Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для 1(А') имеем 1 (А') = д(ай (1'(У ) " ~ (Уя)). Отс4ода видно, что в г" (А') все элементы ниже главной диагонали равны нулю, а элементы главной диагонали — числа ) (Л,), ..., 1 (Л,), повторенные должное число раз. Поэтому 4(е1(1 (А') — ЛЕ) = (Л вЂ” ~(Л4)) 4 ... (Л вЂ” 4 (Л,)) что равносильно доказываемому утверждению. Детерминант матрицы равен произведению ее характеристиче- ских чисел, а след — их сумме (при этом каждое число считается столько раз, какова его кратность в характеристическом много- члене). Отсюда мы получаем следующее равенство: 41е1 ел е44 А 4 4.
Приложение к обыкновенным дифференциальным уравнениям В этом параграфе мы ие ставим себе задачи ни показать всевозможные применения теории матриц к дифференциальным уравнениям, ни, тем более, изложить теорию дифференциальных уравнений. Ограничимся наиболее простыми и характерными приложениями функций от матриц. ГЛ.
и, ТЕОРЕМА ЖОРДАНА. ФУНКЦНИ ОТ МАТРИЦ 1. Матричные функции скалярного аргумента. Мы будем говорить, что на множестве вещественных чисел Т задана матричная функция Р, если каждому числу 1 нз этого множества сопоставлена некоторая матрица Р (т) фиксированных размеров т х и. Нас будут специально интересовать два вида матриц — квадратные матрицы порядка и и столбцы высоты и. Задание матричной функции скалярного аргумента равносильно заданию тп числовых функций на множестве Т, сопоставляющих каждому числу т из Т отдельные элементы матрицы Р ((). Мы будем называть эти числовые функции элементами функции Р.
Все определения, связанные с матричными функциями скалярного аргумента, вводятся посредством соответствующих определений для их элементов, и свойства их легко выводятся из свойств числовых функции. Говорят, что матричная функция непрерывна, или дифференцируема, если ее элементы — непрерывные, или соответственно дифференцируемые функции от й Производную от матричной функции определим поэлементно: ))п()) -.
(1.()))~ )'1у) " ('„()))) Имеет место следующая формула дифференцирования произведения матричных функции: — = — В+ А —. »АВ ВА »В в) Й Действительно, элемент произведения АВ имеет вид су ()) = ~ а;» (Г) у»Т ()). Отсюда сй )) = ~~, (а(» (т) Ь»т(т)+а;»(() Ь», (г)1, Теперь, перегруппировывая слагаемые, сразу получаем требуемое равенство. Из него имеем следующие следствия. а) Постоянный множитель выносится за знак дифференцирования (с учетом порядка сомножителей).
б) в (Р») в» Р» ~ Р вр Р»»» ~ в»Г в) — (Р-') = — Р-' д~ Р-'. в) Последнее равенство можно получить дифференцированием тождества РР ' = Е, если предварительно убедиться в существовании производной от Р '. Эта производная существует, так как эле- э а. пРиложение к диФФеРенциАльным уРАВнениям От менты г ' — дробно рациональные функции от элементов г", имеющие общий знаменатель бе1 г ~ О. Мы будем говорить, что матричная функция скалярного аргумента разложена в ипепенпой ряд в окрестности точки 1„ если в такие ряды разложены все ее элементы.
Частичные суммы рядов для элементов могут быть объединены в линейные комбинации матриц пл (1) = ~ А»(1 (а)" Поскольку сходнмость последовательности матриц по норме рав посильна поэлемептной сходимости, Рв (1) — ~ г (1), и мы можем записать Р (!) = ,У, А, (1 — та)а. а=а Ваметим, что последний ряд, вообще говоря, не является матричным степенным рядом в смысле 5 3.
Матричный ряд по степеням 1 — 1а сходится, когда сходятся все ряды для элементов. Внутри области сходнмости ряд может быть почленно продифференцирован, поскольку это возможно для каждого элемента, а дифференцирование определено поэлементно.
По отношению к операциям сложения и умножения на вещественное число столбцы-функции высоты п от скалярного аргумента 1 образуют вещественное линейное пространство, которое мы обозначим аЯ',". Это пространство бесконечномерное. Действительно, столбцы пм О О линейно независимы, каково бы ни было У. 2. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами а — ~~ а)з~ ((), ( = 1, ..., и. ~=! Обозначим матрицу коэффициентов системы через А, столбец из неизвестных функций — через $ й (1).
Теперь рассматриваемую систему мы можем записать в матричном виде й' Ай. (1) гл. и. тнояам» жо~ д»н», эвикции от м»танц П р е д л о ж е н и е 1. Каков бы ни был постоянный столбец а, система (1) имеет единственное решение, удовлетворякяцее уело. вию й (О) = а, и вто решение есть и (!) = е"'а. (2) Д о к а з а т е л ь с т в о. Если столбец $ дифференцируем, то дифференцируемым является также и столбец Аэ, получаемый из негоумножепием на постоянную матрицу, причем — (А$)= А5'. т Следовательно, для решения системы (1) й" существует и равняется А'$ Допустим, что у $ существует (й — 1)-я производная и й'» " = А" ' $. Тогда из дифференцируемости А» 'й следует существование Й-й производной и равенство $<»~ = А»й. (3) Согласно принципу полной индукции формула (3) имеет место прп всех й.
