А -ХЕ) Я(Х) = — Х"Е-)-) '(А — В ) +...+ МАВ„, — В„д+АВ„,.
Так как ЛВ» д — В»=а,Е для всех й=1...,, п н АВ„,= — а„Е, мы получаем равенство (А — ХЕ) ~ (Х) = ( — 1)"+д р (Х) Е, в котором р ()д) — характеристический многочлен А. Поэтому в том случае, когда Х не является характеристическим числом, (А - Ь.Е)-д = ( — 1) "+д (р (Х)) ' Я (1») и матрица ( — 1)" дд»'„1-взашиная для А — )»Е, т. е. ее транспонированная составлена из алгебраических дополнений соответствующих дон»влепив элементов матрицы А — ХЕ. Так как миноры — непрерывные функции от элементов матрицы, Я (Х) будет взаимной для А — ХЕ прн всех Х.
Пусть теперь Х» — характеристическое число матрицы А. Тогда (А — ),»Е) б)(),») =0, и для каждого столбца матрицы Я»=Я(Х») имеем (А — ).,Е) д'= О. Таким образом, ненулевые столбцы матрицы Я» являются собственными векторами матрицы А, принадлежащими значению Х». К сожалению, в общем случае матрица Я» может оказаться нулевой. В этом легко убедиться, если найти Я(1) для матрицы А, равной единичной матрице второго порядка. Однако не трудно получить условие, достаточное для того, чтобы указанным способом могли быть найдены все собственные векторы матрицы А.
В самом деле, Я(Х») — линейная комбинация матриц Вт, и, следовательно, многочлен относительно А степени, не большей чем и — 1. Допустим, что все характеристические числа А различны, Тогда минимальный многочлен А имеет степень а, и потому Я» не может равняться нулю. Если характеристические числа А различны, то собственные подпространства имеют размерность 1, и все столбцы матрицы Я» должны быть пропорциональны.
ЛИТЕРАТУРА 1, А лбе рт А, Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оцениваняе.— Мх Наука, 1977. 2. Б е л л м а и Р. Введение в теорию матриц. -М.: Наука, 1969. 3. Беклемишев Д. В. Курс авалитнческой геометрии н линейной алгебры.— Мх Наука, !980. 4. Булавский В. А., Звягина Р. А., Яковлева М. А. Численные методы лииейногв програмнирования. — Мх Наука, 1977. 5. В о е в о д и н В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. — Мх Наука, 1977. 6. Воеводин В. В. Линейная алгебра.— Ми Наука, 1980. 7. В О е в о д и и В. В. Чнсленные методы алгебры. — Мх Наука, 1966.
8. Г а н т ма х е р Ф. Р. Теория матриц. — Мл Наука, 1967. 9. Гл а з и а н И. М., Л ю б и ч Ю. И. Конечномерный линейный анализ,— Мл Наука, 1969. 1О. Г ол ь ш те й н Е. Г., Юл и н Д. Б. Задачи линейного программировз. ния транспортного типа, — Мл Наука, !969. 1!. Д а и ц и г Дж. Б. Линейное программирование, его применения и обобшения. — Мл Прогресс, !966. 12, Дрейфус М„Га игл оф К. Практика программирования на фортране. —.Мх Мир, 1978. !3. И к р а м о в Х, Д. Задачник по линейной алгебре. — Мл Наука, !975.
14. К а р и а н о в В. Г. Математическое программирование. — Мл Наука, 1975. 15. К остр и к и н А, И., Ма н и н Ю, И. Линейная алгебра и геометрия.— Мх Изл-ао МГУ, 1980. !6. К у д р я в ц е в Л. Д. Курс математического анзлиза. Т.
1, П. — Мх Выс. шая школа, 1981, 17, Л а н к а с те р П. Теория матриц. — Мх Наука 1978. 18. Лаппо-Данилевский И, А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дибхуеренциальных уравнений.— Мо Гостсхиздат, !957. 19. Линейные неравенства и смехгные вопросы: Сб. статей под ред. Г. Куна и А, Таккера. — й!и ИЛ, 1959.
20. Л ь ю с Р. !1., Р а й ф а Х. Игры и решения. — Мх Мир, 198!. 2!. М а л ь ц е в А. И. Основы линейной алгебры. — Ми Наука, !970. 22. Ма р к ус М., Минц Х. Обзор по теории матриц н матричных неравенств. — М.: Наука, 1972. 23, Матричные игры: Сб. перев. под ред. Н. Н. Воробьева. — Мл Физматгиз, 1961. 24. Н и к а й д о Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. — Ми Мир, !972. 25.
