Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Рассмотрим комплексное линейное пространство Х„ и введем следующее О п р еде л е н и е, Функция на Х„называется полулинейной (или врмшрово линейной), если для любых х, у еи ат„она удовлетворяет условиям (7, х+у)=(~, х)+(!' у) ф ах)=!хф х), ГЛ. Е ЛИНЕИНЫЕ ОТОВРАЖЕНИЯ в которых й — число, комплексно сопряженное а, а ((, х) по-прежнему обозначает значение 1 на векторе х. Это определение приводит к следующему выражению для (1, х) через компоненты х в некотором базисе е = 1~ е„..., е !1: (г', х) = ~ нД' = хв, где $ — столбец, комплексно сопряженный координатному столбцу вектора х, а и — строка коэффициентов функции 1, причем, как и в случае линейной функции, х~ = (г, е;). Как и для линейных функций, определим сложение полулинейных функций и умножение их на число при помощи следующих равенств: (1А+ ~м х) = ф, х) + (7„х), (аг', х) = а(г, х).
Нетрудно проверить, что в силу такого определения линейных операций множество всех полулинейных функций на и-мерном комплексном линейном пространстве х„само является и-мерным комплексным линейным пространством. Это пространство мы и назовем сопряженным илн врмитово сопряженным пространству 2'„ и обозначим о„'. Базис р', ..., р" пространства Х~ называется биортогональным базису е„ ..., е„ пространства х„, если (р, е~) =( ( О, азий Если н — строка коэффициентов полулинейной функции Г в базисе е, то координатный столбец Г" в биортогональном базисе есть хг.
Рассмотрим два комплексных линейных пространства Х„и .х и отображение А: Я„-э У . Отображение А*: Х„* -~ Х„*назогем сопряженным отображению А, если для всех х ее У„и1' я,4 выполнено (Ае Ч), х) =((, А(х)). (19) Таким образом, определение сопряженного отображения по форме не отличается от соответствующего определения для вещественных пространств. Поэтому все свойства, изложенные в первых пунктах этого параграфа, сохранятся с незначительными изменениями. Именно, предложение 2 заменится иа П р е дл о ж е н и е 16. Если в некоторой паре базисов отображение А: Х„-А .о имеет матрицу А, то сопряженное отображение в биортогональных базисах имеет матрицу Ае = Аг. Лействительно, выберем в Х* и о„"базисы и обозначим через р и х координатные строки полулинейных функций1' и Ае (1) в этих % ь сопРяженное отовРАжение базисах.
Тогда равенство (19) равносильно матричному равенству рй = НАЕ = нАЕ, из которого в силу произвольности столбца " следует 1ь = иА. (20) Отсюда докззываемое предложение вытекает непосредственно. Соответственно должно быть изменено в применении к линейным преобразованиям комплексных пространств и предложение 6.
В предложении 3 все утверждения остаются справедливыми, за исключением формулы (8), которая принимает вид (аА)* = цА'. (21) Доказательство предложения 7 основывается на совпадении характеристических мпогочленов матриц А и Аг. Поскольку де1 (Аг — ХЕ) = с$е1(А — ХЕ), предложение 7 заменится на П р е д л о ж е и и е 17.
Если Х вЂ” собственное значение преобразования А комплексного линейногз пространства ь„, то Х вЂ” собственное значение сопряхсенного преобраазвания А": Х„*-э Я" „и Х ильеет ту же кратность, что и Х. В предложении 9 в случае комплексных пространств следует потребовать, чтобы собственные значения не были комплексно сопряжены, т. е. Х Ф р вместо Х Ф р для вещественных пространств. Остальные результаты пп. 2 — 5 переносятся на комплексные пространства без изменений, если под сопряженным понимается зрмитово сопряженное пространство. Рассмотрим унитарное пространство У„и в нем фиксированный вектор а.
Сопоставим каждому вектору х ен а'„число (а, х). Нетрудно проверить, что тем самым будет определена полуливейная функция иа У„. Обратно, для каждой полулинейной функции( на а'„найдется присоединенный ей вектор а такой, что (7, х) =(а, х) для всех х ев гс„. Соответствие, относящее каждой полулинейной ункции на а'„ ее присоединенный вектор, является изоморфизмом : гг*„-+ У„, позволяющим отождествить зти пространства.
