Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 4
Текст из файла (страница 4)
П р е д л о ж е н н е 11. Преобразование А А самосопряженное. Его собственные значения неотрииатазьны. Действительно, согласно предложению 3, (А*А)* = А*Ае' = =А "А, что доказывает первое утверждение. Далее, пусть А'А (х) = = Хх. Тогда (А*А (х), х) = Х (х, х) .= О в силу равенства (12). Отсюда Х == О.
П р е д л о ж е н и е 12. Ядро преобразования А*А совпадаепз с ядром отобразхения А. Множество значений А "А савпадаезп с множеспмом значений Ае. Доказательство. Из А(х)=о следует А*А(х)=о и потому Кег А ~ Кег А*А. Кроме тога, из А*А (х) = о следует (А*А (х), х) = О и, согласно (12), А (х) = о. Поэтому Кег А*А ~ : — Кег А, что и доказывает утверждение Кег А = Кег А *А. (13) Для доказательства второго утверждения сравним ранги А и А*А, что представляет и самостоятельный интерес. Известно„что сумма ранга отображения и размерности его ядра равна размерности отображаемогопроетранства.
Отображаемое пространство 8„ у отображений А и А*А одно и то же, н ядра их совпадают. Следовательно, Кй А'А=К2А. (14) Далее, поскольку А1е,) ~ Ф, разумеется, А'А (е ) ~: — Ам (Ф„Д. Ио по определению ранга отображения имеем КЯА = Кд Ав =. гв ГЛ Е ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ = бип А* (8 ) и йд А*А = б(ю А'А (о„). Ранги равны, следовательно, подпространства совпадают в силу указанного выБье включения и равенства размерностей А*А(Ж„) =А" (а ). Предложение доказано. В евклидовом пространстве самосопряженному преобразованию В сопоставляется квадратичная форма (В (х), х). Из предложения 11 вытекает С л е д с т в и е. Квадратичная форма (А* А(х), х) положительно полуопределенная.
Она положительно определена тогда и только тогда, когда Кег А = о. Мы знаем, что йд А = йд А*. Отсюда, применяя формулу (14) к отображению А*, имеем йй А*А = Рд АА* (15) Исследуем связь собственных векторов и собственных значений преобразований А*А н АА". Она выражается следующим предложением. П р е д л о ж е н н е 13. Если х — собственный вектор преобразования А'А, принадлежащий собственному значению Л~= О, то А (х) — собственный вектор преобразования АА", принадлежаи(ий тол1у же собственному значению.
При этом линейно независимыль собственным векторам х„..., х, преобразования А чА соответствуют линейно независимые собственные векторы А (х,),, А(х,) преобразования АА'. До к а з а тел ь ст в о. Пусть А*А (х) = Лх. Подействуем отображением А на обе части этого равенства. Результат можно записать ввиде (АА*)А(х) = Л А (х). Если Л~ О, то А*А (х) ~ о и, следовательно, А (х) Ф о. В этом случае вектор А (х) собственный для АА* и принадлежит значению Л. Далее, рассмотрим линейно независимые собственные векторы х,, ...,х, преобразования А*А, принадлежащие ненулевым собственным значениям Лм ..., Л„среди которых могут быть и равные. Предположим, что векторы А (х,), ..., А (х,) линейно зависимы и а, А (х,) + ...
+ а, А (х,) — их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю. Подействовав на нее отображением А", получим а,А "А(х)+...+а,А*А (х,) =аЛ х,+...+аЛх,=о, что при ненулевых Л„..., Л, противоречит линейной независимости векторов х„ ..., х,.
Предложение доказано, Поскольку для самосопряженных преобразований максимальное число линейно независимых собственных векторов, принадлежащих собственному значению Л, равно его кратности, мы полу. чаем $1 СОПРЯЖЕННОЕ ОТОГРАЖЕННЕ С л е д с т в н е. Ненулевые собственные значения преобразований А*А и ААе совпадают, причем равные собственные значения имеют одинаковые кратности. 3 а м е ч а н и е.
Наличие нулевого собственного значения и его кратность у преобразований АеА и ААе определяются размерностями Кег А и Кег А* соответственно. 7. Сингулярные базисы отображений. Рассмотрим отображение А: О„- 8„, где О„и Π— евклидовы пространства, н ЕВЕДЕЛ1 О и р е д е л е н и е. Первым сингулярным базисом отображения А называется ортонормированный базис в В„, состоящий из собственных векторов преобразования АеА, если векторы базиса упорядочены так, что соответствующие собственные значения не возрастают: Х, =- ...
) Х„. Таким образоьи, если г = Кй А, то Ц ) О при ! ~ г и Ц = О при /) г. Пусть е„..., е„— первый сингулярный базис А. Тогда (А (е;), А(е1)) =(А" А (е1), е1) =)ч(еь ег). Отсюда следует, что векторы А (е1) попарно ортогональны и ~ А(е1)) =)гь1. (16) Это означает, ч1о А (е,) ~ о при 1' -= г и А (е1) = о при 1) г '). О и р е д е л е н и е. Числа а1 = й д1, где ~, — собственные преобразования А*А, называются сингулярными числами отображения А, а также сингулярными числами матрицы этого отображения в произвольном базисе. Согласно (16) при ! ~ г векторы а,'А (е1) образуют ортонормированную систему в 8„.