Островский А. Решение уравнений и систем уравнений.— Мл ИЛ, 1963. 26. П а р о д и М. Локализация характеристических чисел матриц н ее приме. пения. — Мл ИЛ, 1960. 27. П о с т и и к а в М. М. Линейная алгебра я дифференциальная геометрия.— Мл Наука, 1979. 28. Р о в а н о в Ю. А. Лекции по теории вероятностей. М.з Наука, 1968. ЛИТЕРАТУРА 29. С а и а р с к и й А. А. Введение в теорию разностных схем. — Мл Наука, 1971.
30. С е б е р Дж. Линейный регрессионный анализ. — 81л Мир, !980. 3!. Т их онов А. Н., А р се ни н В. Я. Методы решения некорректныв задач. — Мл Наука, 1974. 32. Т ь ю а р с о н Р. Разреженные матрицы, — Мл Мнр, 1977. 33. У и л к н н с о н Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. Мл Наука, 1970. 34. У и л к и н сон Дж., Р а й н ш К. Справочник алгоритмов на языке автол. Линейная алгебра. — Мл Машиностроение, 1976. 35. Ф адде е в Д. К., Ф а ддее за В. Н, Вычислительные методы линейной алгебры.
— Мн Физматгиз, 1963. 36, Федор юн М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Мл Наука, 1980. З7. Ф о р с а й т Дж., М ол ер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. — Мл Мир, 1969. 38. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К.Машинныеметоды математических вычислений. — Мл Мир, 1980. 39. Х у Т. Целочисленное программирование и потоки в сетнх.
— Мл Мир, 1974. 40. Ч е р и и к о в С. Н. Линейные неравенства. — Мн Наука, 1968. 4!. Ш и л о в Г. Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. — Мл Наука, !969, 42. Юд н н Д. Б., Гол ьш тейп Е. Г. Линейное программирование. — Мл Физматгнз, 1963. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгоритм деления с остатком 5$ Алгоритм Евклида 55 Анализ ошибок обратный !И вЂ” прямой ! 14 Базис задави л. п. ЗМ вЂ” допустимый 291 сингулярный 17, 29 Циклический 61 вектор внутренивй 238 — крайний 244 — присоединенный 66 Вершина 263 Вещественная часть преобразования 67 Внутренность конуса 238 относительная 238 Выпуклая комбинация 250 — оболочка 256 Выпуклое множество 42.
257 — — многогранное 259 Выпуклый конус 236 многогранник 259 Вырожденная вершина 289 — задача 290 Главный элемент 143 Граничное подпростраиство 236 Грань 239, 253 — минимальная 239 Жесткое неравенство 237. 269 Жордавоз базис 69, 71 Жордаиова плетка 71 — «ормальпая бюрма 72 цепочка 68 Вщача даойственнаи 279 — о максимальном потоке 3!Π— о назначениях 3!О размещения 315 — с верхними ограничениями 304 — о двусторонними огравнчециими 304 транспортная ЗОЕ Запятая плавающая 1!2 — бжксированиая 113 Вацяклнванне 305 Виачение игры 325 Вцвеепии ив спектре 84 Вгрв 317 — вполне определенная 320 днвамнческая 318 — конечиаи 318 — матричная 318 симметрическая 318 а пулевой суммой 317 Нтерациоииое уточнение 166 Конус дзайствсняый 249 заастренныо 240 — тупай 240 Каэ0$зцччент перекоса ! 32 Лакэлччззцноняые круги 100 Луч 236 — крайний 244 Масштабировзпне 145 Матрица яычлсчимая 120 — диагональная 201 — двойного описаин» 250 >карданова 72 — идемпатснтная 198 клеточва диагональная 64 коэариаций 232 ленточная 121 перестановки 142 — зачти вырожденная 118 — — треугольная 182 псездаабратная 193 — равновесная 148 — Раэренчеиная 120 регрессии 129 с доминирующей диагональю 105 сопровождающая 102 треугольная 33, 130 трехдиагональизя 184 — фундаментальная 99 Матрицы компонентные 87 — подобные 72 Машинное е 114 Метод вращений 156, 17! — Гаусса !34, 149 Гревнля 222 — Жордана 138 — йаадратяого корня 15! наименьших квадратов 226 — аптнмальнога исключения 137 отражений 152 переортогоналнззции Н 4 последовательных смещений 167 — потенциалов ИО простой итерации 162 — степенной 171 — обратный 174 Якоби 165, 171 Методы исчсрйывавия 178 Мнимая часть вреобразования 37 Мвагочлеи аннулнрующий 59 яитерполяциопный 88, 90 — матричный 57 минимальный 60 Вавбольшнй общий делитель 54 Наименьшее общее кратное 66 Невязка 158 Норма 39 евклидова 40, 50 вндуцировавиая 40 ПРЕДМЕТНЬ7И УКАЗАТЕЛЬ Н рма кольцевая 47 — мажорнрующан ч2 согласонзннан 45 сохраняюгцая еднннцу 46 — сггектрнльнэя 48 уннтарннн 40.