Такое отождествление общепринято. Пусть задано линейное отображение унитарных пространств А: гг„-» а'„. В силу того, что каждое из пространств отождествлено со своими сопряженным, отображение А', сопряженное А, отображает Ы в гг„. Оно удовлетворяет условию (А* (у), х) = (х, А (х)) для любых х ен 77„и у еи гг„. Матрицы отображений А и А* связаны соотношением (А ) Г=ГА, ГЛ. 1. ЛИНЕРГИЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ в котором Г и à — матрицы Грама пространств У„и У . Таким образом, формула (11) для унитарных вростраиств принимает вид А' = Г-ТАГГ.
Пря введенных нами определениях все содержание пп. 6 — 7 переносится ка случай отображений унитарных пространств с незначительными изменениями Например, в формулировке следствия из предложения 11 речь должна идти не а квадратичной форме, а об эрмитовой квадратичной форме. % 2. Линейные преобразования Б евклидовом пространстве В этом параграфе мв1 применим результаты 2 1 к преобразованиям в евклидовом пространстве. Однако в начале удобно будет остановиться на некоторых важных свойствах самосопряженных преобразований, пе связанных с предыдущим материалам. 1.
Экстремальные свойства собственных значений. Рассмотрим самосопряжеиное поеооразование А евклидова пространства 8„. Функция (А(х), х) р(х)= определенная на всем пространстве 8„, за исключением нулевого вектора, называется отнои1ениен Релея для преобразования А или для квадратичной формы (А (х), х).
Единичной с41ерой Ж„в 8„ мы будем называть множество векторов длины 1. П р е д л о ж е и и е 1. Мнохсесхлео значений отношения Реяея совпадает с множестеом значений яеадралтичной форь1ы (А (х), х) на единичной сфере. Действителыю, каждое значение квадратичной формы на векторе из Ж„есть значение отношения Релю иа том же векторе. Об. ратно, если для какого-то ненулевого х ен 8„имеем р (х) = а, то а=(А(д),у), где и= )х(1хый„.
Нас будут интересовать максимальные я минимальные значения отиоптеиия Релея. В силу предложения 1 мь1 мажем вместо них рассматривать максимальные и минимальные значения (Я (х), х) на й„. Пусть е,, ..., е„— ортонормираванный базис из собственных векторов преобразования А. Тх(ы будем предпалаеать, что базисные векторы упорядочены так, по соответствующие собственные значения расположены в кевазрастакяцем порядке: Х, ~ Х,: ~~ ~л. Запишем в базисе е = 11 е„..„е„11 значение квадратичной формы на векторе х еи Ж„: (1) $ г пРеОБРАЭОВАния В еВклидОВОМ пРОстРАнстВе 23 Поскольку х ~ $„, здесь Х Яг)В = 1.
Если Все собственные значе- ния мы заменим на наибольшее из них, то, вообще говоря, нарушим равенство (1), увеличив его правую часть. Поэтому л р(х)=(А(х), х) =Л, Рл (Бг)А=ЛТ. г г (2) ~'казанная верхняя граница достигается на первом базисном векторе: р (е,) = Л,. Б~АБ Чт5 АЯЧ ВТВР Чтп Введем скалярное произведение при помощи квадратичноя формы ! (К., теорема 22 3 гл. ЧП1). Кагюнический базис будет ортоНормированным по отношению к этому скалярному произведению, а рассматриваемое отношение будет отношением Релея для преобРазования с матрицей 5ТА5 в этом базисе.
Следовательно, к (х)/! (х) заключено между наибольшим и наименьшим корнями уравнения бе1 (5ТА5 — ЛЕ) = О. Но де1(5тА5 — ЛЕ) = бе! 5т де1 (А — Л5т — '5 — ') бе! 5 и корни уравнения совпадают с корнями уравнения де1 (А — ЛВ) = г~ О. Это заканчивает доказательство. Рассмотрим теперь подпространство еь в е„и ограничение квадратичной формы к (х) = (А (х), х) на подпространстве ЖА. Ограничение квадратичной формы — это такая функция к' на подпространстве ЕА, что 1с' (х) = )с (х) для каждого вектора х из ЖА.
