Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(х) +Л .(у ) — 2.2 =О,Л =-+<О, определитель ь матрицы Р квадратичной функции р(х, у,х ) имеет вид: Х, о о о е Х, о о е о е-~ ее-~о (4.65) ФО, т.е. для уравненнй эллиптического параболоида Ь < О, гиперболического параболоида Ь > О. Из формул (4.63) следует, что выражения Ь н Ь имеют одинаковые знаки, поскольку Ь = )ь~ Ь. Поэтому для перечисленных выше уравнений в условиях Ь<0, Ь>0, Ь=О определитель Ь можно заменить на Ь.
Следовательно, признаками вида для уравнений эллиптического нли гиперболического типа служат неравенства Ь <О, Ь > О, Ь = О, а для уравнений параболоидов — неравенства Ь < О, Ь > 0. В остальных случаях при Ь=Ь=О определение вида поверхности производится аналогично определению вида линии второго порядка (см. разд.3.3.5), так как в канонических уравнениях цилиндрических поверхно- 432 отей отсутствует неизвестная х. При а,з =азз — — аз каз =0 имеют место равенства о е о ~ е-з о со ~-г~ =-1<0. Следовательно (см. таблицу 4.3), зеленная поверхность является эллиптическим параболоидом (параболоидом вращения). 6) Собственные значения Л, =1, Л, =Л =0 матрицы А квадратичной формы найдены при решении примера 4.18,"б".
Согласно п.5 замечаний 4.12: т,=Л,+Лз+Л,=1, тз=Л, Лз+Л, Лз+Л, Л,=О, Ь=Л,.Лз.Л,=О. Следовательно, тип поверхности — параболический. Вычисляем оо е о з =О, ю 1 0 0 0 0 — 4 0 -4 10 ! 1 0 0 0 0 3 0 3 10 0 3 0 0 3 = -9-16+ 0 = -25 е 0 . 0 -4 — 4 10 Следовательно (см ческим цилиндром. и 50 таблицу 4.3), заданная поверхность является параболн- — т =8, к,=к, кз=Ь, где т,, тз, к,, кз — инварианты цилиндрической поверхности, а т, б, к, Д вЂ” инварианты линии второго порядка Таким образом, классификацию поверхностей второго порядка можно записать, используя инварианты квадратичной функции (см.
таблицу 4.3). Пример 4.19. По ортогональным ннвариантам определить виды алгеб- раических поверхностей второго порядка, заданных в примере 4.18: а) х +у +2 х — 4 у+2 к+1=0; 6) хг+6 у 8 с+10 0 в) 3 х -7у +3 я~+8 ху-8 х х-Зу к+10 х-14 у-б х-8=0. П а) Собственные значения Л, =Л =1, Л =0 матрицы А квадра- тичной формы найдены при решении примера 4.18,"а".
Согласно п.5 заме- чаний 4.12: т, =Л~+Лз+Лз =2, тз =Л~.Лз+Лз Лэ+Л, Лз =1, Ь=Л~.Лз Лз О. Так как хотя бы один из корней равен нулю, то тип поверхности — парабо- лический. Вычисляем Назааыие поаерхнссти ь<о з >е, «гьс $ Ь>0 ОЗОзого знака Ь 0 с та<О, т, ббО 3 Однсполостный гиперболоид Ь>0 4<0 разных знаков Конус Ь 0 Эллиптический парабслоид Ь>0 т-к «О т,.к, >О т >о к 0 1 тз <О Пара пересекыоппыса ппоскосзей к =о 3 к,<0 0 з к =0 з к,>0 Т а б а и ц а 4<д Классификации поверхностей второго порпдка в) Собственные значения Л, =-1, Л =9, Л =-9 матрицы А квадратичной формы найдены при решении примера 4.18,"в".
Согласно п.5 замечаний 4.12: т,=Л,+Лг+Л,= — 1, тг=2„.Л2+Лг.Л,+Л,.Л,=-81, б= =Л, Л Л =81. Поскольку корни характеристического уравнения имеют разные знаки, тип поверхности — гиперболический. Вычисляем 3 4 -4 5 4 -7 -4 -7 -4 -4 3 -3 -7 -3 -В Следовательно (см. табливпг 4.3), запаивал поверхность является однополоспвым гиперболоидом.
