Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 70
Текст из файла (страница 70)
рис.4.51). Если поверхность (4.67) имеет хотя бы один центр, то этот центр принимается за начаяо канонической системы координат (см. рис.4.48, 4.49, 4.50). Если поверхносп не имеет ни одного центра, то началом канонической системы координат является либо точка пересечения оси симметрии параболоидов с его поверхностью, либо любая точка пересечения плоскости симметрии параболического цилиндра с его поверхностью (см. рис.4.5 1).
Составим уравнения для определения центра поверхности (4.67). Для этого сделаем ортогональное преобразование координат (4.62): Р О 11 12 У 13 у ус+821 х +322 у +323 2 ' о+ 'х+ 'у+ где 3 = (хо уо 2 ) — координатный столбец вектора Е = ОО переноса системы координат, а ортогональная матрица Я = (31 ~ л ~ х ) составлена нз единичных взаимно ортогональных собственных векторов поверхности (4.67), соответствующвх собственным значениям Л,, Л,Л . В новой системе координат О х у 2 уравнение поверхности будет имен вид )сс'(х) +)лг'(у) +)сэр+2 а,.х+2.аг'у+2 а г+ао=О (4.68) о л, о~ где, согласно (4.56), матрица А =Я .А.Я =Л= ная, столбец коэффициентов линейной формы а = Я~ (А з+а), а свободныйчлен а =э~ А э+2 а .з+ао.
Если в уравнении (4.68) отсутствуют линейные члены (а = о ), то начало координат О явлжтся центром симметрии, поскольку при одновременной замене неизвестньпс х ~о(-х), у с-з(-у), г м(-г) уравнение (4.68) не изменяется. Другими словами, если координаты точки М(х, у, г ) Л удовлетворяют уравнению, то и координаты (-х,-у,-г) точки, симметричной точке М относительно начала координат, также удовлетворяют уравнению. Так как матрица Я невырожденная, то равенство а =Я~.(А.з+а)=о равносильно системе линейных уравнений (см. равд.4.2.5): А.э+а=о или ап 'хо+ест 'уо+асз 'го+аз =О а,г х +аж'ус+а., г +а =О, (4.69) асз 'хо+агз 'уо+азз 'го+аз =О асс асг абаз 8=а, а аю аы а„азз мО или гйАжгй(А ) а)=3 (см.
раздЛ.10). Следова- тельно, условие 5 ос О является критерием наличия единственного центра (т.е. критерием для центральных поверхностей). При гйА=гй(А(а)=2 или при гйА=гй(А ~а)=1 система (4.69) имеет бесконечно много решений, т.е. центры симметрии поверхности образуют прямую или плоскость центров соответственно. При г8А <гй(А ~ а) система не имеет решений, т.е.
поверхность не имеет ни одного центра (см. рис.4.51). Таким образом, для поверхностей второго порядка, имеющих хотя бы один центр симметрии, этот центр служит началом О канонической системы координат системы Ох у г . Координаты хо, уо, го находятся как реше- которая определяет координаты хо, у, го центра симметрии, т.е. точки О . Эта система имеет единственное решение толысо тогда, когда ние системы (4.69), причем это решение единственное для центральных поверхностей. Рассмотрим теперь случай, когда система (4.69) несовместна. В этом случае поверхность (4.67) не имеет ни одного центра (см. Рис.4.51), т.е. является либо параболоидом (эллиптическим или гиперболическим), либо параболическим цилиндром.
Получим уравнения плоскостей и осей симметрии поверхности (4.67). Для этого запишем столбец а =Яг (А.з+а) коэффнциентов линейных членов уравнения (4.68), учитывая, что матрица Я составлена из собственных векторов матрицы А, т.е. 8г А = А. Я~ (последнее равенство можно считать матричной формой записи (4.66)): о«, о~.
