Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Уравнение (4.75) можно записать в мат- ричной форме ь*,) о(*') ф, (4.76) где Н|х ) — матрица квадратичной формы, называемая гииирицвй Гессе. Ясли знак неравенства < заменить на знак <, то получится определение локального максимума. Точки локального минимума или максимума называются точками локального зксигрвмуииг функции. Требуется найти точки локального экстремума функции У(х). Порядок решения поставленной задачи содержит два этапа [28). На лврвом этаив при помощи необходимых условий экстремума первого порядка: Она составлена нз частных производных второго порядка, вычисленных в стационарной точке х: 3',~(х) дз 7(х) дхз дх, дх дз У(х) д'У(х) д,дх, д,' (4.71) Как показано в разд.4.4.1, при помощи поворота системы коордннат вокруг осн Ьг" можно квадратичную форму в правой части (4.76) привести к каноническому виду лг=' ~л,.(л.,)'+л,.(ь,,)'~, где Л,, Л вЂ” собственные значения матрицы Гессе Н(х').
В зависимости от знаков собственных значений возможны следующие случая: если собственные значения одного знака, то поверхносп (4.77) представляет собой эллиптический параболонд: выпуклый прн Л, >О, Л > О (рнс.4.58,л), или вогнутый при Л, < О, Л < О (рнс.4.58,б); если собственные значения имеют разные знаки, то поверхность (4.77) представляет собой гиперболический параболонд (рнс.4.58,в прн Л, >О, Лз <О) если одно нз собственных значений равно нулю (например, прн Л = О ), то поверхность (4.77) представляет собой параболический цилиндр: выпуклый прн Л,, > О (рнс.4.58,г) илн вогнутый прн Л, < О (рнс.4.58,д). В случае эллиптического параболонда стацнонарнал точка х' является либо точкой локального минимума функции прн Л, > О, Лз > О, либо точкой локального максимума функции прн Л < О, Л <О.
В случае гиперболического параболонда (Л, и Л имеют разные знаки) в стационарной точке х' нет экстремума. В случае выпуклого параболического цилиндра можно сказать, что точка х' не может быть точкой максимума, но может быль точкой мнщпаума, в случае вогнутого параболического цюппщра точка х' не может быль точкой минимума, но может быль точкой максимума Таким образом, если хотя бы одно собственное значение равно нулю, судить о валичии экстремума в точке х' нельзя, так как нужны дополнительные исследования, учитывающие в формуле Тейлора члены вьппе второго порядка. 474 А. Ф ,пЬ в Рас.4.58 АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ НА ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Пример 4.25.
Найти экстремумы функции у(х) = хз+хз -3 х,.х . (:3 1. Решал систему уравнений — =З.х -3 х =О, — =3 х -3 х =О, ах(х), ах(х) з ' 1 1 х находим стационарные точки 0(0,0) и л((3„1). (б х -31 2,3. Составляем матрицу Гессе Н(х) = ~ ( -3 бхай 10 -31 В стационарной точке 0(0,0) матрица Гессе Н(х)) =~ !.
Най- -3 0 дем собственные значения матрицы Гессе. Характеристическое уравнение 475 1. Состашпь и репппь систему (4.74) — найти стационарные точки х'. Если система не имеет решении, то точек локального экстремума нет. 2. Составить матрицу Гессе Н(х'))и найти ее собственные значения Л,, и Л, решая характеристическое уравнение бе1(Н(х')- Л Е) = О. 3. Проверить выполнение следующих условий. а) Если Л >О, Л >О,то х -точкалокальногоминнмума. 6) Если Л, <О, Л <О, то х' — точка локального максимума в) Если Л, >О, Л >О, то х' может быль точкой локальнрго минимума (требуется допапппельное исследование).
г) Если Л, < О, Л < О, то х' может быть точкой локального максимума (требуется дополнительное исследование). д) Если Л, и Л разных знаков(Л, Л <0), то х не является точкой локального экстремума ! -Л -3! -з -л~ ~=0 сз Л -9=0 имееткорни Л =3, Л =-3 разныхзнаков. ! ' 2 Следовательно, точка 0(0,0) не является точкой экстремума (см. п.з,"д" ал- горитма). 16 -31 В стациоиарнойточке М(1,1) матрица Гессе Н(х)) =~ ~. Ха- 1-3 6~ 16-Л -3 ~ рактеристическое уравнение ~ =0 ~ (6-Л)2-9=0 имеет ~ -3 6-Л~ два положительных корня Л =3, Л =9.
Следовательно, точка М(1,1) яв- ляется точкой минимума 1см. п.з,"а" ашоритма). ° ПРИМЕИЕИИЕ ГРАФИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА ФИПГПИИ Рассмотрим постановку задачи поиска условного экстремума функции трех переменных ~281. Пусть заданы: а) функция у(х)= 7(х,,х,х ) трех перемевных1хе и ); б) множество допустимых решений Ы (М с й~ ). Требуется найти такую точку х' из множества допустимых решений, которой соответствует минимальное значение функции у(х) на этом мно- у(х )=шшу(х). Алгоритм графического метода поиска условного (нли безусловного экстремума) функции аналогичен алгоритму, рассмотренному в разд.3.3.7 для функции двух переменных.
