Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В э 4 гл. 1 мы видели, что с'-норма матрицы не меиыве ее евклидовой нормы. Тот же результат, очевидно, верен и для унитарной нормы: )А)ц---пгпах ~ау!=) А), . с. с Применяя это к матрицам 5 н Т, находим л , гс2 1йеЛс! «~ '! 1сгеЛссл~ «) 5!~ц«)51н, ,с=! н окончательно 1йеЛс(. =.и гпах ~ " ' !. и с Аналогично ! 1гпЛс1«н гпах1 л !. с, с Как было показано, !! А 1ц = 1г АлА. Но 1г А*А= ~ ас> где а; — сингулярные числа А.
Поэтому неравенство (1) означает, что л л У сЛссс2« ~~~ ас, с=! с=! и равенство имеет место тогда и только тогда, когда А — нормаль. ная матрица. 4. Локализационные круги. Мы будем говорить, что матрица А порядка и имеет доминирующую главную диагональ, если каждый ее диагональный элемент по модулю больше суммы модулей остальных элементов той же строки: ~аи ! ~ ~,' (ам ~ для всех 1= 1, ..., и. (2) АФС 1ОВ ГЛ и, ТЕОРЕМА ЖОРДАНА. ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ П р е д л о ж е н и е 4, Если матрица А имеет доминирующую елавную диагональ, то де1 А Ф О. Действительно, если де1 А = О, то существует нетривиальное рещение системы линейных уравнений Ае = О. Пусть $' — максимальная по модулю компонента этого решения. Подставляя й в уравнение системы, имеющее тот же номер 1, получаем )а;Д',' =~ ~~ а;Д»(.
Отсюда ~ ак,' , '$' ~ ~ ~ ~ ам,',~ $» ~ ~,' «' ~ ~У', ~ а», А;ь 1 А -' 1 что противоречит условию. Применяя предложение 4 к транспонированной матрице, мы увидим, что для невырожденности матрицы А также достаточно чтобы элементы главной диагонали доминировали над элементами столбцов, а не строк, т. е. !аи!) ~,'а»;!.
»~1 Пусть дано какое-то условие невырожденности матрицы. Мы можем применить его к матрице А — ЛЕ и получить множество точек у комплексной плоскости, в котором заведомо не лежат корни характеристического многочлена А. Этим мы покажем, что все корни лежат в множестве, дополнительном к у. Такие рассуждения используются для доказательства ряда локализационных теорем. Воспользуемся ими в сочетании с предлох«ением 4. П р е д л о ж е н и е 5. Все характерисошческие числа матрицы А содержшнся в объединении кругов )Л вЂ” аи,'к.,У,,'а,„~, 1=1, ..., к. Р) А Е.
~ Действительно, если число Л не принадлежит к объединению кругов, каждое из условий (3) должно быть нарушено и, следовательно, матрица А — ЛЕ должна иметь доминирующую главную диагональ. Круги (3) мы назовем лакал зационныли кругами матрицы А. Если а„= 0 при й =~= 1, то 1-й круг стягивается в точку.
Например, для единичной матрицы объединение кругов состоит из одной точки. Слову «стягиваться» мы придадим точный смысл, если введем перед недиагональными элементами матрицы А множитель г и будем рассматривать матричную функцию г (г) для»ен (О, 1) с элементами )и(1) =-,аи и ~,А (г) = 1ам при 1 як. я. Если 1-+ О, о радиусы кругов матрицы г" (Г) стремятся к нулю, а центры остатся на месте. $5. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 1от Используем без доказательства теорему о том, что корни многочлена — непрерывные функции от его коэффициентов '). Коэффициенты характеристического многочлена матрицы г (1) — много- члены от ее элементов и, следовательно, непрерывные функции от 1. По этой причине и характеристические числа г' (1) — непрерывные функции от 1.
Каждый нз корней при изменении 1 от 1 до О описывает на комплексной плоскости непрерывную дугу. Точнее говоря, для каждого характеристического числа )сг матрицы А найдется непрерывная дуга, начинающаяся в )с~ и кончающаяся в некоторой точке ал, причем в каждой из этих точек кончается хоть одна из дуг. Чтобы представить себе, какие тут есть возможности, рассмотрим следующий пример.
