Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Эти соображения позволя!от представить себе процесс построения ортонормированного базиса из собствен- ных векторов преобразования А, который мы опишем, не вдаваясь в вопрос о том, как он может быть осуществлен. Сначала находим вектор, на котором достигается максимум отношения Релея, точнее, любой такой вектор. Затем в ортого- нальном дополнении подпространства, порождаемого этим векто- ром, снова ищем вектор, на котором достигается максимум. Затем ищем максимум в ортогональном дополнении линейной оболочки двух выбранных векторов и т.
д. В конце остается пронормировать полученную систему векторов. Для обоснования этого построения следует доказать, что мак- симум отношения Релея достигается только на собственном век- торе. Это делается при помощи метода Лагранжа для отыскания условного экстремума (см. Кудрявцев 11б1, т. 11, э 42). Функция Лагранжа имеет вид а и а!»Я» — Х ~ (ь!)». 1, »=! 1=! Приравнивая нулю ее частные производные, мы получаемсистему уравнений, которой удовлетворяют собственные векторь1: „(„а $л Ц! О а„Д1+...+а„Д" — ЛВ =О.
2. Полярное разложение. Известно, что аффинное преобразование плоскости разлагается в произведение ортогонального преобразования и двух сжатий к взаимно перпендикулярным прямым. Сейчас мы получим обобщение этого разложения для произВольного линейного преобразования А векторного евклидова пространства. Оно называется полярным разложением А. Т е о р е м а 2. Для каждого лине "ного преобразования А евклидова пространства Ж„найдутся самссопрязсгнног првобразованив 8 с неотрицательными собственными значениями и ортогональное преобразование Р такие, что А =РЗ. (4) тл.
ь лггиьтпчьтя ОтОБРАжения Доказательству теоремы удобно будет предпослать следую:цее простое П р е д л о ж е н и е 4. Есла е„..., е„и ~„..., )„— ортонормированные бажкы в е„, то оугирппвует такое ортогональное преобразование Р, что Р (е;) = 1~ (4 = 1, ", и). Действительно, условие Р(е,) =1; однозначно определяет все столбцы матрицы преобразования в базисе е — это координатные столбцы векторов ~„..., ~„.
Обозначим их йо Так как система векторов у ортонормирована, имеем грт, ( ~ чь1 и, следовательно, матрица преобразования ортогональна. Отсюда прямо следует нужное заключение. Перейдем теперь к доказательству теоремы 2. Пусть е = 11 е„ ..., е„11,ну = а 7„..., ~„~1 — сингулярные базисы преобразования А. (Поскольку А — преобразование, оба базиса являются базисами в Ь' .) Тогда для всех 1 = 1, ..., и имеем А (е;) =аьгь где а; — сингулярные числа преобразования А. Действительно, для 1 ( Кл А это — определение векторов ~о а для остальных 1, с одной стороны, и, = О, а с другой стороны, А (е;) = о, и равенство выполнено.
Рассмотрим теперь ортогональное преобразование Р, переводящее первый сингулярный базис во второй: Р (е1) =)ь 1= 1, ..., и. Докажем, что преобразование 8 = Р 'А самосопряженное. Действительно, для любого 1 имеем Р-'А (е~) = Р-'(аД) =и;еи (5) Таким образом, преобразование 8 обладает ортонормированным базисом из собственных векторов е„..., е„. В нем его матрица диагональна и, тем самым, симметрична, Следовательно, 8 — само- сопряженное преобразование. Кроме того, из (5) видна, что собственные значения 8 равны а„..., а„и потому неотрицательны.
Это заканчивает доказательство теоремы. Теорема 2 может быть сформулирована в терминах матриц. Т е о р е и а 2м. Для произвольной квадратной мал|рицы А найдутся такая ортогональная матрица Р и такая симметричная матрица Я с неотрии отельными характеристическими числами, что А=РЯ. (б) П р е д л о ж е н и е 5. Для каждого линейного преобразования А евклидова пространства е„найдутся такое ортогональное йреобразование Р' и такое самосопряженное преобразование 8' с неотрицательными собспменными значениями, что А = 8'Р'; ч 2 ПРВОБРАзонкния в евкяидозолг ПРостРАнстав Для доказательства напишем разложение (4) длн вреобразоваиия А'. Пусть А* = Р18ь Отсюда следует„что А = ЖРт = = 8тР1', и можно положить 8' = 8, н Р' = Рг'.
