Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 3
Текст из файла (страница 3)
!. линке!Ные отоьтхжвния ! ен 2„выполнено равенство (А*'(х), Р)=(х, А*Я). Как указывалось выше, мы вправе переписать это равенство в вид (7, А " * (х)) = (А* ())„х). Отсюда, применяя определение к А*, имеез!] (т', А*" (х~) = Д, А (х)), Поскольку это верно для любых !' ен Х",„векторы А" (х) н А (х), рассматриваемые как функции на Х"„, должны совпадать. Их совпа- дение при любых х ы Х„означает, что А'в = А. 8. Координатная запись. Пусть в пространствах Х„и Х выбраны базисы е = 1] е„..., в„!! и ! = ]~ („..., ( !! соответственно. Тогда образ вектора х при отображении А имеет в базисе с координатный столбец т(= А3, где й — координатный столбец х в базисе е, а А — матрица отобра- жения А в выбранной паре базисов. Рассмотрим линейную функцию !" иа Я и обозначим ее строку коэффициентов в базисе ! через к = ]] и!, ..., и„'!!.
Тогда значение функции !" ° А на векторе х равно (г, А (х)) = х!) = хА 4, и поэтому функция А" ()) = г' ° А в базисе е имеет координатную строку м=иА. (4) Остается вспомнить, что коэффициенты линейной функции в некотором базисе — это ее координаты в базисе сопряженного пространства, биортогональном данному базису. Если и для сопряженного пространства писать координаты вектора в столбец, формулу (4) нужно преобразовать к виду аг =Аг иг. Мы получаем П р едл о же н и е 2. Если в некоторой паре базисов отображение А: Ж„- Х записываетсп ма!прииви А, то сопряженное отображение А"". Х'„', — Х„* в биортогональных базиса задавл!ся транспонированной митричей Аг.
Если придерживаться чисто матричной точки зрения, то можно было бы сказать, что матрицу А размеров т х п можно употреблять как матрицу отображения двумя способами: 1) Умножать справа на столбец высоты и и получать столбец высоты т. Это — отображение А пространства столбцов высоты и в пространство столбцов высоты т. $ Ь СОПРЯЖЕННОЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 2) Умножать слева на строку длины т, получая строку длины и. Это — отображение А" пространства строк длины т в пространство строк длины п. 4. Свойства сопряженных отображений. Переход к сопряжен. ному отображению следуюпгим образом связан с алгебраическими операциями над отображениями. П р е д л о ж е н и е 3.
Если определены отображения ВА, А ' или А + В, то имее,л соответственно (ВА)* = А*В*, (5) (А-')* = (АР)-', (6) (А+ В)* = А'+ В', (7) (мА)* = иА*. (8) Для доказательства формулы (5) рассмотрим три линейных пространства Х, дУ и ь" и отображения А: Х вЂ” ь Х и В: О -ь Х. Если в ь, й и .'ь" выбраны базисы и, 1 и й соответственно, та отображение В А в паре базисов е и й имеет матрицу ВА, где А— матрица А в базисах е, 1, а  — матрица В в базисах 1, Ь. Мы знаем, что (ВА)г = А "Вг для любых матриц Л и В, для которых опреде. лена произведение ВА.
Поэтому отображение (В ° А)' в базисах, биортагональных Ь и е, имеет матрицу АТВТ и, следовательно, равно произведению А "В*. Итак, формула (5) доказана. Если отображение А имеет обратное, и Л вЂ” ега матрица в базисах е и 1, то обратное отображение А ' имеет матрицу А ' в базисах 1 и е. Поскольку (Аг) ' = (А ')г, сопряженное отображение А* также имеет обратное, и его матрипа равна (А ')г.
На доказательстве формул (7) и (8) мы останавливаться не будем. Они также легко вытекают из координатной записи отображений, Напомним, что ядром отображения А называется множество всех таких векторов к, что А (к) = о. Мы будеи обозиачзгь ядро А символом Кег А. Несложтю доказать, что Кег А — линейное подпространства к',. П р е д л О ж е н и е 4, Оршогональмое дополнение, Аиеажества зпапемий отоброгкеиия А ссвпидиеиг с ядром его сопряхсеимвго опшбражеиия (А (Х„)).ь = Кег А Р, (9) Ядро Кег А" отображения А" по определению состоит из всех таких векторов | ее .'г,", что АР ()) = о. Это значит, что ) н:.