50 Нормы зкннвалентные 42 Норчальнзн сцстелгз 189 — борга грел 318 — — ыегрнны 138 Обрззуюпп е конуса 243 Общее геше ~не 200 Огречнченное мнон ее?во 258 Окрестность 39 Ортогональное даполненне 7 Остаток прк деле нн 53 Остаточная су цгз квадратов 233 Остов кю угв 243 Отношенн Увлек 22 — — обобщенное !88 Отображение щ.евдоабоатное 200 — сглньгающее 442 — сопряз еннов 9 Ото ндествлс ~не 85 Отран ение !52 Отрезок 42 Оценка 227 — замещения 293 — лнясйкзя 230 — несмещенная 230 — точности апастернорная 160 — — эпрнорная !50 Ошибка 230 — окру глен к я 1 ! 4 Переменная дополянтельнан 287 — нснугственная 298 Погрешность 115, 158 Надпространства «орневое 62 — сОбсгвсннае 32 — циклнчсское 61 Показатель ннльпотентнастк 61 Полна» система решений 243 Пол> пространство 235 Преобразоеанне няльпотентное 61 — нормальное 34 нулевое 59 — простой структуры 73 — сопряженное !2 Преобразована я перестзиовочные 32 Прннцнп граничных решений 271 — неподвнжной точка 162 Проблема собстненных значений 170 Проектнроваяие 85 Пространство нормарованяое 39 — врмитово сопряженное 20 Псевдобазнс 301 Псевдорешение !90 Разложение полярное 26 — сннгуляриое 18, 219 — скелетное 196 — спектральное 87 Рээмергюсть конуса 236 — многогранного множества 262 Разрез сети 314 — — мвккмальный 815 Расстоякме 39 Ребро 242, 283 Регрессор 229 Режнм накопления 148 Решение нгры 325 Ряд матричный 78, 97 Сеть 3!О Симплекс 322 Симплекс-метод 286 — — двойственный 303 Снмплексная таблица 295 Снстеча козмущгнная 1!5 — нееозмущеннан 118 — ограннченнй 275 Спектральный раднус 103 Столбец нсо~рнцательиый 235 Стратегия 318 опта мальаан 320, 325 — смешанная 321 — чистая 3 О, 32! Сумма множеств 240 — пряная 63 — ряда 78 СФера единячнан 22, 41 Сх ма едннстненного деленна !35 Схаднлюсть по норме 39 — по Форме !81 — позлементна» 52 Теорема Гамнльтона — Кэлн 68 — деоастненностн 280 — Жордззз 72 Куна — Твккера 285 — о максимальном потоке 316 — отделимости 251 Фнркаша 247, 252 — Фредгольма 12 Точка внутренняя 2?8 — допустимая 276 крайняя 265 Фундаментвльнав система решений 243 Функцнн лннейно зависимые 227 параметрические 23! Функцня Лагранжа 285 — матрнчная 77, 96 — регулнрца» 78 — полулкнейнзя 19 — целевая 276 Ч.стиое дэух многочленов 53 Числа сингулярные 17, 29 Чнсло обусловленности 123 — — спектральное 124 Зквнвалентное возмущенна 169 Элнмннатнвная форма 297 Ядро отображеняя 11 с-норма 40 Г -норма 61 .норма 40 Ш-разложеяяе 139 34-задача 298 Л-влгорнтм 180 Д-разнеженна 162 г-равиожевце ИВ йй.разложввяв 214 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