3 Единственность полярного разложения. Есам. п4геобраэованпе А прежтанпено в виде Р8, где 8 — самосоггрялггенное, а Р— ортогональное преобразование, то А'А = 8"Р'Р8=8'. Покажем, что преобразование 8 определено по 8', а следовательно, и по А единсгвениым образом. Для зтого докажем сначала следующее П р е д л о ж е н и е 6. Собственные вектораг ареобразввания 8 явгягсгпся собственными векторами преобразсвания 8х. если 8— са Рссгг77ряжеггнсе преобразование с неотриг(агпеланмли сабсгпвеннасии мгачениями, то и, Обратна, собспгвеннаге векгпсраг преобразования 8з являюгпся собсгггвеянаг.гггг для 8. В этом с грчае собственные значения преооразавзния 8 равны арггфлгети7гескилг квадрагпнаки корням из саоlгмепгсгпвгргсггАггх ссбсгггзеннагх значений 8 ° Доказательство.
)) Пусть 8(х)=ах для в ктора хФ О, Тогда 8'(х) = 8 (8(х)) = 8 (ах) = а'х, 2) Пусть 8' (х) = Лх и $7 — координаты вектора х в ортонормированном базисе е = (( е„..., е„(( из собственных векторов преобразования 8 Тогда имеем 8' (х) = Л "г" $гег = ~ч ', Ц'ег.
г г С др)той стороны, если пг — собственные значения 8, то 8 (х)=ХЮ(г)=ХМ ь Отсюда следует, что яг (а, '— Л) = 0 для всех ( = ), ..., и. Таким образом, $7 = 0 дяя всех г, для которых а', чь Л. Так как аг неотрнцательны, равенства а,' = Л и а'; = Л могут быть вьтолнены только при условии аг = аг. Следовательно, вектор х расклндывается только но тем векторам базиса е, которью соответствуют одному н тому же собственному значению. Это озггачает, что он также является собственным для преобразования 8, н пргпгадлежнт собствен. ному значению а, = )'Л. Предложение доказано. Теперь единственность преобразования 8 вытекает из следую.
щего предложения. П р е д л о ж е н и е 7. Самосопряженное преобразование 8 Однозначно Определяется еео собственными значениями и собственными вект орали. Для доказательства рассмотрим систему нодвростраиств о„... ...„Хр, каждое из которых состоит из всех собственных векторов, принадлежагннх одному собственному значению; и нулевого вектора. Зтнх ноднространств столько, сколько раэлнчнмк ообвтвенных значеннггг. )Ааждыггг вектор х однчгвначно рчгекладываетсн в сумму вида х=хг+.«.+х гда хиенХ ° ГЛ.
1. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Действителы|о, разложение такого вида можно получить, объединяя слагаемые в разложении х по любому базису из собственных векторов. Докажем единственность разложения. Если бы таких разложений было два: х = х, + ... + хр = у, + ... + ур, то мы имели бы (х, — у,) + ... + (хр — ур) = о. Произвольйая разность х„— у„, принадлежащая 2'„, в этом случае принадлежит также и сумме всех остальных подпространств. Если она не равна нулю, отсюда прямо вытекает линейная зависимость собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям.
Далее, если разложение определено однозначно, то и образ 8 (х) вектора х однозначно определен: 8(х) =а,х,+...+архр. Предложение доказано. Не представило бы труда сразу выписать выражение 8 (х) в ортонормированном базисе из собственных векторов: л 8 (х) = ~х~ ~а, (х, е1) е1, 1 1 но необходимо было бы устанавливать независимость результата от выбора базиса. В общем случае ортогональное преобразование Р в полярном разложении преобразования А определено не однозначно. Однако если преобразование А не вырождено, т. е. КйА = л, то не вырождено также и 8, а потому Р однозначно определено как А8 ' 4.
Сингулярные числа и сингулярные базисы преобразований. В $ 1 сингулярные числа и сингулярные базисы были введены для отображений евклидовых пространств. Сейчас мы изучим их подробнее в случае преобразований. Из формулы (5), полученной при доказательстве теоремы 2, следует, что сингулярные числа преобразования равны собственным значениям самосопряженного преобразования 8 в полярном разложении преобразования А, а первый сингулярный базис А состоит из собственных векторов 8. Выясним геометрический смысл сингулярных чисел в трехмерном евклидовом векторном пространстве. При преобразовании А единичная сфера Ж, перейдет в некоторый эллипсоид.
Рассмотрим произвольный радиус этого эллипсоида, т. е. длину вектора А (х) при условии (х, х) = 1. Имеем (А(х) !'=(А (х), А (х)) =(А*А (х), х). (В) Для вектора х на единичной сфере последнее выражение совпадает с отношением Релея для преобразования А*А, собственные значения которого — квадраты сингулярных чисел. Поэтому из предложения 2 вытекает ат~) А(х)(~аз 5 ь пРеОБРА3ОВАния В еВклилойом пРООТРАИСТВВ 29 для.всех х ен Ж,. Это означает, что а, и а, — наибольшее и наи- меньшее отношения длин образа и прообраза при преобразовании А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