Пусть 1 — 4 — з,!' ( ) 1! — 4с — 51' Характеристические числа г (1) равны А, = — 3+ 2 )/Т ( г и ).в = — 3 — 2 )/1 — гг. При изменении 1 от 1 до О они расходятся й 1 4 Б с) Г=-1 ф з=-~ г Рис. 2. нз точки — 3 в точки — 1 и — 5. Если() 4/5, то в меньший из кру гов 1А+ 1 ~ =1 не попадает ни одно характеристическое число. При 1 ( 4/5 одно из них лежит в меньшем круге, а одно — в большем ~ А+ 5 ( ~ 4г, и оба круга не пересекаются (рис.
2). т) Си. Островский [251. 108' гл и, твоеемА жоедАнА, Функции от мАтРиц Дуги могли бы не иметь общих точек, сходиться из разных точек в одну и т. д. Если один из локализационных кругов матрицы А не пересе. кается с остальными, то не пересекается с остальными и соответствующий круг матрицы Р (1) при любом 1 ен 1О, 11, А это значит, что дуга, кончающаяся в центре этого круга, лежит в нем целиком. Действительно, если круги не пересекаются, характеристическое число не может попасть ни в какой другой круг непрерывным перемещением, не проходя через точки, не принадлежащие объединению кругов.
Так как прн любом 1 оно должно лежать хоть в одном круге, оно будет оставаться в рассматриваемом. Таким образом, если один из локализацнонных кругов матрицы А не пересекается с остальными, в нем лежит хоть одно характеристическое число. Возможно, их окажется н больше, как показывает следующий пример. Матрица (8 1 01 ~о 2 имеет два непересекающихся локализационных круга ~ Х вЂ” 1 1 ( 2 и ~ Х вЂ” 5 ~ ~ 1. В первом из ннх лежат два характеристических числа — 1 н 3.
Однако легко заметить, что первый круг порождается второй и третьей строками матрицы, и, следовательно, мы имеем право считать его дважды. П р е д л о ж е н и е 6. С учетом кратностей локализационных кругов и характеристических чисел, множество из г локализационных кругов, не пересекающихся с остальными и — г кругами, содержит розно г характериспшческих чисел.
Предложение это доказывается при помощи приведенных выше соображений, и читателю предоставляется провести это доказательство, если он пожелает. С лед от в и е. Если некратный локализационный круг вещественной матрицы не пересекается с остальными, то е нем лежит вещественный корень. Действительно, в противном случае комплексно сопряженный корень должен был бы лежать в этом круге, так как центр круга находится на вещественной оси.
5. Замечания и следствия. Второе множество локализационных кругов можно получить, используя столбцы вместо строк: все характеристические числа матрицы лежат в объединении кругов 1Х вЂ” аи~ ~,У, (аь~!. А~1 Это может уточнить расположение корней. Другой способ улучшения оценки состоит в применении ее к матрице Б 'АЯ. Если 3 — диагональная, то каждая строка А Ф 3, локАлизАция КАРАктеРистических чисел 109 умножится на какое-то число, а столбец с тем же номером — на обратное число. Поэтому центры кругов останутся на месте, а радиусы изменятся. Можно постараться выбрать В так, чтобы они уменьшились.
Области локализации, отличные от кругов, можно получать, пользуясь предложением 9 9 3. Пусть В = р (А) — многочлен от А. Тогда ~р(й) — ь,,~ ~' ~й,,~. (4) А~К Области такого вида могут дать очень точную локализацию, но ее использование затруднено. В предельном случае, если р — характеристический многочлен, (4) сводится к условию р (Х) = О. Прн помощи локализационных кругов можно получить оценки для вещественных частей и для модулей характеристических чисел, Например, для каждого характеристического числа А йеХ~тах~ йеап+ ~ 1а;А)~, А~1 цеХ)щ1п~йеан — ~', ~ам~~, А~С (б) так как самая левая н самая правая точка в (-м круге — это точки ап — ~ч',,'а;А ! и ап+,У', Рям 1.
Ф.,-. 1 Ф фГ' Поскольку ! Х вЂ” ал ~ ) ! ~ Х ! — ( ап ! ~, найдется такой номер (, что !Х) ~ ~~ )ам1. А =! Пусть и — максимальная из сумм модулей элементов по строкам, а о — максимальная из сумм модулей элементов по столбцам. Тогда полученные выше неравенства можно объединить так: ( Х ~ = пц'п (и, о) . Рассмотрим матрицу А, для которой условия (2) выполнены не для всех значений 1, а только для г из них. Из предложения 4 следует, что в А существует подматрица порядка г с доминирующей главной диагональю и, следовательно, минор порядка г, отличный от нуля. Итак, Кд А ~ г. !Х, '==,'ал1+ ~' ,'а А~ = ~ч', ! а;,~, ~4-А А=! и мы снова приходим к оценке в) стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