бг.А-««.8г= г Л Л .31 .3+31 .а т г г Лз '33 . + т 3 Если Л, -«0, то уравнение Л, зг 3+31 .а=О, или в координатной форме 1'( 1 ' 0+ 2 'У + 3 '20) 11'«11+ 21' 2+ 3 '«13 «« имеет Решение 3=«1хо Уо хо)г Тогла,азвв гочкУ О(хе Уо 2е) в качестве начала системы координат Охуг, получим уравнение (4.68), в котором будет отсутствовать линейный член с неизвестной х, так как « а, = Л,.
31 3+ 31 а = О. Такое уравнение при замене неизвестной 1 А х с-3(-х) не изменяется. Другими словами, если коордннаты точки м(х,у 2) удовлетворяют уравнению (4.68), то и координаты (-х,у 2) точки. симметричной точке М относительно плоскости О ух, также удовлетворяют уравнению (4.68) (при а, =О). Следовательно, если уравнение Л, . 31 . 3+ 31 а = 0 имеет решения, то оно определяет плоскость симметрии Оу 2 поверхности (4.67). В случаях эллиптического или гиперболического параболоидов собственные значения Л, и Л отличны от нуля (при этом Л = 0), поэтому система уравнений (4.70) совместна.
Первое уравнение системы определяет плоскость симметрии О у 2, второе уравнение системы — плоскость симметрии О х 2, а сама сис- 445 / тема — ось симметрии 0 г параболоидов (как пересечение коордннатиьп! плоскостей). Заметим, что ось симметрии, определяемая системой (4.70), коллинеарна особому собственному вектору 7 (соответствующему нулево. му собственному значению Хз = 0 ). Обозначим через а вектор с координатным столбцом а, составлен.
ным нз коэффициентов линейной формы в левой части уравнения (4.67). Представим этот вектор (а также его координатный столбец) в виде а =а +ах ео а=аз+а3 ° где а = (а 7 ).7 — ортогона!!ьноя проекция вектора а на ось симметрии (4.70), коллинеарную з (см. разд.1.4.2); а = а — а — ортогональная составяяюпня вектора а относительно оси (4.70); а, а — координатные столбцы соответствующих векторов. Тогда для указанного разложения вектора а справедливы равенства т т т т т 1 ! х' г г з' 3 .! з, .а=(з,,а)=(7,,а +а„)=(7,,а )+(7,,а )=(7па )=з, .а„. о Аналогично доказывается второе равенство, а третье равенство следует из ортогонаяьности векторов 7 и а„: зт а, =(з,а„)= О.
Найдем координаты точки 0 пересечения оси симметрии (4.70) с поверхностью (4.67), т.е. найдем такой столбец з, удовлетворяющий (4.70), чтобы зт А.з+2.ат.з+ао -— О. Для этого, учитывая (470) и равенспа А=Я.Л.Я~, Я~ =Я ', Я=(з, 1зг! зз), )!з — — О,преобразуемпроизведеиие т т. т )!! з! .з -з а А.з=Я.Л.Я .з=б. Хг зг.з =б —.зг 'а = г' г т т )"з'зз 'з 0 т =-Я.Я .а =-а . х х' Таким образом, столбец з удовлепюряет уравнению А з+а =о. Посколькуматрица А симметрическая,то зт А=-а! и зт А.з+2 а .з+а =-а .з+2.а .з+а =(а+а ! .з+а,. !т Добавляя уравнение (а+а ) .з+ао =0 к системе(4 70), получаем систему уравнений для нахождения начала 0 канонической системы координат для парабо ландо в: 446 Л з' .з+з~.а=О, (а+а ) .
+а =О, (4.7 1) < Лз зз.з+з~.а=О, з~.А.э+2 а з+а =О. Последнее уравнение можно записать так же, как последнее уравнение сис- темы (4.7 1): < 2 2 з (а+а ) э+по=О (4.72) где а =а-а, а„=(а .з ) зз,т.е. а — ортогональнаяпроекциявектора а на плоскость, комплаварную особым собственным векторам з, и Р; а, — ортогональная соспалающая вектора а относительно этой плоскости. Замечании 414. 1. Определение центра, оси или плоскости симметрии равным образом относится как к вещественным, так и мнимым поверхностям, т.е. включает случай комплексных решений.