Дополним ее до ортонормированного базиса 7" в О„ н введем О п р е д е л е н и е. Вторым сингулярным базисом отображения А называется ортонормированный базис 7 в в, первые г векторов которого имеют вид а,'А(е1), 1 = 1, ..., г, где ем ..., е„— первый сингулярный базис, а г = Кй А. Из определений видно, что сингулярные базисы определены неоднозначно.
Т е о р е м а 1. В паре сингулярных базисов отобрав!сепия А м трица этого отображения имеет следующий вид: А =~ ' ~. (17) Здесь О, — квадратная диагональная матрица порядка г с числами а! па диагонали, а ссп1альные элементы А равны нулю. Д о к а з а те л ь с т в о. По определению столбцы А — координатные столбцы векторов А (е,) в базисе у.
Из (!6) следувт, что 1 ййа!В!37 атз1еитее ваер1 йй ! 1) Ср. предложение !2. ~ е )1 в (ъй„агаве св гл,ь ликетсыьсв отоаРА енсся последние и — г столбцов матрицы А нулевые. Из определения ус для с ~ г следует, что А(ес) = асвс. Это заканчивает доказательство. Вспомним, что при замене базисов в пространствах Ж„ н Ж„ матрсща отображения преобразуется по формуле А'=Р-сЛсг, где Р и Сг — матрицы перехода. Если исходные базисы ортонормированные, то матрицы перехода к сингулярным базисам будут ортогональными.
Поэтому мы можем придать теореме 1 следующую матричную формулировку. Т е о р е лс а 1м. Для произвольной матрицы А размеров т Х п найдутся псакие орпсогональные мапсрицы У и )с, что матрица (/А )с имеепс вид (17). Бывает полезна следующая равносильная формулировка; Произвольная матрица А размеров т х п может быть разложена в произведение (18) А =ЯОР, где С,С и Р— ортогональные лсатрнцы, а Р— матрица вида (17). Это разложение называется сингулярным разложением матрицы. Дополнением теоремы ! служит следующая Т е о р е м а 2. Путпь матрица А отображения А в некоторой паре ортонорлшрованных базисов представлена в ваде произведения (1В), прсичем числа а; на диагонали лсатрицьс Р расссоложены в нгвозраспсаюсцем порядке. Тогда столбцы масприц Рг и Сг — координатные столбцы векпгоров соответственно первого и второго сингулярных базисов А.
Первые г сиесгулярньсх чисел А равны а„с' = 1, ..., с', а остальные и — г равньс нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим некоторый столбец рс матрицы Рг. Так как Р— ортогональная матрица, имеем АтАр, РтРтРРр РтРтРе, где е, — столбец единичной матрицы порядка и. Матрица ОгР— квадратная диагональная матрица порядка и, причем первые г ее диагональных элементов равны а,', а остальные — нули. Поэтому при с ~ г АтАр, =а,'Рте,=а рс, и АтАр, = 0 при с') г. Таким образом, р„с' = 1, ..., и, — координатные столбцы собственных векторов преобразования АьА.
Этим доказаны утверждения о первом сингулярном базисе и сингулярных числах. Далее, Арс=Жррс= т(Рес Пусть е, — столбец единичной матрицы порядка сп. Произведение Рес равно асе, при с ~ г и нулю в остальных случаях. Поэтому е ! ОопРяженнОе ОТОЕРАженне 19 для всех1=1, ...,т Ар! = а!1Че! = анун где д! — столбец матрицы !г. Это заканчивает доказательство теоремы. Если матрица отображения А в паре ортонормнрованных базисов представлена в виде (18), то матрица сопряженного отображе. ния А* равна Ат ртртОт Отсюда следует П р е д л о ж е-н и е ! 4. Пусть е = !! е„. „, е„)1 и ~ = 11 („ !! — первый и второй сингулярные базисы отображения А. Тогда у — первь!й, а е — второй сингулярные базисы отображения А*. Ненулевые сингулярныг числа отображений А и А* совпадают.
Допустим, что отображение А обратимо, и его матрица в паре ортонормированных базисов равложена в произведение (18). Тогда матрица отображения А ' равна А-1 Р-10-%-1 Рт Р-%т и мы приходим к следующему предложению. П р е д л о ж е н и е 15. Пусть отображение А обратимо и е и Т" — его первый и второй сингулярные базисы. Тогда базисьс е и у отличаются соответственно от второго и первого сингулярных базисов отобралсения А ' не больше чем порядкам векторов.
Если а1, !' = 1, ..., и, — сингулярные числа А, то а,' — сингулярные числа А ' 8. Обобщение иа комплексные пространства, В случае комплексных пространств мы можем определить сопряженное отображение так же, как это было сделано в п. 2, и все свойства такого отображения, изложенные в пп. 2 — 5, сохранятся, так как в этой части изложения вещественность пространств никак не использовалась. Однако связь сопряженного отображения со скалярным произведением, которая имеет место для евклидовых пространств, в таком виде непосредственно не обобщается на унитарные пространства. (Эта связь может быть перенесена на комплексные евклидовы пространства, не представляющие значительного интереса.) Для того чтобы связь сопряженного отображения со скалярным произведением сохранилась для унитарных пространств, необходимо изменить определение сопряженного пространства, что мы и сделаем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
