Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 73
Текст из файла (страница 73)
п.7,"в" алгоритма): 28. а* (-144) гз ' ~~ 28 (-и)'(-и4) Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности имеет вид (х) (у ) -„-- -7- г 2. о У 12 12 г 8. В координатном пространстве Олух х у изобрамаем каноническую систему координат О 8 х Охух с началом в точке О(0,— 2,2) и базиснымн векторамн 21, 22, зз, координатные Ри44.55 столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.55).
9. Строим гиперболический параболоид 8 г 8 в канонической системе координат Оху2 по каноническому уравнению, найденному в п.7 (рнс.4.55). ° 8 у +4 х у+2.х 2+4.у.х+4.х+8.у-9=0. Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат. П 1. Составляем матрицу Р квадратичной функции, матрицу А квадратичной формы и столбец а козффициеитов линейной формы: 2 2 2 4 8 8 2~ =( 2.Вычисляеминваримггы: т,=а„+а,+оз2=0+8+0=8, Оп О12 + ОП О12 + ОХ1 ОМ вЂ” + + =-4-1-4=-9; Пример 4.24.
Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат Охух уравнением ап а, аы 0 2 1 а!2 агг агз =2 8 2 а33 а23 33 =0 0 2 ! 2 гзг 4 Зго о 2 4 Е -3 Ег! 2 232 4 !го о е о о -3 =1-1)4+~(-9) Ь=О. Так как 43 = Ь = О, то вычисляем а а а + агз азз аз ас а„а, а, агг агг аг ао ап аы + а!з азз аз аз ае 0 2 2 2 8 4 2 4 -9 8 + 2 0 0 4 0 -9 0 1 2 + 1 0 0 2 0 — 9 = 36+ 9+ 36 = 81. у=4, 2 8-9 2 34 Составляем характеристическое уравнение: -Лз+ 8. Лг+ 9 Л = О. Его корни: Л=-1,Л=О,Л=9. 3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность параболического типа (Ь = О, т.е. характеристическое уравнение имеет нулевой корень). Поскольку А=О, то поверхносп цилиндрическая.
Так как т <О и к аО, то заданная поверхность — гиперболический цилиндр. 4. Поскольку поверхносп параболического типа, корни характеристического уравнения обозначим следующим образом (см. п.4,"в" алгоритма): Л =0 — единственный нулевой корень; так как ненулевые корни разных знаков и А=О, а к =81)0, то Л, =9, чтобы выполнялось условие Л! к ~О,тогда Лг= — 1. 5. Находим взаимно ортогональные собственные направления 1,, 12, 3 ующи кор ! 2 3 характер ура Поскольку все корни простые, то лдя каждого из них находим ненулевое решение однородной системы (А-Л!.Е) 1, = о, ! = 1,2,3: для Л,=9 Л, =-1 о+1 г 2 8+1 2 1 2 О+1 Н х= — 1, у=О, х =1. 3 для Хэ =О х=2, у=-1, ~ !з = х=г, Так как й =0 и корни 18т и 18, имеют разные знаки, то направление ! должно удовлетворять дополнительному условию а .1 'ь О.
Найденное направление ! зтому условию удовлетворяет: а .! =(2 4 0). =О Нормнруя полученные векторы 1,, 1, 1, определяем координатные столбцы векторов канонического базиса: ! !11= З'чг ° ( !а!= т! г ° 1!з1= З. б. Так как заданная поверхность (пшерболнческнй цилиндр) не является центральной (она имеет прямую центров), то достаточно найти любое решение з = (х уо г !" системы уравнений (см. п.б,"а" алгоритма): 0 х+2 у+1 я+2=0, А а+а=о нли 2 х+8 у+2 я+4=0, 1. х+ 2 у+ О.
х+ О = О. Возьмем. например. решение хе = О, уе = О. хс 88-2. Следовательно, вектор з = 00 переноса начала координат имеет коордшаты з =(О 0 -2)г нли, в что то же самое, начало О канонической системы координат имеет коорди- Ф наты О ( 0,0,-2) относительно исходной системы координат. 7.Вычисляем коэффнпиевты канонического уравнения (12) гиперболического цилиндра (см. п.7,"в" алгоритма): 2 8 2) !1 зз =) ~'!г = с зз 88~ ~'!з 88 8 . 2 И 9 (-9) ' Х .т (-1).(-9) 1 2 г' г Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности ест вид (х) (у) — — — =1. 33 8. В координатном пространстве Охуг Ф г изобрюкаем каноническую систему координат Охуг с началом в точке О(0,0,-2) и базисо $ 31 гг ° 33 координатные столбцы которых найдены в п.5 (рис.4.56).
10 9. Строим гииерболический параболоид в Р Ф Р канонической системе координат О ху 2 по каноническому уравнению, найденному в п.7 (рис.4.56). ° Рис.4.56 Пример 4.25. Поверхность второго порядка задана в прямоугольной системе координат Охуг уравнением 4 х + у + 9. а~+ 4.х. у -12.х. г — 6. у. г+ б. х — 2 у — 6 2+11 = О. Найти канонический вид уравнения поверхности и каноническую систему координат.