При этом оказывается (14), что координаты любого центра поверхности, любой точки оси или плоскости симметрии являкпся вещественными. 2 Система уравнений А.э+а„=о всегда совместна: ее решениамн являются координаты центра симметрии, если поверхность имеет центр; либо координаты оси симметрии (коллинеарной особому собственному вектору) или плоскости симметрии (компланарной особым собственным векторам), если поверхность не имеет центра. 3. Если система уравнений А -э+ а = о не имеет решений ( гл А < гя(А ~ а) ).
т.е. поверхность не имеет ни одного центра, то система < А.а+а =а, (а+ ) +па О где а„р =(а 'зз)'зз. (т В случае параболического цилиндра собственное значение Л отлично от нуля (при этом Л, =Л =0), поэтому уравнение Лз.зз .з+зз а =0 оп- Р ределяет плоскость О х г симметрии параболического цилиндра. В качестве координат начала канонической системы координат можно взять любое решение системы уравнений совместна и ее решение определяет начало канонической системы коорди.
нат (9). Другими словами, зта система равносильна системе (4.71) в случае параболоидов и системе (4.72) в случае параболического цилиндра. КВАДРАТИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ Вещественная поверхность второго порядка р(х, у, г) = 0 разбивает ко- ординатное пространство Охуг на области. В сняу свойств многочленов второй степени (в частности. их непрерывности) для решения квадратичных неравенств р(х,у,г)>0, р(х,у,г)<0, р(х,у.г)ИО, р(х,у,г)<0 достаточ- но определить знак многочлена р(х,у, г) в одной внутренней точке како%- либо области. Знаки в других областях проставляются по правилу чередова- ния знаков (аналогично методу интервалов): переходя через границу облас- ти, знак меняется на противоположный, за исюпочением совпадающих плосюстей (при переходе через них знак многочлена не меняется). Для всех вещеспюнных поверхностей, за исключением гиперболиче- ского параболоида и пары пересекающихся плоскостей, назовем внутрен- ними те точки, координаты которых (в канонической системе юординат) удовлетворяют неравенствам 2 уг 2 2 уг 1 2 уг 2 — + — + <1, — + — <1, — + — — < 1, аг ьг сг аг ьг с2 ° д2 ьг сг 22 уг 2 2 уг 2 у2 — + — — г-<О.
— + — <2 г. — + — <1, аг ьг сг аг ьг аг ьг — — <1, к У 2 3 3 д1 ь2 у <2.р.х, у-Ь <О соответственно. Другими словами, во внугренних точках поверхности левая часть каноничесюго уравнения меньше правой. Виеигиими точками по отношению к каждой из перечисленных по- верхностей назовем точки, для которых значения левой части канонического уравнения больше правой его части. На рис.4.52 внутренние точки отмечены минусом, а внешние — плюсом.
Заметим, что для совпадающих плоскостей асе точки, кроме точек, принадлежащих поверхности, являются внешними. Учитывая п.9 замечаний 4.12, для уравнения (4.67) поверхностя второ- го порядка в прямоугольной системе координат Охуг можно сформулиро- вать условия, равносильные определениям внутренних и внешних точек по- верхности. Теорема 4.5 (о внутренних и виешнвх точках поверхности). Точка Агг(хг, Ун гг) Яеватисв виУтРеиией точкой ловеРииослги (4.67) тогда и толь- ко тогда, когда тг ' Р(хг УР хг ) < О <~ б р(х,, у,.
г, ) < О - дия зягилсоида; б р(х,, у,,г„)> 0 — дня гилербаиоидов и дяя ковусаг т, . р(х,, у,, г, ) < Π— для зллиптического параболоидв, эллипгпического и параболического цилиндров, пары параллельиых плоскосп5ейг кз ° р(х, у, г ) < Π— для гиперболического цилипдра. Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 3.5. Ф х + ф РИ0.4.52 Замечании 415. 1. Для гиперболического параболоида и пары пересекающихся плоскостей предлагаемое определение внутренних и внешних точек не годится, поскольку каждая из этих поверхностей разбивает пространства на "похожие", области, каждую из которых равным образом можно считать внугренней илн внешней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
