Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Канонические уравнения заданных поверхностей совпадают с полученными в примере 4.18,"а","б","в". ° ОПРЕДЕЛЕИИЕ КАНОНИЧЕСКОГО БАЗИСА ДЛЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА а1 а, а х у ее А.Ь=Л 8, (4.бб) 8 т.е. координатный столбец собственного вектора поверхности (4.58) является собственным вектором матрицы А квадратичной формы функции (4.59). Говорят, что собственный вектор 8 соошвппсшауе8я (принадлежит) собственному значению Л. Собственный вектор, соответствующий нулевому собственному значению (А.Ь=О з ее А г=о), будем называть особым собственным вектором поверхности второго порядка. Укажем следующие свойства собственных векторов поверхности второго порядка. ЬЭЬ Ненулевой вектор г, а также его координатный столбец 8 =(х у г)г, будем называть собсаювеиньзм алишерам иааериюсязи вшарого иеридка (4.58), если выполняется равенство 1.
Собственный век!пор поверхности второго порядка не и!меняется лри ортогональном преобразовании координат и при умножении обеих частей уравнения поверхности на отличное от нуля число, другими словами, поверхности (4.58) и (4.60) имеют одинаковые собственные векторы. Действительно, согласно п.5 замечаний 4.7, собственные векторы квадратичной формы не изменяются при однородном ортогональном преобразовании координат, а именно, если з, собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению Л! то вектор з, = Я з, является собственным для матрицы А = Я~ .А. Я, где Я вЂ” ортогональная матрица.
При параллельном переносе системы координат матрица квадратичной формы не изменяезся (А = Я~ А 5 = А, если Я = Е), поэтому не измена- ются и ее собственные векторы. Если же обе части уравнения (4.58) умножаются на отличное от нуля число )2, то все элементы матрицы А, а также ее собственные значения, умножаются на число )2. Однако, собственный вектор поверхности не изменяется, поскольку условия А з,=Л! з, и )! А.з, =)2.Л! з, равносильны (при )ь;ь О). 2. Собственные векторы, соответствующие разным собственным значениялс взаимно ортогональны. В самом деле, пусть з! и з — собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям (Л, 'ь Л ), т.е.
координатные столбцы з! и з этих векторов удовлетворяют условиям А з, =Л,.з, и А'зз Первое равенство умножим слева на строку зт, а второе — на зт, и вычтем второе равенство из первого: т т т т зз А . з! — з! . А. 22 = Л! . 22 . з! -Лз з! . зз . Поскольку при транспонировании число (рассматриваемое как матрица раз- меров 1х1) не изменяется (см.
раздЛ.4), то правую часть этого равенства можно преобразовать к виду т т т т I ! т ! 2 ! 2 ! 2 ! ! 2 2 ! 2 !! 2Г ! 2' так как з .з, = (з! .з )т =з, з, а левая часть рассматриваемого равенства, учитывая симметричность матрицы А ( А = А ), равна нулю, так как зз.А.з! =(з! .А зз) =з, .А .зз— - з, А.зз. Следовательно, рассматриваемое равенство можно записать в виде (Л вЂ” Л ). т ° =0 з,т ° =О, 439 поскольку Л, и Л . Последнее равенспю означает, что (з,,з )= з, з =0- скалярное произведение ненулевых векторов 7, и з равно нулю, т.е. онн ортогональны.
3. Базисные векторы каноническои системы координат являются единичныии взаимно ортогональными собственными векторами яоверхности. Действительно, в канонической системе координат матрица А квадра- Л, 0 0 0 Л 0 , где Л,, Л , 0 О Л, тичной формы имеет диагональный вид А = Л = Л, — корни характеристического уравнения (см. п.б замечаний 4.12). Записывая (4.66) длл координатных столбцов з, =(1 0 0)г, з =(О 1 0)г, зз=(0 0 1) базисных векторов 3, зг, зз,получаем .О=Л.О, сг, с.1=Л.1, Ог, с.О=Л.О Первое соотношение выполняется при Л = Л, второе — при Л = Лг, третье— при Л=Л .
Следовательно, базисные векторы з,, зг,у явлиотсл собственными, соответствующими собственным значениям Л =Л, для первого базисного вектора (з1), Л=Лг — для второго (зг) и Л=Лз — для трегьего ( з ). При этом не исюпочается случай равенства собственных значений. Таким образом, для определения канонического базиса нужно найти три взаимно ортогональных единичных собственных вектора. Замечания 4ДЗ.
1. Собственные векторы матрицы определяются неоднозначно. Например, если з — собственный вектор матрицы (или поверхности), то столбец )г.з при любом отличном от нуля числе )г также явллетсл собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению Л, что и вектор 3. 2. Три единичных взаимно ортогональных собственных вектора поверхности второго порядка определяются с точностью до множителя (-1).