Конечно, гс' — квадратичная форма на Ц, и для нее существует ортонорми- Аналогично доказывается, что р(х) ) Л„и р(е,) = Л„. Итак, мы получили П р е д л о ж е н и е 2. Максимальное значение отношения Редея равно наибольшему собспгвенному значению преобразования А, а минимальное — наименьшему собственнолгу значению. Эти значения достигаются на соответствуюгцих собственных векторах. С л е д с т в и е. Если квадратичная форма ! пололсительно определена, то для любого вектора х отноигение значений двух квадратичных форм )т (х)/ ! (х) заключено люзхду наибольшим и наименьшим корнями уравнения де1(А — ЛВ) = О, где А и  — матрицы квадрагпичных форм )т и ! в некоторолг базисе е. Действительно, пусть е — координатный столбец вектора х р базисе е, а г1 — координатный столбец того же вектора в каноническомбазисеквадратичной формы !.
Тогда, если Е = 5г), то 5тВ5 = ° = Е и В = 5т '5 '. Для отношения к (х)/! (х) мы находим ГЛ. 1 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОВРЛЖЕНИЯ рованный базис в о», в котором она имеет диагональный вид !<'(х)= ~х, 'рс(сс)2. с=г Пусть нумерация векторов базиса выбрана так, что г»„..., р» расположены в невозрастающем порядке: !21 = р, з: ... ~ р». Тогда р, — максимум отношения Релея для )с' (х) и тем самым — максимальное значение, которое принимает отношение Релея для К (х) на подпространстве 11». П р е д л о ж е н и е 3. Пусть Х„..., с»„— собственные значения самосоггряженного преобразования А, а р„..., р» — собственные значения его ограничения на й-мерном инвариантном подпространстве, занумерованные в невозрастаюи(ем порядке.
Тогда ссв~!»г=-с -»»1. (3) Действительно, единичная сфера У» пространства в» принадлежит единичной сфере пространства 3»ь а максимальное значение функции на подмножестве ие больше максимального ее значения на всем множестве. Поэтому Х, = !»1. Докажем второе неравенство. Для этого выберем в 8» вектор х с координатами вида ($1, ..., $ '»", О, ..., 0) в каноническом базисе квадратичной формы (с(х), т. е. лежащий в пересечении К с линейной оболочкой первых и — й+ 1 базисных векторов. Ненулевой вектор в пересечении этих пространств существует, так как сумма их размерйостей больше чем и, Пусть у = ~ х) 'х. Заменяя все собственные значения на с»„»„, имеем К' (у) = (с (у) = Х1 (Ч1)2+... + с»„» 1(г!"-»»1)2 ==: с»„»»1, откуда и вытекает доказываемое неравенство.
Для фиксированного надпространства о»' величина р, — константа, но она изменяется при переходе к другому надпространству е», оставаясь в границах (3). Прн этом обе границы могут быть достигнуты. Действительно, обозначим через 8» линейную оболочку векторов е„..., е,. В этом подпространстве на векторе е, достигается абсолютный максимум отношения Релея: Ц = р (е,), и потому на нем р, = )1. Для линейной оболочки векторов Е„»гп ..., Е„ИМЕЕМ р (Х) = Х„»„(2!' '")'+ ...
+ Х„(т!»)2, ГдЕ (2)с)2 = 1. Значит, р (х) -= ~,„»,1, и р„= р(еь»м) = с»„»„. С-»-»+1 Таким образом, мы приходим к следующей теореме. Т е о р е м а 1. Пусть собственные значения самосопряженного линесйсого преобразования расположены в невозрастаюи(ем порядке: л, ~ )2 ) ... » )»„. Тогда )»„»»1 = пни гп ах р (х), В» О~»МВ» э В пРеОБРА30ВАния В еВклидОВОМ пРОстРАнстВБ причем максимум берется по всем нгнулввым вгкпюрам надпро- странства Ж», а минимум — по всевозможным инвариантным псдпространсл!вам размерности й. Действительно, мы видели, что Х„»„есть достижимая нижняя граница для р„а 1»1= шах р(х) по предложению 2. офла г, Обозначим через 8,' » линейную оболочку первых и — й базис- ных векторов в„..., в„,. Ее ортогональное дополнение е" »„со- ° держит вектор г„»со для которого р (г„,„) = Х„»„. Это означает, что минимум, о котором идет речь в теореме 1, достигается для подпространства 6„-~».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
