Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Курс был рассчитан на студентов физических и ин>кенерных спепиальиостей, но посешали его также н студенты, специализирующиеся по прикладпои математике. Цель этих лекций состояла в том, чтобы заполнить пробел между обшим курсом липецкой алгебры и приложениями линейной алгебры к научным и техническим задачам. В соответствии с этим более близкие к приложениям сведения выбирались в зависимости от специализации и интересов слушателей. В книгу вошли почти все темы, когда-либо бывшие в программе, и потому объем материала в ией превосходит обычный объем спецкурса. Подробнее содержание книги видно из оглавления.
Отдельные главы юигп изложены достаточно независимо, для того чтобы оставить изучающему свободу выбора материала: гл. Ш, 1Ч и Ч практически независимы, хотя отдельные места гл. 1Ч и Ч, посвященные методам вычислений, предполагают знакомство с гл. 111. Почти вся гл. 1 необходима для дальнейшего изложения, но сседения о комплексных пространствах используются в меньшей мере. Из гл. 1! в последуюгцих главах чаще всего приходится ссылаться на з 3 и, в частности, на теорему о спектральном раз.
ложения функции от матрицы. Теорема Жордапа почти не используется, и потому из з 2 гл. 11 для дальнейшего нужен лишь п. 1. Частично изложение имеет ознакомительный характер, ц ряд результатов приводится без доказательства. В этих случаях делаются ссылки на источник, в котором доказательство можно найти. При ссылках указывается фамилия автора и номер по списку литературы в квадратных скобках. В качестве рекомендуемой литературы выбраны достаточно распространенные учебники и монографии.
Читатель, который захочет продолжить изучение предмета, сможет найти дополнительные ссылки в упохшнаемых здесь книгах. Предполагается, что читатель знаком с основными фактами из линейной алгебры. Зги факты используются в том виде, как они изложены в «Курсе аналитической геометрии и линейной алгебры» 131.
Ссылки на этот курс начинаются с буквы К (например, К., предложение 1 ь 2 гл. 1Ч). Кроме того, выражение яка к известно, ...» или любое эквивалентное можно рассматривать как неявную ссылку на тот же учебник. Проф. А. А Абрамов, проф, В. В. Воеводин и канд. ф.-м. н. А. Ф. Заболоцкая были таи любезны, что прочли рукопись книги. Ряд замечаний сделали доц. О. В. Висков и доц. Б. В. Федосов.
Всем им я выражаю свою глубокую благодарность. гллвл ЛИНЕ11НЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ й 1, Сопряженное отображение Известно, что в евклидовом пространстве для линейного преобразования А существует сопряженное преобразование А*. Тот же термин и то же обозна гение «звездочка» прнменялпсь и по отношению к линейному пространству Х'*, сопряженному данному линейному пространству Х, т. е. к множеству линейных функций, определенных на с.
Это сходство в названная отражает глубокую связь между указанными понятиямн. В настоящем параграфе зта связь будет описана подробно. Цель параграфа — определение и изучение отображения, сопряженного заданному линейному отображению одного линейного пространства в дру~ое. Будет предполагаться знакомство с основными свойствами отображений (К., 5 3 гл. г!) и с понятием сопряженного пространства (К., 5 1 гл. «гП1). 1. Ортогональность. Ниже мы введем для линейных функций на линейном пространстве Ж„некоторые обозначения и термины. Оии напоминают о связи, которая существует между линейныии функциями и векторами в евклидовых пространствах, и упрощают формулировки некоторых предложеиги.
Рассмотрим линейную функцию Г на линейном пространстве с„. Значение функции ) на векторе х мы будем обозначать не ) (х), а (), х). В такую запись ) и х входят более симметрично. Известно, что вектор х ы .с', можно рассматривать как линейную функцию ца Жь сопоставляющую каждому Г" из Ж„'число (~, х) '). Поскольку значение ) на х и значение х на ! — одно и то же число, мы имеем право писать Д, х) = (х,1). Вектор х еи Ж„мы назовем оргпогональным вектору )' из если (Г", х) = О.
Заметим, что термин <бнортогональные базисы» предполагает ортогональность именно в этом смысле. Очевидно, что отношение ортогональности симметрично: Г" ортогоиален х тогда и только тогда, когда х ортогонален 1. О п р е д е л е н и е. Пусть <»а — линейное подпространство в Х„. Множество всех векторов из Ж;„ ортогональных каждому вектору из Ф„, называется ортогональны,и дополнением л» и обозначается Ф„с.