П 1. Составляем матри33у Р квадратичной функции, матрн33у А квадратичной формы и столбец а коэффициентов линейной формы: 4 2 -б 2 1 -3 — 6 — 3 9 4 2 -Е 3 2 1 -3 -1 -б -3 9 -3 3 -1 -3 П =( 2. Вычисляем инварианты т,=ац+а +а =4+1+9=14, т = ' г + ' ' +~ ч! ч + + =0+0+0=0, 4 2 -6 — 2 1 — 3 -6 -3 9 а$1 а12 а$3 агг агг агз огз огз озз =0 г1-з о о о З -1-З 2-3 З 2 1 -3 -1 -6 -3 9 -3 З -1 -З Ц е е е 2 1 -З =(-1У" 5. е о е -ь З-1-З И Таккак ц=Ь=О,товычисляем ац а, аз 2 а22 аз ао 22 23 2 азз азз аз а1 а13 + а13 азз аз аз -г и( г з г З-1П -З -1 +-3 9 -3 -1 -З И = — 25 — 9- Зб = -70 х= — 2, у=-1, 2=3, 2 -б 1-14 -3 -3 9 — 14 :) =(о) 4- 14 -1 =-14; ~12~ =14 3 а .1 =(З вЂ” 1 — 3). Вычисляем аг.1 3 а =а — ~~ 12= -1 1М -з -г).
атс Составляем характеристическое уравнение: -Лз+14.Л =О. Его корни: Л = 0 (двойной корень), Л =14 (простой корень). 3. По таблице 4.3 определяем, что поверхность ццраболического типа ( Ь = О, т.е. характеристическое уравнение имеет нулевой корень). Поскольку гг = О, то поверхность цилиндрическая. Так как т =0 и к и О, то заданная поверхносп, — параболический цилиндр. 4. Поскольку поверхность параболического типа, корни хараатеристического уравнения обозначим следующвм образом (см. п.4,"в" алгоритма): Л1 = Лз = 0 - двойной нулевой корень; тогда Л =14.
5. Находим взаимно ортогональные собственные направления 1,, 12, 13, соответствующие корням Л1, Лз, Лз характеристического уравнения. Поскольку Л, = Л = 0 — двойной нулевой корень (см. п.5,"г" алгоритма), то находим направление 1, соответствующее простому корню Л =14, как ненулевое решение системы (А-Л . Е).! = а: 1 = г а =-14 а =( — 14 28 0)г. На- 1 ! Чг ЧЧг Так как а гг о, то направление чг правление 1 находим, вычисляя векторное произведение ,1 1 28 0 1 =[11,1з ]= -14 = 84 ! + 42. у+ 70. /с . -2 -1 3 Следовательно. 1 = (84 42 70)г . Нормируя полученные векторы 1,, 1, 1, определяем координатные столбцы векторов канонического базиса: [1,[=14 з/5, [1 [ =,/14, [1з[=14 з) 70, 4г 1 -7а * 'з =П'з = 7Ь 3 3( а+а 3 ~)'( Решаем систему уравнений < Хз зз.з+зз.а=О, [а+а ) о+аз=О.
с в 2.х -у +3 х -1=0, ' о о 4.х — 3'уо 3'х +11 0 Эта система имеет бесконечно много решений. Возьмем, например, решение хо =-5, уо =О, х = — 3. Следовательно, вектор з =00 переноса начала координат имеет координаты з =(-5 0 -3)г или, что то же самое, начало О канонической системы координат имеет координаты 0 (-5, 0,-3) в исходной системе координат. Согласно п.1 замечаний 4.1б, начало канонической системы координат можно найти, решая систему уравнений 471 6. Так как заданная поверхность (параболический цилиндр) не имеет центров, то составлаем систему уравнений для нахождения координат хо, уо, хо начала О канонической системы координат 1см. п.б,"б" алгоритма).
Учитывая п.5, вычисляем 4 хо+2'уо б го+2=0 2.х +1 уо-3.2, +1=0, -б х -З.у +9 з -3=0, 'о 'о 'о 4.х -3 уо-3 г +11=0, А з+а =о, ~а+а )~ з+ао =О, 3 — 2) = ( 3 где а =а-а 4 7. Вычисляем параметр канонического уравнення (14) парабоянчесхого цилиндра (см. п.7,"в" алгоритма): х 7- з(5 тз 143 14 з Следовательно, каноническое уравнение заданной поверхности имеет внд (у) =2 — х .
г з/5 8. В координатном пространсзве Охуг воображаем каноническую систему хоордннат Оху з / с началом в точке О ( — 5,0,-3) н базнснымн вехтох' О Рмен зз, Уг, зз, кооРдннатные столбцы котоРых найдены в п.5 (рнс.4.57). 9. Строим параболический цллнндр в ханонни ге Рис.447 чесхой снстеме координат Охуг по ханоннческому уравнению, найденному в п.7 (рнс.4.57). ° 4.4,3. Прнмененне певерхностей первого н второго порядков в задачах на экстремум функцнй Аззалитичкский мктод поиска локального ввэр"словного ЭКСП КМУМА Пусп задана дважды непрерывно днфференцнруемая функция у(х) = у(х,,х ) двух переменных. Точка х называется точкой лекааьиоге минимума, если существует такая окрестность этой точки, для всех точек которой выполняется условие 472 Общая постановка задачи поиска экстремума функций приведена в разд.3.3.7.
Рассмотрим задачу поиска безусловного экстремума фувхцнй двух переменных. Я~х')< у(х). (4.74) находятся спщионарные точки х', "подозрительные" на наличие локального экстремума (частные производные первого порядка в точке х равны нулю). На втором наале проверяются достаточные условия экстремума, а если они не выполвпотся, то и необходимые условия второго порядка Они следуют из формулы Тейлора для приращения функции в точке х (учитывая члены до второго порядка включительно): =-[ап.Ат +2 а Ьх Ла~+~ .Ьх~~ ~, 2 аз у(х) а*уЬ) ~ а'уЫ «1 ,* "5 «2 д ,. л=г производными первого порядка отсутствуют, так как точка х* удовлетворяет (4.74). Равенство пГ = (ап Атг +2 а1з Ь«г Ьхз+атз Ьз~ ] (4.75) можно рассматривать как уравнение поверхности второго порядка относи- тельно неизвестных Ах,, Ь«,,Ь~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
