Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 72
Текст из файла (страница 72)
8. В координатном пространстве Охуг изобразить каноническую систему координат Охуг, координаты х„, у„, г„начала О которой найдены в п.б, а координаты базисных векторов- в п.5. 9. Построить поверхность второго порядка в канонической системе ко- Ф Р Р Ф ординат О х у г по каноническому уравнению, найденному в п.7. Построение центральных поверхностей (зллипсоида, гиперболоидов, конуса) удобно начинать с изображения основного параллелепипеда (см.
разд.4.4.2-4.4.4). При построении параболоидов, цилиндров н пар плоскостей использовать разд.4.4.5; 3.3.2-3.3.4, 4.2.1-4.2.5). Мнимые поверхности не изображаются, за исключением уравнения мнимого конуса или пары мнимых пересекаю- шихся плоскостей, действительными решениями которых являются точка Ф Ф О нлиось Ог соответственно. Замечании 4.16. 1. Согласно п.З замечаний 4. 14 двя нахождения начала координат параболоидов или параболического цилиндра (см. п.б,"б" алгоритма) можно использовать систему А з+а„=о, (а+а ) я+ аз =О, где а =(а .з ).з, а =а-а в случае эллиптического или пшерболиче- 1т ского параболоидов; а =(а зг) з, а =а — а в случае параболического ! т цилиндра.
2. Системы уравнений в п.б,"б" алгоритма можно записать в эквивалентном виде: — в случаах эллиптического или гиперболического параболоидов: Л,.1т з+1т.а, =О, (а+а ) .з+а =О, где а„, =(а зз) зз, аз=а-а 1т — в случае параболического цилиндра: ( Лг.1г .з+1г .аг =О, (а+а ) .з+а =О, где а =а-а, а =(а зг).зг. 1т и ь г 1 'г г. 3. Если требуется получить правую каноническую систему координат, а в результате применения алгоритма каноническая система координат оказалась левой, то достаточно изменить направление осн ординат на противоположное, т.е. заменить базисный вектор 7 на протнвоположный вектор г)' 4. Согласно п.б замечаний 4.12, если известны корни Л,,Л,Л 1с учетом кратности) характеристического уравнения, то инварианты можно вычислить по формулам (см.
п.2 алгоритма): т~ =~ч+Лг+Лз' 'гг =Л~.Лг+Лг.Лз+ "г 'Лз ' б=Л! Лг.Лз Пример 4.21. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат Охуг уравнением 2 х +5 у +5 я~+6.у я+4.я+16 у+16 я+10 О. Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат. П 1.
Составляем матрицу Р квадратичной функции, матрицу А квадратичной формы и столбец а коэффициентов линейной формы: А=О 5 3 (8). 2 О О 2 О558 055 8 2 8 8 1О 2. Составляем характеристическое уравнение 2 Л 0 0 0 5 — Л, 3 =0 ее (2-Л) ~(5-Л)2-91=0 ео (2-Л)2 (8-Л)=0. 0 3 5-Л Находим его корни Л, = 2 (двойной корень) и Л = 8 (простой корень) Учитывая п.4 замечаний 4.16, вычисляем иивариантьс т, =Л1+Л +Лг =2+2+8=12; 82 Л1 Л2+Л2 ЛЗ+Л1'Лз =2 2+2 8+2 8=36 „ Ь=Л, Лг.Л5=2'2'8=32' 5 3 8 3 5 8 1 1 1 2ОО 2 055 8 ОЗ5 8 28810 = 2 8.
1-16) = -256. =2.8 (2-8) х+О у+О 2=0, 0 х+(5-8) у+3 2=0, нли 0 х+3 у+(5 — 8) 2=0, 858 3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность эллиптического типа (все корни характеристического уравнения одного знака, что также подтверждаегся условиями т =36>О и т, 8=12.32>0). Поскольку 6<0, зеленная поверхность — эллипсоид.