В частности, для ! = 0 имеем ~" »' (О) = А»в (О) = А»а. Это позволяет пам составить ряд Тейлора для 4! э' — 1»~~»> (О) = У вЂ” 1»А» а, (4) »»в )~» -о По определению показательной функции от матрицы, сумма этого ряда равна Фла. Будет ли ряд сходиться к решению $, ддя которого мы этот ряд строили, зависит от того, стремится ли н нулю при У- со остаточный член в формуле Тейлора, равный У-му остатку ряда. В форме Лагранжа этот остаточныи член можно записать так: — ВнАна. ! ли Здесь З вЂ” некоторое число, заключенное между 0 и Г (или между ! и нулем, если ! <- О).
Обозначив через Ео компонентные матрицы матрицы А, по формуле (!5) Э 3 мы можем вычислить остаточный член Найдем коэффициент при компонентной матрице Я~ е„, считая !Ч ) 13 ~! Ян)У ((У 1) (»! )+1))„н-! Отсюда видно, что каждый коэффициент стремится к нулю при У- со и, следовательно, стремится к нулю и весь остаточный член. % А ПРИЛОЖЕНИЕ К ДИФФЕРЕНЙИАЛЬИЫМ УРАВНЕНИЯМ 99 Таким образом, мы доказалн единственность решения и формулу (2). Для доказательства существования решения следует проверить, что столбец (2) удовлетворяет системе (1). Почленным дифференцированием ряда (4) мы получаем. (5) Легко заметить, что этот ряд может быть получен умножением ряда (4) слева на матрицу Л.
Действительно, заменяя в (5) индекс суммирования й на 1+ 1, можно привести (5) к виду г = ( ~ — „~~А~") 11=а Отсюда сразу следует, что построенное нами решение а удовлетворяет системе (!). П р е д л о ж е н и е' 2. Рв~иения системы (1) образуют веи1ественное и-мерное линейное подпространство в еЯ~". До к аз ател ьство. Пусть $, и $,— решения системы (1). Тогда для любых чисел а и (1 имеем (а$, + Я,) ' = аа( + () аэ = аЛ 9, + (1 Л ~, = Л (а";, + Ц,). Это означает, что произвольная линейная комбинация решений системы также будет ее решением.
Рассмотрим и решений ср; = е'лен 1 1, ..., и, где е; — 1-й столбец единичной матрицы. Докажем, что любое решение эь есть линейная комбинация решений фн ..., ~р„, Действительно, пусть 9 (О) = а = а'е, + ... + а"е„. Умножая это разложение слева на матрицу е'", получаем а = и'ф, + ...+ а'<р„, как н требовалось. Решения «р; линейно независимы. В самом деле, если для какнх-то коэффициентов р' выполнено р'~р, + ... + (1'чр„= = О, то, полагая 1 = О, имеем отсюда р'е, + ... + (3"е, = О, откуда следует р' = ... = р" = О. Тем самым предложение полностью доказано. Базис в пространстве решений системы (1) называется ее фундаментальной сисп1емой решений. Объединяя столбцы, составляю щие фундаментальную систему решений, в матрицу, мы получаем квадратную матрицу порядка и, называемую фундоменпильной матрицей системы (1).
Выше мы доказали, что е'лЕ = егл — фундаментальная матрица. Пусть Р (() — фундаментальная матрица. Тогда легко видеть, что для любого решения а (() найдется постоянный столбец а, такой, что й (г) = Р(Г)аж П р е дл о ж е н и е 3 Матрица Р (() является фундаментальной матрицей системы (1~ тогда и только тогда, когда она имеет вид Р (1) е'"Р„где Рв — постоянная матрица, и бе1 Р, ~ О. ы 100 гл. и. твогвма жоядлнм санкции от млтвнц Доказывается предложение не сложно, и мы предоставим чита.
телю провести это доказательство. 3 а м е ч а н и е. Мы рассматриваем линейную зависимость столбцов-функций скалярного аргумента относительно п о с т о я ив ы х коэффициентов. Поэтому вполне может случиться, что столбцы линейно независимы, а детерминант матрицы, из них составленной, равен нулю (примером могут служить столбцы, приведенные на стр. 97). Из предложения 3 вытекает, что для столбцов, являю- шихся решениями системы линейных дифференциальных уравнений, этого быть не может.
Возможно, стоит заметить также, что- ряд результатов этого пункта сохранится н в более общем случае — для систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами: предложение 1 сохраняется, за исключением формулы (2) для решения, предложение 2 сохраняется полностью. 3. Вычисление матрицы в". Рассмотрим вещественную матрицу А и найдем значение функции / (~~) = е!т на ее спектре.
Это— числа )(/-!! (Л!) = //-!е!~! Отсюда, согласно (15) з 3, имеем (6) Для наших целей мы не можем рассматривать это выражение как окончательное, поскольку матрица е!л вещественная (что видно из ее представления в виде ряда), и мы должны постараться получить для нее вещественное выражение. Так как матрица А вещественная, для каждого комплексного корня ее характеристического уравнения 1.! найдется комплексно сопряженный корень Х!. Обозначим номер корня Х! через 1, так что Х/ = Х!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
