Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для этого рассмотрим подпространство 1ш (А — ).Е), где )г — собственное значение А. Это подпространство, как мы видели, инвариантно относительно А и имеет размерность Кй (А — ХЕ), меньшую и. Она может оказаться и меньше чем и — 1. В этом случае докажем, что любое подпространство с„„содержащее 1ш (А — ЛЕ), инвариантно относительно А. Действительно, пусть 1ш (А — ХЕ) = Х„г.
Тогда (А — ХЕ) х си :с„г для любого вектора к. Теперь, если к ви Ж„г, то из А (х) — ) х ен .'С„г следует А (х) еи Х„„что и означает инвариант- ность подпространства Ж„ г. Чтобы доказать предложение для лгобого я, теперь достаточно применить доказанное нами утверждение к ограничению преобразования А на произвольном инвариантном подпространстве. Из доказанного нами предложения 5 вытекает, что для любого линейного преобразования комплексного линейного пространства существует последовательность вложенных одно в другое инвариантных надпространств размерностей и — 1, и — 2, ..., 1: Хг с У, с... с: У„, с Х„г с Х„. Действительно, для построения этих подпространств можно применять предложение (5) последовательно: на каждом шагу оно применяется к инвариантноглу подпространству, построенному на предыдущем.
О п р е дел е н и е. Матрица А о элементами а', называется веркней (соответственно нижней) треугольной, если а' = О при г) / (соответственно при г « /). гл, ь линвиныв отовглжвния П р е д л о ж е н и е б. Для каждого линейного преобразования А в комплексном линейном пространстве Х„существуегп базис, в котором его матрица является верхней треугольной. Для доказательства рассмотрим базис, связанный с цепочкой инвариантных подпространств (1) следующим образом: е, ~ Хы вектор е, дополняет е, до базиса в Х„ вектор е, дополняет е„ е, до базиса в Х, и т.
д. В результате для всех й = 1, ..., и векторы е„... ..., еь образуют базис в Жь. Поскольку подпространства Хь инвариантны, для каждого й вектор А (еь) принадлежит подпространству Х„и, следовательно, раскладывается по векторам е„..., еь. Поэтому для элементов а' матрицы преобразования А мы и.леем а' = 0 при 1 > к, как н требовалось. Для унитарных пространств усилением предложения 6 является. Т е о р е м а 1.
Для каждого линейного преобразования унитарного пространства й'„сугцествует ортонормированный базис, в котором его лщтрица — верхняя треугольная. Для доказательства достаточно заметить, что базис, построенныйй в предложении б, в значительной мере произволен, и его можно выбрать ортонормированным. Действительно, применяя процесс ортогонализации Грама — Шмидта, мы добавляем к любому век. тору еь слагаемое, лежащее в линейной оболочке е„..., еь „т. е. в Ж„,, и, следовательно, не выводим его из Х,.
3. Нормальные преобразования. Важный класс линейных пре. образований вводит следующее. О п р е д е л е н и е. Линейное преобразование в унитарном или евклидовом пространстве называется нормальным, если оно перестановочно со своим сопряженным преобразованием: А*А = АА*. Примерами нормальных преобразований являются самосопряженные преобразования, унитарные преобразования, ортогональные преобразования евклидова пространства. Основное свойство нормальных преобразований содержит Т е о р е м а 2. В унитарном пространстве нормальные преобразования и только они имеют ортонормированный базис из собственных векторов. Заметим, что в евклидовом пространстве теорема не имеет места. Указанное в ней свойство в этом случае характеризует самосопряженные преобразования.
Доказательство теоремы 2 можно получить из теоремы 1, если проверить, что верхняя треугольная матрица А, которая перестановочна со своей сопряженной Аг, является диагональной. Однако этот способ доказательства при простоте идеи не является ни коротким, ни поучительным. Чуввтвуется, что свойства нормальных преобразований должны быть тесно связаны с результатами $1 $3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 35 о преобразованиях вида ААА, Из зтих соображений мы и получим теорему 2. Применяя предложение 12 5 1 к нормальному преобразованию и к его сопряженному, имеем Кег А'А = КегА, 1га А "А =!го Аь и КегАА* = Кег А", 1щ АА*=!гп А, откуда для нормального преобразования 1щ А" =1щ А, Кег А' = Кег А.
(2) Теперь в силу предложения 4 З ! [тп А" =! Пт А = (Кег А) В Мы доказали П р е д л о ж е н и е 7. Если А — нормальное преобразование евклидова или унитарного пространства Х„, то Ж„есть прямая сул!л~а ортсгональных подпространств Кег А и 1т А: :с„= Кег А ~® 1щ А. Доказательство теоремы 2 начнем со следующих простых замечаний: 1) Для нормального преобразования А и любого А преобразование А — ХЕ также является нормальным. 2) Ограничение А' нормального преобразования А на любом инвариантном подпространстве — нормальное преобразование, причем собственные векторы А' являются собственными и для А. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов нормального преобразования докажем индукцией по размерности пространства. Для пространств размерности 1 утверждение теоремы Очевидно.