4. Поскольку поверхность эюпштического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом 1см. п.4,"а" алгоритма): Л, =Лг =2, Лз =8,чтобы вьшолюшисьнеравенства )Л1)>(Л2~~~Л5~. 5. Находим взаимно ортогональные собственные направления 1,, 1, 15, соответствующие корням Л1 Л,Л характеристического уравнения. поскольку имеется двойной ненулевой корень Л, = Лг = 2 (см. п.5,"в" алгоритма), то для простого корня Л = 8 находим ненулевое решение ! однороднойсистемыуравнений (А-8 Е).1 =о: 8.
В координатном пространстве Охуг изображаем каноническую систему АРРА координат Охух с началом в точке О (- 1, — 1, — 1) и базисными векторами 33, 3 . У, координатные столбцы которых найдены в п.5 !рис.4.53). 9. Строим эллипсоид вращения в ка- А А А Ф ионической системе координат Охуг по каноническому уравнению, найденному в п.7 1рис.4.53). ° Рыа.4.53 Пример 4.22. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат Охуг уравнением 3 х -7 у +3 с~+8 х у-8 х.г — 8 у с+10.х — 14 у — б.х+ае=О, а) по= 8' б) оо 9' а) по= 10 Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат. П 1. Составляем матрицу Р ква!взатичной функции, матрицу А квадратичной формы и столбец а коэффициентов линейной формы." -( 3 4 -4 5 4 -7 -4 -7 -4 -4 З -З 5 -7 -З 3 4 -4 4 -7 — 4 — 4 — 4 3 А=( 2.
Характеристическое уравнение имеет корни Л =-1, Л =9, Л =-9 !см. решение примера 4.18,"в"). Поэтому, учитывая п.4 замечаний 4.14, вычисляем инварианты: т, =Л,+Л +Л, = — 1+9-9=-1; =Л! Лг+Лг Лз+Л! Лз =(-1) 9+9+9)+( — 1)+9)= — 81; Ь=Л, Лг Лз =(-1).9 ( — 9)=81; 3 4 -4 5 4 -7 -4 -7 -4 -4 3 -3 5 -7 -3 а е -! г а -! г а -и-! -ю о -и-! -ю -4 -4 З -З -и о,-з О -4 7 о -и-! -31 а -! А — 11 -1 -10 -4 7 -11 — 11 -1 а-1 е 11 1 10 -81 0 -81 О О по+9 11 1 10 — 4 7 — 11 -11 -1 а -1 о =81.(а +9).
5. Находим взаимно ортогональные собственные направления 1,, 1, 1, соответствующие корням Л, Лз,Л характериспгзеского уравнения. Поскольку все корни простые, то для каждого нз них находим ненулевое решение однородной системы (А-Л,. Е) (,. = о, 1= 1,2,3. Учитывая решение примера 4.18,"в", получаем 3 3 -( (з (г = Нормнруя полученные векторы (,, 1, 1, определяем координатные столбцы векторов канонического базиса: )3,)= /1 О +1 = Г2, )! ( Д-1~ ° ~ 1 =3 ~2, аз=~ т'(з =~1~.
б. Находим координаты хе,ус,г начала О канонической системы координат; решая систему уравнений (см. п.б,"а" алгоритма): З.х+4.у-4.к+5=0, А я+а=о или 4.х-7 у-4 з-7=0, -4 х-4.у+3 х-З=О. 3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность гиперболического типа (корни характеристического уравнения имеют разные знаки). При ас =-8 заданная поверхность — однополостный гиперболоид, так как А=81>0; при а, = -9 заданная поверхность — конус, так как Ь =0; при ас =-10 заданная поверхность — двулолостный гиперболоид, так как Ь = -81 < 0. 4. Поскольку поверхность гиперболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см.