Подчеркнем, что ортогональное дополнение подпространства в х„ лежит в другом пространстве — в Х„'. ') Для читателя, знакомого с тензорной алгеброй, возможно, стоит заметить, что (А х) — свертка вектора л и ковектора А гл. ь линвниые отоввхжвння П р е д л о ж е н и е 1. Ортогональное дополнение й-мерного надпространства й» есть линейное надпространство, причем д1 ш»Е»с = == п — й. Доказательство почти не отличается от доказательства аналогичного предложения для евклидова пространства. Заметим сначала, что 1 ~,х»~ тогда и только тогда, когда 1 ортогонально всем векторам какого-либо базиса в»г»».
Действительно, если а„., а»вЂ” базис в Ф„, то для каждого х из й» имеем х =- с'а, + ... + $»а» и (1, х) = э' (г, а,) + ... + э»(1, а») в силу линейности функпни 1. Поэтому из (1, а,) = О, ., (Г, а») = О следует, что Ц, х) = = О. Обратно, если (), х) = О для всех х ~ х», то, в частности, это верно и для базисных векторов. Выбрав в с„какой-либо базис, мы можем записать в нем равенства (1, а;) = О для всех 1 = 1, .„, и. Это будет система линейных уравнений х,а,+...+х»а, = О, ! ! » х,а» +... + х,а» = О относительно коэффициентов функции 1 в вгябранном нами базисе, ао ..., а" ,обозначают компоненты вектора аь Так как векторы а„..., а» линейно независимы, ранг матрицы системы равен й.
Мы знаем, что множество решений системы образует линейное пространство размерности п — й. Это равносильно доказываемому утверждению. Рассмотрим для некоторого подпространства ..х» пространство (»гьс)с — ортогональное дополнение его ортогонального дополнения. Из взаимности отношения ортогональности следует, что »г»:-( й»с)"-. Но размерность (»»»~)-" равна и — (и — й), т.
е. й. Это значит, что ( Сь»-)с совпадает с Ж». 2. Определение сопряженного отображения. Мы будем рассматривать два линейных пространства Х„и Ж размерностей и н т, вообще говоря, различных. Х,", и Ж', как всегда, обозначают соответствующие сопряженные пространства. Пусть дано некоторое линейное отображение А: Я„-э Х, Если 1 ы Ж*„— какая-то линейная функция на Ж, то можно взять суперпозицию отображения А и этой функции, т. е. на вектор х ен Ж„подействовать сначала отображением А, а затем взять значение функции ) от вектора А(х) ~ Ж . Таким образом будет определена числовая функция д на пространстве Ж„, которая может быть обозначена 1 ° А.
Итак, $ ! СОПРЯЖЕННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ Функция г может рассматриваться как линейное отображение О„ в множество чисел, и потому длинейна как произведение двух линейных отображений. Впрочем, линейность я нетрудно проверить и непосредственно. Теперь сопоставим каждой линейной функции г на х„ функцию ~ ° А на Х„. Полученное отображение Я,*„ -+ Ж„" мы обозначим через А'. Таким образом, А*())=~.А.
(2) Возьмем значение каждой нз частей равенства (2) на векторе х. Мы получим (А'5, х) =® А(х)). (3) Равенство (3) очень похоже на определение сопряженного преобразования в евклидовом пространстве. Ниже мы покажем, что это не просто внешнее сходство. Заметим, что сходство в записи достигнуто за счет удачных обозначений.
Если бы значение функции мы обозначали, как обычно, г (х), то правую часть равенства (3) пришлось бы написать так: ~ (А (х)), а левую часть — в совсем неудобном виде А* 5 (х). Докажем, что отображение А' является линейным. Для этого напомним определения суммы двух линейных функций и произведения линейной функции на число. В наших новых обозначениях эти определения имеют вид ((1+(„х) = ф, х)+ ~7„х), (а7, х) =а(г, х).
Используя эти равенства и равенство (3), мы можем написать (А" (~д+7,), х)=ф+7м А(х)) =ф, А(х))+Д, А(х))= = (А' ()1), х) + (А ' Ю, х) = (А' (6) + А * А), х) и (А" (а)), х) = (аг, А (х)) = а (г", А (х)) = а (А* (~), х), что и исчерпывает вопрос. Теперь мы можем ввести следующее О и р е деле н не. Линейное отображение А*: Х,"„-+-Хй, определенное формулой (2), называется сапряженяььи линейному отображению А: Х„-~- Х .
Можно было бы считать определением формулу (3), потребовав, чтобы равенство выполнялось для всех х ~ .О„. Из сказанного выше видно, что каждое линейное отображение имеет единственное сопряженное отображение. Рассмотрим отображение А~', сопряженное отображению А~. Согласно определению, А'~ отображает О„в Х„, причем, если х ~ Х„рассматривать как линейную функцию на с - > для любого 1б Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