Рассмотрим и-мерное унитарное пространство й'„и его нормальное преобразование А, Согласно предложению 3, А имеет собственный вектор. Обозначим через А соответствующее собственное значение и рассмотрим преобразование А — ) Е. Для него имеем й„=-Кег(А — ).Е ®1пт(А — АЕ), причем Кег (А — ХЕ) — собственное подпространство преобразования А, а [ю (А — ).Е) инвариантно относительно А по следствию из предложения 2. Кроме того, с[[в [в (А — ).Е) == и — 1. К подпространству [т (А — ХЕ) и ограничению преобразования А на нем мы применим предположение индукции, согласно которому в 1щ (А — ХЕ) существует ортонормированный базис из собственных векторов А. Объединение зтого базиса и любого ортонормированного базиса в Кег (А — ХЕ) будет ортонормированным базисом в 77„, состоящим из собственных векторов преобразования А. ГЛ.
Ь ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Нам остается проверить, что только нормальные преобразования в унитарном пространстве обладают ортонормированными базисами из собственных векторов. Это сделать нетрудно. Действительно, в таком базисе матрица А преобразования А диагональна и матрипа преобразования А* также диагональна (она равна Аг). Две диагональные матрицы перестановочны, следовательно, перестаноионны и преобразования А и А". 4. Свойства нормальных преобразований. Как было отмечено, са» осопряженные н унитарные преобразования являются нормальеь:ми. Известно также, что собственные значения самосопряженных преобразований унитарного пространства вещественны. Из теоремы 2 следует, что любое нормальное преобразование с вещественными собственными значениями является самосопряженным: матрица такого преобразования в ортонормнрованном базисе из собственных векторов вещественная диагональная и, тем самым, зрмнтова.
Собственные значения унитарного преобразования по модулю ргены 1. Действительно, если Р— унитарное преобразование н Р (х) =- Лх, то (х, х) = (Р (х), Р (х)) = (Лх, Лх) = Л А(х, х). Прн х чь о зто означает, что ЛХ = 1, как и требовалось. Если все собственные значения нормального преобразования Р по модулю равны 1, то в ортонормированном базисе из собственных векторов его матрица унитарная и потому Р— унитарное преобразование. Итак, мы имеем П р е д л о ж е н и е 8. Саиосопряженные преобразования в унитарном пространстве могут быть охараюперизовоны как нормальные преобразования с веи!ественными собсгпвенными значениями. Унитарные преобразования и только они являются нормальными преобразованиями, собственные значения которых по модулю равны 1.
Рассмотрим полярное разложение нормального преобразования. В ортонормированном базисе е нз собственных векторов нормальное преобразование А имеет матрицу ~х, » ) которую для краткости мы обозначим б!ая (Л„..., Л„). (Это — принятое обозначение диагональной матрицы, и мы будем пользоваться им в дальнейшем.) Каждое из чисел Л» мы можем записать в виде Л» р» (соз ф» + ! з!и ф»), где р»= ! Л» ! — вещественное неотрицательное число, а число 0»=сов ф» + 1з!и ф» по модулю равно 1. Обозначим через о и Р матрицы б!Ед (р„..., р„) н б!ад (0„... Б,) СООтВЕтСтВЕННО, ОЧЕВИДНО, Чта А = 'оР = Ро. ДЛя ПрЕ- образований 8 и Р, определяемых матрицвми 5 и Р в базисе е, $3, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ зт выполнено равенство (з) При этом 8 — самосопряженное с неотрицательными собственнымл значениями, а Р— унитарное. Следовательно, (3) — полярное разложение.
П р е д л о ж е н и е 9. Для того чтобы линейное преобразование в унитарнолг пространстве было нормальньои необходимо и достаточно, чтобы сомнозкители в некоторолч его полярном разложении были перестановочны. Необходимость условия установлена выше. Негрудио установить и достаточность. Пусть А = ЗР = РЗ.
Тогда А' = Р '8 —— = ЗР ', и мы имеем А А' = 8РР-'8 = ЗР-'РЗ = А *А. Пусть Д вЂ” произвольное линейное преобразование унитарпого пространства. Преобразования В= — (А+А") и (4) А=ЗР=РЗ называются соответственно вещественной и мнимой частью преобра- зования А. Очевидно, что А = В + (с. Находя В* и С" согласно формулам (7) и (8) ~ 1, мы без труда заметим, что преобразования В и С самосопряженные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