Однако его применение на практике ограничивается возможностями изображения пространственных фигур. Как правило, используется плоское изображение пространственных фигур, т.е. проекции зтнх фигур на плоскосп, что не дает полного представлении о взаимном их расположении. Ниже рассматриваются задачи, в которых минимизируемая функция и функции, задаощие ограничения, являются многочленами трех переменных первой нли второй степени. Построение множества допустимых решений и поверхностей уровня функции у (л) сводится к построению алгебраических поверхностей первого или второго пор~дков (см. разд.4.2, 4.4.1-4.4.7). В этих задачах применение графического метода упрощаегсл. Напомним, что поверхностью уровня функции у'(х) = ~(хилз,х ) называется геометрическое место точек пространства, в которых функция принимает постоянное значение, т.е.
У(х) = сопзг . 476 Если функция у'(х) = у(х,,хз,х ) является многочленом первой степени, то ее поверхности уровня у'(х) = солят при разных значениях постоянной 1сопзг) предсгавляют собой семейство параллельиык плоскостей (несобственный пучок плоскостей). Если функция у'(х) = у'(х,,хз,х ) является многочлеиом второй степени, то ее поверхности уровня у(х) = сопзг при разных значениях постоянной (сопзг) представляют собой поверхности второго порядка Поскольку уравнения разных поверхностей уровня отличаются только свободными членами, то собственные векторы, собственные значения Л,, Л,, Л,, а также инварианты т,, тз, б остаютсл постоянными для всех поверхностей уровня ,г" (х) = сопзг .
Следовательно, тнп поверхности и канонический базис остаютсл постоянными для всех поверхностей уровня квадратичной функцни. Пример 4.26. Графическим методом найти экстремумы: у(х)=х ~ек1г, "-1-+-2+, =1, х 2 3 хз ' 2 ' 3 х а) У(х)=х, +-~-+х ~екп; 4 г '(х)= з+хз- з-эектг, х, +х +х =1. С1 а) 1. Множество Ьг допустнмык решений строить не нужно, так как оно совпадает со всем пространством: М = Я .
з 2. Поверхность уровня хз+ — +х =совзг при сопзг>0 представляет хз з 4 собой эллипсоид (рис.4.59,а), прн сопзг = 0 — мнимый конус с единственной вещественной точкой 0(0,0,0), при сова<0 — мнимый эллипсоид. При увеличении постоянной ( сопз1 ) полуоси зллнпсоида пропорционально увеличиваются. На рис.4.59л изображены зллнпсоиды ~з+-л~+хзз =1 (а =1, 4 хз 3 хз хз Ь= 2, с =1) и х, + — з+хз =4, или з-+-Л+ — =1 (а =2, Ь=4, с=2). 4 4 16 4 Стрелками указаны направления наискорейшего возрасташгя функции. 3. Из п.2 следует, что допустимые значения функции опредеапотся неравенством 0 ь у'(х) <+ 4. В точке 0(0,0, 0) достигается безусловный минимум функции, так как в этой точке функция принимает наименьшее значение по сравнению со значениями в других точках пространства, а наибольшего значения функция не достигает. б) Решается задача поиска условного экстремума с ограничениями типа равенств и неравенств.
1. Строим множество М допустимых решений — часть плоскости — + — +х =1 в первом октанте, т.е. плоский треугольник с вершинами 2 3 3 А(2,0,0), В(0,3,0), С(0,0,1) (рис.4.59,63. 2. Поверхности уровня х =сопягпредставляют собой семейство параллельных плоскостей, каждая из которых перпендикулярна оси апплнкат. На рис.4.59,6 изображены три плоскости уровня х =О, х =1, х = 2. При сопзг<0 или сопзг>1 плоскость х =сопят не имеет общих точек с треуголыппюм АВС; при 0 < сопят <1 плоскость х = сопзг имеет общие точки с треугольником АВС, в часпюсти, при сопзг =0 плоскости х =0 принадлежит сторона АВ треугольника, при сопя1=1 плоскости х =1 принацлежнт вершнна С треугольника.
3. Из п.2 следует, что допустимые значения функции определяются неравенспюм 0 < у(х) <1. 4. Наименьшее значение на множестве М, равное нулю, функция достигает в любой точке отрезка АВ; наибольшее значение на множестве М, равное единице, функция достигает в точке С(0,0, 1) . в) Решается задача поиска условного экстремума с ограничением типа равенств. 1. Строим множество М допустимых решений — сфера хз +.~з + хз =1 единичного радиуса с цекгром в начале координат (рис.4.60). 2. Поверхности уровня ха+ха — хз =сопз1 представляют собой либо однополостный гиперболоид вращения при солж > 0 (например, однополостный гиперболоид ха+ха-ха=1 (рис.4.60л)), либо круговой конус х, +хз -хз =0 при сопз$ =0 (рис.4.60,6), либо двуполостный гиперболоид вращения при сопа1 < 0 (например, двуполостный гиперболоид хз + хз — х = -1 (рис.4.60,в)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