Кег АР равносильно равенству (А* (г), кА = О для любых х ыЖ что в свою очередь равносильно (г", А (х)) = О. Но ортогональное дополнение шщпространстви А (Х„) мвк рвз и есть мнотиество всех таких 1' еи Ж~, чта (г', А (к)) = б:-для любых Х ~ Х„. ГЛ. Е ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ С л е д о т в и е. Применяя предложение 4 и отображению А *, находим Ав(о*) =(Кег А)~-. В координатной записи предложение 4 совпадает с теоремой Фредгольма о совместности систем линейных уравнений. Напомним ее формулировку. Теорема Фредгольм а.
Система из т линейных уравнений с и нгизв сп1нымиАЕ = о совместна тогда и только тогда, когда кажоог решение транспонированной однородной системы Агт) = 0 удовлетворяет условию цЬ = О. Рассмотрим пару пространств л„и Х„и базисы в этих пространствах. Каждый столбец в формулировке теоремы будем считать координатным столбцом некоторого вектора, а матрицу системы А— матрицей линейного отображения А. Совместность системы А~~ = Ь означает, что о ~ А (с). Множество решений транспонировапной однородной системы есть Кег А*.
Отметив это, легко видеть, что утверждение теоремы Фредгольма записывается формулой (9). Предложение 5. КйА'=КйА, Это прямо следует из предложения 2, но читателю в качестве упражнения рекомендуется получить это предложение из сравнения размерноетей обеих частей равенства (9). 5. Сопряженное преобразование. Выше было определено сопряженное отображение для любого линейного отображения линейных пространств. Сейчас рассмотрим сопряженное отображение для преобразования А: й„-,хУ„, т. е. такого отображения, для которого пространства о„и б совпадают, В этом случае совпадают также пространг-ва ю"„' и Х„* и сопряженное отображение является преобразованием пространства о„'. Таким образом, два сопряженных друг другу преооразования А и А' действуют в сопряженных друг другу пространствах 2', и й„".
Напомним, что матрица отображения А: Ж„-~ .о определена, когда выбраны базисы е в Х'„и Г в он, По определению в случае преобразования базисы е и 1 должны совпадать: матрица преобразования А в базисе е состоит из координатных столбцов векторов А (е,), ..., А (е„) в базисе е. Принимая во внимание это определение, мы получаем П р е д л о ж е н и е 6. Если преобразование А в базисе е имеет матрицу А, то сопряженное преобразование Ав в базисе р, биортогональном базису е, имеет матрицу Аг. Для линейных преобразований, в отличие от произвольных линейных отображений, определены инвариантные подпространства, собственные значения и собственные векторы.
Исследуем, как онн связаны для преобразования А и его сопряженного Ав, Характеристический многочлен не меняется при транспонированнн матрицы: йе( (А — кЕ) = йе( (Аг — йЕ). Более того, $ !. СОПРЯЖЕННОЕ ОТОБРАЖЕНИЯ йд(А — ЛЕ) = Кй (А' — ЛЕ). Поэтому из предложения 6 сле- дует П р е д л о ж е н и е 7. Собственные значения преобразований А и А* совпадают, и равные собственные значения имеют одинаковые кратности.
Если собственному значению Л преобразования А соот- ветствует й линейно независимых собственных векторов, то столько же линейно независимых собственных векторов соответствует ему и для преобразования Ач. П р едл о же н не 8. Если подпростраиство гь' = Х„ины- риаитно относительно преобразования А, то его ортогональное до- полнение .ФА ~ Х„*инвариантно относительно преобразования А*. Доказательство. Пусть хев гь. Тогда А(х)~ гь, и для произвольного вектора ) ~ гг-ь выполнено (г, А (х)) = О. Ноэтоозначает, что (А" ()), х) = О, и,таким образом, А* 5 еи Ф1-. П р е дл аж е н и е 9. Пусть х и г' — 'собппвенные векторы пре- образований А и А" соответственно, принадлежагиие собственным значениям Л и р.
Ори ЛФ р векторы х и г ортогональиы. Действительно, пусть А(х)=Лх, х, А(х)~Х„, и А" (г)=угг', г', А" (г') ен Х„*. Рассмотрим значение линейной функции 1 на векторе А (х). Имеем (), А(х)) =(А*(Д, х) =р(), х). Но (г', А (х) ) = Л Ц, х). Следовательно, (Л вЂ” и) ® х)=О. Отсюда прямо вытекает наше утверждение, П р е дл о же н не 10. Если базис е состоит из собственных векгггоров преобразования А, то его биортогоиальиый базис состоит из собственных векторов преобразования А*, Для доказательства достаточно вспомнить, что в базисе е мат- рица преобразования А диагональна.
