Беклемишев - Дополнительные главы линейной алгебры (947281), страница 28
Текст из файла (страница 28)
сс Для вычисления с, иет хороших формул, удобных для теоретических исследований, но для конкретной матрицы оно легко может быть сосчитано, если известна обратная матрица. Наоборот, для спектрального числа обусловленности есть хорошая общая формула, но для конкретной матрицы общего вида вычислить его сложнее. Практическое использование чисел обусловленности для оценки погрешности при решении конкретной системы затруднено тем, что при решении системы обратная матрица не вычисляется, и число обусловленности можно найти ценой сравнительно больших усилий.
3. Почти вырожденные матрицы. Мы назвали матрицу почти вырожденной, если малым изменением ее элементов она может быть превращена в вырожденную матрицу. При этом класс почти вырожденных матриц зависит от принятой меры малости элементов. Пример на стр.
118 показывает, что малость детерминанта не является необходимым условием почти вырожденности. Не является 1 это условие н достаточным, как показывает пример матрицы — Е, где Š— единичная матрица, скажем, двадцатого порядка. Ниже мы покажем связь свойства матрицы быть почти вырожденной с нормой ее обратной матрицы и числом обусловленности. Рассмотрим матрицу А и запишем разложение ее детерминанта по 1-й строке в виде с(е1 А = ( — 1)с+У ас~Мс'+ сус ГЛ, НЬ ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ где йс — сумма членов, не содержащих элемента ан. Тогда добавка ест к элементу асм обращакяцая детерминант в нуль, должна удовлетворять уравнению ( — 1)с.ьс (ан+ е; ) М,'+ с1с' = О, или ( — 1)'+ сМ,'ео = — с(е1 А.
Если Мс = О, то очевидно, что бе1 А не меняется прн измене- с нии ан. В противном случае мы находим е;, = ( 1)сы~' — (Ьм)-' Ве1 А где через Ьсс обозначен элемент обратной матрицы А-'. Нас будет интересовать минимальное по модулю возмущение элемента матрицы, обращающее в нуль детерминант. Для него имеем е = сп1п1есс1= Сспах ~ Ьсс !)-'. сс с! Здесь минимум берется по тем с, С, для которых Мс Ф О. Но максимум можно считать взятым по всем с, 1', так как при Мс О н Ьсс=О.
Подставляя сюда снах(Ьсс,'= — 1А-'ь из опре1' л деления нормы (в(е, получаем е = п(А-',",,'. Далее, пусть минимум достигается для строки и столбца с номерами й и 1 соответственно. Обозначим через Еы матрицу, имеющую единицу в позиции й, 1 и нули на остальных местах. Тогда бе1 (А + ЕЕьс) = О и норма добавки ЕЕс, равна ве 1 ЕЕЫ ,'~; = ле =, 1А 'С„,. Мы рассматривали здесь очень частный случай — изменение только одного элемента матрицы. В общем случае детерминант обратится в нуль и при меньших по норме добавках. Однако мы можем утверждать следующее.
П р е д л о ж е н и е 3. Детерминант матрицы А может быть обращен в нуль добавлением матрицы, норма которой не превосходит па 11 А ' 1(р'. Заметим, что в оценку относительного изменения матрицы А Входит число обусловленности: $ в оаусловленность В связи с предложением 3 следует вспомнить условие (4), согласно которому добавка 6А, удовлетворяющая условию 11 ЬА 1! =я; в- р !! А ' 1Г', где р ( 1, не может обратить в нуль детерминант А. Таким образом, действительно необходимая для обращения детерминанта в нуль добавка по норме равна а1! А ' !1,', где 1 ( а ( ~ и'. Это показывает, что число !! А ' !1,' можно использовать в качестве меры близости матрицы к вырожденной. Если !! в !! — норма в арифметическом пространстве, то, как было показано в предложении 12 З 4 гл. 1, функция д(А) =!и! — ', ! Ай! ь~о !в( равна нулю на вырожденных матрицах и равна !! А-' 11-х (при индуцированной норме) для невырожденной А. В частности, если норма 1! в !! евклидова, то 1 А-' 1-' = а„, где а„— минимальное сингулярное число матрицы А (формула (16) $ 4 гл.
