Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Ясно, что аг и а, — большая и малая полуоси эллипсоида. Далее, согласно теореме 1, а, = ш!и шах ! А (х) !. В~ ь РхЕЕ, Минимум достигается на плоскости, ортогональной большой оси эллипсоида, причем шах ! А (х) 1 равен большей полуоси эллипса, лежащего в этой плоскости. Поэтому и, — средняя полуось эллип- соида. Таким образом, сингулярные числа характеризуют растяжение пространства, возникающее в результате преобразования А, безот- носительно к тому, как поворачиваются векторы при преобразо- вании. Для самосопряженного преобразования они равны модулям собственных значений, но они определены и для произвольного пре- образования. Их геометрический смысл легко может быть обобщен на пространства произвольной размерности, так как формула (8) не зависит от размерности пространства.
Отметим, в частности, следующее П р е д л о ж е н и е 8. Для произвольного линейного преобра- зования А евклидова пространства Ж„ ! А (х)' . ~ А (х)! шах, =аг, гп!и ',, ' =се„, оРХМВ ~Х ьфхае Х ь ь где а, и а„— наибольшее и наименьшее сингулярные числа преобра- зования А. Действительно, полагая у = ! х ! ' х, мы видим из формулы (8), что квадрат отношения 1 А (х) ) / ! х 1 равен отношению Релея для преобразования А*А.
Отсюда в силу предложения 2 получаем требуемое заключение. Приведем некоторые свойства сингулярных чисел. Детерминант и след матрицы линейного преобразования, как и любые коэффи- циенты ее характеристического многочлена, являются инвариантами преобразования. Следующие предложения показывают их связь с сингулярными числами. П р е д л о ж е н и е 9. Детерлшнант матрицы линейного пре- образования в евклидоеом пространстве по абсолютной величине равен произведению сингулярных чисел.
Для доказательства вычислим модуль детерминанта обеих ча- стей равенства (6). Получим ( де1 А ( = ! де1 Р ! ! де1 5 !. Здесь ! де1 Р [ = 1, так как преобразование Р ортогональное, а Йе1 3 равен произведению собственных значений преобразования 3, равных сингулярным числам. Отсюда ! де1 А ) = и,, а„, как и требовалось. ГЛ, Е ЛИНЕИНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЙ П р е д л о ж е н и е 1О, Абсолютная величина следа матрицы линейнога преобразования А не превосходит суммы его сингулярных чисел. Для доказательства запишем полярное разложение преобразования А в первом сингулярном базисе и представим его матрицу в виде А = Р5, где 5 — диагональная матрица с сингулярными числами на диагонали. Нетрудно проверить, что при умножении Р на диагональную матрицу каждый столбец Р умножится на соответствующий элемент диагонали 5, Поэтому след А равен сумме произведений соответствующих элементов диагоналей Р и 5.
Но элементы ортогональной матрицы по абсолютной величине не превосходят единицы. Отсюда (1гА' ,=~„'~риа;!~ ч а„ как и требовалось. П р е д л о ж е н н е !1, При умноюсении преобразования А слева или справа на оргпогснальное преобразование (л' его сингулярные числа остаются неизл~енными. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А — матрица преобразования А в ортонормированном базисе. Напишем ее сингулярное разложение (18) З 1: А = ООР. Здесь Я и Р— ортогональные .латрицы, а 0 — квадратная диагональная матрица порядка и, Сингулярные числа преобразования А — это диагональные элементы матрицы 1л. Матрица преобразования А(л равна ЛУ = ООРО, причем РУ вЂ” ортогональная матрица.
Применяя теорему 2 ~ 1, мы видим, что диагональные элементы матрицы 0 — сингулярные числа преобразования АО. Для произведения 0А предложение доказывается аналогично. Отметим еще следующее Предложение 12. Сингулярные числа преобразования А совпадают с сингулярными числалш его сопряженного преобразования А*. Это предложение — прямое следствие предложения 14 й 1.
Предложение 13. Образ любого вектора при преобразовании может быть найден, если известны сингулярные числа и сингулярные базисы етого преобразования. Действительно, напишем разложение произвольного вектора по первому сингулярному базису х =,У,'(х, е;)е, и подействуем на обе части равенства самосопряженным преобразо- ванием 3, входящим в полярное разложение А = РЗ: 8(х) = ~ (х, е;)3(е,)=~',а,(х, е)еь $ В ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВВ З( На обе части этого равенства подействуем ортогональным преобра- зованием Р и получим разложение А (х) = ~ а, (х, е ) Р (е;) = ~я~ а; (х, е ) ('и в котором )'; — векторы второго сингулярного базиса, а а~ — сингуля рные числа.