Следовательно, диагональна и ее транспонпрованная матрица, а это — матрица преобразова- ния А" в биортогональном базисе. 6. Отображаемые пространства евклидовы. Пусть Ж„и О евклидовы пространства соответственно и н т измерений. Рассмот- рим линейное отображение А: Е„-+ Ж„и сопряженное ему отобра- жение А*. Наиболее существенная для нас отличительная черта евклидова пространства состоит в том, что его можно отождествить с сопряженным ему пространством. Такое отождествление возможно благодаря тому, что суще- ствует естественный, не зависящий от выбора базиса, изоморфнзм г г э„*- О„.
Именно, следует напомнить, что для каждой линей- ной функции Г на в„существует единственный присоединенный вектор атакой, что для любого х ен В„выполнено равенство (г, х) = ГЛ. Ь ЛИИЕИНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (а, 4, в 1езтором круглые скобки обозначают скалярное произведение в 8„. При этом отображение Г, сопоставляющее функпии ее н)аиеоедиеенный вектор, взаимно однозначно и линейно. Действительно, если и — строка коэффициентов функции ) в некотором базисе, ам и $ — координатные столбцы векторов а и х, то (г, х) =* = кй и (а, х) = агГ$, где à — матрица Грама выбранного базиса.
Таким образом, для любого столбца З имеем х$ = агГ$, что равносильно м=игГ. Так как 1(е( Г чь О, это равенство может быть решено относительно еи и = Г-1хг. Отсюда следует, что à — изоморфизм линейных пространств. Введя в о; скалярное произведение по формуле Ц, д) = (Г (1), Г (у)), мы можем считать его изоморфнзмом евклидовых пространств. Таким образом, для отображения А: Ж„-~ В„сопряженное А* отображает й'„в о„и может быть определено равенством (А* (у), х) = (у, А (х)). (10) которое должно быть выполнено для любых векторов х Бн и'„и у ~О .
Здесь круглые скобки в левой части равенства обозначают скалярное произведение в в„, а в правой части равенства— в й'„. В дальнейшем мы не будем делать подобные указания, полагая, что принадлежность сомножителей какому-либо пространству говорит о том, что операция скалярного умножения рассматривается в этом пространстве так же, как это принято по отношению к знаку +. Заметим, что в случае, когда А — преобразование пространства 8„, сопряженное ему А* будет также преобразованием в о'„, и определение (!О) совпадает с известным определением сопряженного преобразования евклидова пространства.
Рассмотрим формулу (10) в координатной записи. Выберем в о„и в о базисы и обозначим через й и т! координатные столбцы векторов х ен о„и у ен 8, через А и А" матрицы отображений А и А', а через Г и Г матрицы Грама выбранных базисов. Тогда равенство (1О) примет вид (А*,1)г Г~ 1)ГГА~ из которого в силу произвольности $ и т) следует (А")ГГ=ГА, А'=Г-'АГГ. (11) $ Ь СОПРЯЖЕННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ Это выражение значительно сложнее, чем связь между матрицами, указанная в предложении 6, поскольку, отождествив е' а Ве и ва„с Й„мы выбираем в отождествленных прастрвнсхвах один и тот же базис, а не два биортогональных друг другу базиса.
Если базис ортонормированный, он совпадает со своим биортогональным. Для ортонормпрованных базисов (11) превращается в А* = А', что соответствует предложению 5. По сравнению с рассмотренным в предыдущих пунктах общим случаем сейчас новым является то, что в силу озозкдествления 8, с е1 и е'„с 6" определены произведения А "А и АА*. Первое из них есть и;езбразование пространства 6,-„а второе — нространства 6,„. Свойства эпгх преобразований сходны. Действительно, преобразование АА" может быть записана в виде (А*)м(А*), и, следовательно, второе из преобразований совпадает с первым, взятыч для озображепия А'. Изучим свойства А"А. Основную роль при этом будет играть следующее очевидное соотношение: (12) (А*А (х), х) = (А (х), А (х)) = О, в котором равенство нулю достигается тогда и толька тогда, когда А (х) = о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