Другими словами, каждый пз иих можно заменить на противоположный. тем самым изменить направление соответствующей координатной оси. Длв всех поверхностей, за исюпочением эллиптического параболоида (7) и параболического цилиндра (14), выбор положительного направления на координатных осях может быть произвольным, другими словами, если, например, вектор з, базисный, то и противоположный вектор ( — з, ) также можно звать в качестве базисного.
Положительное направление оси О 2 (базисный вектор хз) для эллиптического параболоида, а также положительное направление оси Ох (базисный вектор х, ) для параболического цилинщза нельзя менять на противоположное. Правильный выбор этих базисных векторов описан ниже в замечании 4.15. 3. Собственные векторы поверхности определяют ее главные «аираалеиия (3,14). ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛА КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Пусть в прямоугольной системе координат Охуг поверхность второго порядка задана уравнением вида (4.58): а„.х +а22'У +азз'2 +2 азз'х'У+2 азз х 2+2 азз У'2+ 2 2 2 +2.а,.х+2 а у+2 а 2+а =О нли в матричной форме: (4.67) аз! а12 азз а,з а22 аю азз азз азз Р(х,У,2)=(х У 2).
( Точка Мо называетса цаизиРоае симмаюРии (или пРосто цаинзРаи) поверхности второго порядка (4.67), если вместе с кюкдой своей точкой М поверхность содержит также и точку М, симметричную точке М относительно Мо (точка Мо середина отрезка ММ'). Поверхность второго порядка называется цаинеральнай, если она имеет единственный центр. В противном случае, если центр отсутствует или не является единственным, поверхность называется нецаиазральиай.
Центральными поверхностями являютсл эллипсоиды, гиперболоиды и конусы (рис.4.48), единственный центр этих поверхностей — начало координат. Остальные поверхности — нецентравьные. Певтсальвые ссеесхиссзи Ксвтеы Заметим, что поверхности эллиптического или гиперболического типов являются центральными, а поверхности параболического типа — нецентральными, как это указано в первом столбце таблицы 4.3. Прямаа или плоскость, каждая точка которой является центром симметрии, называются прямой ципп9таа или плоскостью центров соответственно.
На рис.4.49 изображены поверхности, имеющие прямую центров (эта прямая совпадает с осью аппликат канонической системы координат (двойная линия на рис.4.49)). На рис.4.50 изображены поверхности, имеющие плоскость центров (эта плоскость совпадает с плоскостью Охх канонической системы координат (выделена двойными линиями на рис.4.50)). Правые центров Пары иересекакы1ихса илоскоси:Й Эллиптические цилвидры Рис.4.49 Прямая 1о называется исаю спммеюрпп поверхности второго порядка (4.67), если вместе с каждой своей точкой М поверхность содержит также и точку М, симметричную точке М относительно прямой 1 (прямая 1о перпендикулярна отрезку ММ и делит его пополам). Оси симметрии нмеют все Плоскости цевтроа поверхности второго порядка.
т т Если поверхность центральная. то ось симметрии проходит через ее центр. Например, координатные оси канонической а системы координат являются осями симметрии эллипсоидов, гиперболоидов, конусов (ем. ПаР~ иавыыела~ ~ соыыюыыид рис.4.48).
Если нецентральная илссксстеа Рис.4.50 поверхность имеет прямую центров. то эта прямая служит осью симметрии. Например, ось аппликат канонической системы координат для гиперболического или эллиптических цилиндров, или пар пересекающихся плоскостей (см. рис.4.49). Другие координатные оси также явлаются осями симметрии этих поверхностей.
Ось Ох является единственной осью симметрии для параболоидов (рис.4.51), а ось абсцисс — единственная ось симметрии для параболического цилиндра. 44З ПлОСКОСтЬ 31 оси и плоскость снммстрнн ноасрлностся, нс нмсаннак импра называется ляоскнСЮЬЮ СМММЕт1нви г поверхности второ- У 1 го порядка (4.67), если вместе с каждой своей точкой М поверхность со- Парвболоилм Параболнчсслна ивнмлр держит также и Рис.ал! точку М, симметричную точке М опюснтельно плоскости во (плоскость по перпендикулярна отрезку ММ и делит его пополам).
Плоскости симметрии имеют все поверхности второго порядка. Если поверхность центральная, то плоскость симметрии проходит через ее центр. Если нецевтральвая поверхность имеет прямую центров, то зта прямая принадлежит плоскости симметрии. Например, плоскость Охх канонической системы координат для гиперболического вли зллиптическщ1 цюпщаров, или пар пересекающихся плоскостей (см. рис.4.49). Если нецентральная поверхность имеет плоскость центров, то зта плоскость служит плоскостью симметрии поверхности, например, координатная плоскость Охх для пар паралнельных или совпадающих плоскостей (см. рис.4.50). Эта же плоскость Охг является плоскостью симметрии для параболоидов и параболического цилиндра (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