В качестве упражнения читатель может попробовать получить предложение 13 нз теоремы 2 5 1, а предложения 11 и 12 с помощью полярного разложения. б. Обзор результатов для унитарных пространств. Рассмотрим самосопряжениое преобразование А унитарного пространства й',. Отношение Релея для А определяется так же, как и в случае евклидова пространства, В ортонормированном базисе из собственных векторов преобразования А мы можем записать (А (х), х) (х, к) В хлЗ' где ).~ — собственные значения преобразования А. Отсюда следует утверждение, равносильное предложению 2: для любого и ! ) „~ р (х) х-- ),, (9) (при условии, что собственные значения упорядочены в невозра» стающем порядке).
Экстремальные свойства собственных значений, сформулированные в теореме 1, переносятся на самосопряжеиные преобразования унитарных пространств без изменений. Полярное разложение линейного преобразования в унитарном пространстве имеет вид А=Р8, где Р— унитарное, а 3 — самосопряженное преобразование о неотрицательными собственными значениями.
Доказательство существования этого разложения и его единственности для обратимых преобразований практически не отличается от приведенного дока. зательства, относящегося к евклидовыи пространствам: в качестве Р берется унитарное преобразование, переводящее первый сингулярный базис во второй, а 8 = Р 'А оказывается самосопряженным преобразованием, собственные значения которого равны сингулярным числам А. Свойства сингулярных чисел, полученные в и. 4, почти без изменения переносятся на унитарные пространства. Так, имеет место П р е д л о ж е н и е 14.
Лри у.иножении преобразования А справа или слева на унитарное преобразование Осингулярные числа А остаются неизменными, 32 ГЛ. Ь ЛИНЕИНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 5 3. Линейные преобразования в унитарном пространстве Основная часть параграфа будет посвящена результатам, не имеющим места в вещественном случае. Они, как правило, связаны с тем, что в комплексном пространстве каждый корень характеристического уравнения является собственным значением, и с тем, что каждый комплексный многочлен имеет хоть один комплексный корень.
!. Перестановочиые преобразования. Преобразования А и В называются перестановочными, если АВ = ВА. Следующие свойства таких преобразований имеют место в равной мере и для комплексных, и для вещественных пространств. Ниже всюду !ш В обозначает область значений преобразования В, ранее обозначавшуюся В (Х). П р е д л о ж е н и е 1. Если линейные преобразования А и В линейного пространства й'„пергстановочны, то надпространства Кег В и 1щ В инвариантны относительно А.
Действительно, пусть х еи 1го В, т. е. существует у ы Х„такой, что х = В (у). Тогда А (х) = АВ (у) = ВА (у) ~и! ! щ В, как и требовалось. Далее, пусть х ~ Кег В, т. е. В (х) = о. Тогда В (А (х)) = АВ (х) = о. Это означает, что А (х) еи Кег В, и, таким образом, Кег В инвариантно. Будем называть собственныи подпространством преобразования А подпростраиство, которое состоит из всех собственных векторов, принадлежащих какому-нибудь одному собственному значению, и нулевого вектора. П р едл о ж е н и е 2. Если АВ = ВА, то собственные надпространства В инвариантны относительно А. Собственное подпространство, соответствующее собственному значению А, есть Кег ( — ХЕ). Если АВ = ВА, то А ( — АЕ) = = ( — АЕ) А, Отсюда утверждение следует в силу предложения 1.
Преобразования А и А — ХЕ перестановочны, и мы имеем С л е д с т в и е. Подпространство 1щ (А — АЕ) инвариантно относительно преобразования А. Заметим, что инвариантность Кег (А — АЕ) очевидна: это или собственное подпространство, или нулевое подпространство. Перейдем теперь к результатам, относящимся только к комплексным пространствам. 2. Приведение матрицы линейного преобразования к треугольному виду.
П р е д л о ж е н и е 3. Каждое линейное преобразование А комплексного линейного пространства Х, имеет собственный вектор. В казкдом инвариантном подпространстве преобразования А содержится собственный вектор. Первое утверждение очевидно, поскольку характеристическое уравнение обязательно имеет хоть один корень, и он является соб- Э 3, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВВ ЗЗ ственным значением. Второе утверждение следует из первого, если его применить- к ограничению рассматриваемого преобразования на инвариантном подпространстве.
Отсюда и из предложения 2 следует П р е д л о ж е н и е 4. Любые два перестановочнык преобразования комплексного пространства имеют общий собственный вектор. Действительно, пусть А и В перестановочны. Любое собственное пространство преобразования 8 инвариантно относительно А и, следовательно, содержит собственный вектор А. Предложение 3 по существу означает, что в каждом инвариантном подпространстве содержится одномерное инвариантное подпространство. Можно доказать также и следующее П р е дл о ж е н не 5. В каждом й-мерном инвариантном прзстранспгве линейного преобразования А комплексного пространства Х„содержигггся (й — 1)-мерное инвариа гггное подпрострапство. Докажем сначала, что у линейного преобразования А комплексного линейного пространства Х„существует (и — !)-Мерное инвариантное подпространство Х„л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