!), и, следовательно, минимальное сингулярное число может служить мерой близости матрицы к вырожденной. Основанием для этого мокнут служить также следующие соображения. Теорема 1м 5 1 гл.! показывает, что для матрицы А найдутся ортогональные матрицы 5 и Р такие, что А' = БАР— диагональная матрица с сингулярными числами иа главной диагонали. Матрица А' может быть сделана вырожденной при помощи возмущения, по норме равного минимальному сингулярному числу а„. Пусть бе! (А'+ Р') = О.
Тогда с1е1 (А'+ Р') = де1 5 де1 Р с$е1 (А — $-'Р'Р-') = О, и, следовательно, А может быть сделана вырожденной добавлением матрицы Р = Б !Г'Р '. Но умножение на ортогональную матрицу не меняет спектральной нормы. Поэтому 1! Р !! = а„. Мы видим, что матрица А может быть обращена в вырожденную добавлением возмущения, по норме равного а,. Соответствующее дтносительпое возмущение по норме равно ~Р" ! ,л! ~А1 ° гА 1~' Отсюда мы получаем П р е д л о ж е н и е 4. матрица А может быть превраилени в вырожденную при относительном воэмуи!енин, по нор4ле ровном (с (А)! ', где с (А) — спектральное число обусловленности А. Исследуем подробнее влияние возмущения на решение системы линейных уравнений с почти вырожденной матрицей. Квадратная матрица А может быть разложена по теореме 1м 5 1 гл. 1 в произведение А = РЩ, в котором Р и Ц вЂ” орчогонввьные матрицы, а (л — диагональная в сингулярными чмсвамн мат.
128 ГЛ. Н1. ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ рицы А по диагонали. Рассмотрим возмущенную систему уравнений (А+ ЬА) (х+Ьх) =Ь+ЬЬ, и заменим в ней А указанным разложением. Тогда (Р0д1 Ррт ЬАдтР~(е 1 Ь~) и+Ьь откуда (О+ г) (у+ Ьу) = с+ Ьс, Где у=ртбА1), у=Ох, Ьу=дб., с=ртЬ, бс=р ЬЬ.
Отметим, что в случае спектральной или евклидовой нормы 1~ г" 1 = = ~~ ЬА 1~. Будем считать, что эта норма мала, во всяком случае 1~ ЬА !! 1 А ' 1 =!! г ~! ~~ 0 ' 11 - 1. Далее находим 0 (! + 0-'г) (у+бу) = с+Ьс, у + Ьу = (1 — 0-'г" -1-...) 0-' (с+ Ьс). Если пренебречь квадратами возмущений, используя у = 0-'с, мы получим Ьу = — 0-'~0-'+ 0 'Ьс. Матрица 0 1г0 ' получается из б" делением всех ее строк и столбцов на соответствующие сингулярные числа. При этом диагональные элементы делятся на квадраты сингулярных чисел.
Последний член получается делением компонент Ьс на соответствующие сингулярные числа. Если матрица А почти вырождена и плохо обусловлена, то несколько ее сингулярных чисел (во всяком случае„ал) малы, в то время как другие (во всяком случае, а,) не могут считаться малыми. Последняя компонента Ьу имеет вид л — ! Х вЂ”. )п1п1 1 1пппп 1 "~п а ал а'-„' а„ 1=1 ЕСЛИ ПрЕдПОЛОжятЬ, ЧтО /11 СраВНИМЫ ПО ВЕЛИЧИНЕ С ал, ТО ЧЛЕН /„„с„/а„' будет превосходить по модулю все остальные слагаемые, а также остальные компоненты, в которые входит только слагаемое ' 11~с~/а1~~.