п.4,"б" алгоритма): Л, =-1, Л =-9,т.е. Л, и Лз корни одного знака, причем ~Л,~~~Лз~, а хоревь противоположного знака Л = 9. — 2 — 10 — 4 -10 -2 4 — 4 4 4 А=( -г -ю -4 -1З -Ю -! -1З -2 4 -11 4 4 -2 -11 -2 -12 а= -11 . 2. Вычисляем инварианты — +а + =-2-2+4=0, т = " 2+ ' '+ Оп 22 -ЗЗ 4!12 ~п 4!33 ЗЗ 23 1133 + + = -96-24-24 = -144, -2 -10 -4 = -10 — 2 4 -4 4 4 ВП ЕЮ о!3 Л,з а22 Пы ЛЗЗ Е23 "ЗЗ =0 24 -36 -30 12 -24 -18 11 -35 -26 -2 '-1О -4 -13 -1О -2 4 -11 -4 4 4 -2 -13 -11 -2 -12 24 -М -ЗО Ы -М -13 О О О 11 -33 -24 -!з = (-1)4+3(-2). -ю Составляем характеристическое уравнение: -Лз+144 Л=О.
Его корни: Л=О, Л=+12. Пример 4.23. Поверхность второго порядка задана в прамоугольной системе координат Олух уравнением -2.х -2.у +4.22 — 20.х у-8 х.2+8.у.2-26 х-22 у — 4.2-12=0. Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат. П 1. Составляем матрицу Р квадратичной функции, матрицу А квадратичной формы и столбец а коэффициентов линейной формы: 3. По табшще 4.3 определяем, что поверхность параболического тапа (б = О, т.е. характеристическое уравнение имеет нулевой корень). Поскольку А > О, заданная поверхность — гиперболический параболоид 18). 4.
Поскольку поверхность параболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"в" алгоритма): Л =0 — единственный нулевой корень; так как ненулевые корни разных знаков и Ь и О, то Л, =12, тогда Л = -12 . 5. Находим взаимно ортогонаяьные собственные направления 1„1., 1з соответствующие корням ~ч Лз Лз характеристического уравнения.
Поскольку все корни простые. то для каждого из них находим ненулевое решение однородной системы 1А-Л, Е).1,. = о, 1= 1,2,3: для Л =12 Н=( -2-12 -10 -4 -10 -2-12 4 — 4 4 4-12 х=1, у=-1 х=-1 длл Л =-12 з х=1 у=1 а=О -2+12 -10 -4 -10 -2+12 4 -4 4 4+12 д Л,=О 3 (у)=(о~ — 2 — 10 — 4 -10 -2 4 -4 4 4 х= — 1 у=1, х=-2 Так как Лз =0 и корни Л~ и Лз имеют разные знаки, то направление 1з должно удовлетворять дополнительному условию аг .! < О.
Найденное на- правление 1 зтому условию не удовлетворяет: 2 а 1 =(-13 -И -2). =б)0 Позтому его нужно заменить на противоположное, положив з=( -1 2Г Нормируя полученные векторы 1„1, 1 . определяем коордннатные столбцы векторов канонического базиса: «« $ «~б б. Так как заданная поверхность (параболоид) не имеет центра, то составляем систему уравнений для нахождения координат х,, уо, го начала 0 канонической системы координат (см. п.б,"б" алгоритма). Вычисляем -г) -ф = — з16; а =~а~ з 1.з =-,/о.
-~. = 1 а .о =(-1з -и т ' з -о; 4 -(ф ~ «1< а+а = -11 -<-«о) Решаем систему уравнений Эта система имеет единственное решение хо — — О, уо = -2, г = 2. Следовательно, вектор 7=00 переноса начала координат имеет координаты о =(Π— 2 2)г или, по то же самое, начало О канонической системы координат имеет координаты О (0,-2,2) в исходной системе координат.
Согласно п.1 замечаний 4.16, начало канонической системы координат можно найти, решая систему < А о+ах =о, (а+а ) .о+а =О, 30 — 5150 ««, зт з+зт а=о, 1а+а ) о+а =О, с 1г(, у, хо)О, оо -12.(,+у,)-24=0, 14 х -10'уо 4'я 12=0 -2 х -10'уо 4'г 12=0' -10.х — 2'ус+4'х 12 0' -4 х +4 уо+4 г +0=0, — 14.х -10.уо — 4.го-12=0, -11— 3 где а =а-д 2= 7. Вычисляем козффн1взевты канонического уравненвя (8) гиперболического параболоида (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