Конечно, если окажутся малыми и некоторые другие сингулярные числа матрицы А, то полученный результат будет верен и для соответствующих им компонент погрешности Ьу. Мы полагали Ьу = ~бх. Столбцы матрицы Добразуют второй сингулярный базис матрицы А, или, что то же, первый сингулярный базис матрицы А ' (предложение 14 8 1 гл. 1). Поэтому проведенная выше довольно грубая оценка позволяет утверждать, что справедливо з а ОБуслОВленнОсть 129 П р е д л о ж е н и е б.
Луста сингулярные числа матрицы А разделяются на две группы — близких к нулю и далеких от нуля. Тогда для решения системы линейных уравнений с матрицей А погрешность велика за счет ее компонент по тем векторам первого сингулярного базиса лииприцьс А ', которые соответствуют большим сингулярным числам матрицы А '. Геометрическая иллюстрация этого предложения может быть получена на примере, рассмотренном в з 1.
Вектор первого снягулярного базиса матрицы А-', соответствующий ббльшему сингулярному числу, направлен вдоль ббльшсй оси построенного там эллипса. Кожно также дать следующее интуитивное пояснение этого рез)льтата..Если невырожденная матрица А стремится к вырожденной матрице 1, то некоторые из ее сингулярных чисел стремятся к нулю. Соответствующие пм.векторы второго сингулярного базиса матрицы А стремятся к векторам, на которые натянуто подпрострапство решений однородной системы уравнений Ац = О. Вместе с тем, если $ — решение системы А$ = й, то любой столбец вида в +тй где Ат) = О, является решением той же системы, т. е.
решение определено с точностью до «погрешности», удовлетворяющей однородной системе. Рассмотрение почти вырожденных матриц закончим одним частным замечанием, полезным для дальнейшего изложения. Для симмегричной матрицы модули характеристических чисел являются сш.гулярными числами. Поэтому, если а, и <», — наибольшее и наименьшее сингулярные числа матрицы А, то а," и а,', — наибольшее и наименьшее сингулярные числа матрицы А ТА. Это означает, что для спектрального числа обусловленности с(АТА) =(с(А))» (13) Кроме того, может случиться, что при небольшом, но заметном и„число а", имеет порядок, сравнимый с порядком погрешностей, и потому матрица А "А будет почти вырожденной, хотя А этим свойством не обладает.
4. Обусловленность задачи о наховщении собственных векторов и собственных значений. Рассмотрим линейное преобразование А, заданное в некотором базисе матрицей А. Нас интересуют собственные значения и собственные векторы этого преобразования, но пам задана не матрица А, а возмущенная матрица А + ОА. Существует много результатов, имеющих отношение к оценке возмущения собственных векторов и собственных значений, вызванного возмущением ОА. Мы изучим некоторые из них. Преобразование А будет предполагаться преобразованием простой структуры. В силу этого предположения, существует такая матрица 5, что В = 5 'А5 — диагональная матрица: 0=д(ад(ХН ..., Х„).
Тогда 5-'(А+6А) 5 =В+5-'бА5. гзо гл. Ик ВВедение В численные методы Пусть )с* — возмущенное собственное значение, т. е. Существует такой столбец а' Ф О, что (А + ЬА) З« = )с»а«. Это означает, что (1г+ 5-'ЬА5) т)*=) *Ч", где »1* = 5-»й*, или (Π— )с'Е) т1*= — (5 'ЬА5) Ч". Мы имеем 1(О х В) Ч* * ) !п1 1(Π— Х»Е) »1 ( = ш!и ! Х; — )» ) !Ч ! !!ч! г г ., "* ! ~ зпр 3(5-т ЬА5) Ч) =15-т ЬА51~16А ) с(5), 1Ч где с (5) — спектральное число обусловленности матрицы 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