Классификации заданных поверхностей совпадает с результатами примера 4.18. ° ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ ПОМОЩИ ИНВАРИАНТОВ Найдем формулы, выражающие коэффициенты канонических уравне- ний поверхностей через коэффициенты общего уравнения (4.58). Для уравнений эллиптического типа: — зюпшсоида(1) Л '(х) +Лг'(у) +Лз И -1=0, -мнимогозллипсоида(2): Лг.(х') +Л (у') +Л .(х')2+1га0, - мнимого конуса (3): Л1 (х )2 + Л (у ) + Хз (х ) = О, где Л1 = 1,, Л = 1,, Л = 1,, причем 0<Л1 >Л <Л .
Учитывал (4.63), за- пишем равенства )4.Л =Л = —, )4 Л =Л = —, )4.Л =Л = —, б =)в б, 3 1 1 аг ' 2 2 Ьг ' 3 3 аг ' 4 А=)4 А. Для уравнения эллипсонда А= — 8 (см. первый определитель в (4.64)). Поэтому )в~ В = -)4~ б, значит )4 = -ф. Тогда полуоси эллипсоида вычисляются по формулам а= ~ —, Ь= ~- —, сга ~- —, причем для выполнения неравенств а > Ь > с (или, что то же самое Л1 <Л НЛ ), корни харакгериспвческого уравнения нужно заиумеровать так, чтобы они Удовлетворялн условиам ~Л, ~<~Л ~ <~Л ~. Для уравнения мнимого зллип- соида А = б (см. второй определитель в (4.64)).
Поэтому )4~.А =)4~ б, зна- чит 14 =-. Тогда полуоси мнимого зллипсоида вычисапотсл по формулам в , Ь= ~ —,„, с = ~ —, причем корни характеристического урав- -Н -~,' -~,' 435 пения нужно занумеровать так, чтобы )Л2 ~<(Л (<~Л ~. Разделив уравне- ние мнимого конуса на величину ()ь ( е О, получим уравнение )Л,( (х)г+)Л ( (у) +)Л ).(г) =О. - Отсюда находим коэффициенты Для уравнений гиперболического типа: — однополостиогогиперболоида(4): Л,.(х)г+Л .(у) +Л, (г)г-1=0; -двуполостногогиперболоида(5): Л,г (х) +Л .(у) +Л (г) +1=0„. -конуса(6) Лг (х)г+Л (у) +Х (г) =О, где Л, =+, Л =+, Л =-+<О, причем Л, <Лг, аналогичным образом получаем для однополостного гиперболоида: а = — —, Ь = — —, с г ь г ь г ь ! 2 2 для двуполостного гиперболоида: а = —, Ь = —, сг =- —; г ь г ь г ь г1Ь' Х2Ь' гяа для конуса: а =, Ь =Г-(, с = —, 1 2 2г2~ причем корни Л, Л,Л. характеристического уравнения нужно занумеро- вать так, чтобы Л, и Л были одного знака и )Л, ~ ~(Л (, а корень Л противоположного знака.
Для уравнения эллиптического параболоида (7): Л1'(х) +Лг'(у) -2 г -О. учитывая (4.63), запишем равенства )г. Л, = Л, = — ',, Н Лг = Лг = — ',, ~=)ь тг, п=)ь Ь. Поскольку Лз =О, то тг =Л2 Лг = — Ь (см. (4.65)). Следовательно, )г .т = — )г й, отсюда )ь = —. Тогда а = — — и г 2 г Г ь ' г Ь' ь2 1 2 Ь = 1 — —,", пРнчем коРни Л~,Лг,Л хаРакгеРистического УРавнениа 2 2 нужно занумеровать так, чтобы нулевым оказался корень Л = О, а ненулевые корни Л2 и Л одного знака должны удовлетворять условию ИФ*! Для уравнения гиперболического пвраболоида (8): 436 Л, (») +Лз (у)з-2 з =О, Л,= — '!, Лз=- — '!, аналогично получаем а = ~ — —,, Ь = ( — —,, причем корни !'~! !'~! Л! Лз, Лз характеристического Уравиеннл нУвшо занУмеРовлгь так, чтобы нулевым оказался корень Л =О, а из ненулевых корней Л, и Л разных знаков положительный обозначить Л! 1Л, > 0). Для уравнений цилиндрических поверхностей формулы для нахождения коэффициентов канонических уравнений по коэффициентам исходного уравнения выводятся аналогично тем, которые были получены в разд.3.3.5.
Действительно. учитывая, что в канонических уравнениях цилиндрических поверхностей отсутствует ненз~естнал х т е л!з = лзз = зз = з = шлгу чаем равенства з где т~' тз' к! кз инварианты цилищдзической поверхности, а т, 8, к, й инварианты линии второго порядка. Например, для параметра параболы У = 2.
Р.» в разд.3.3.5 получена формула р = Ге.. Следовательно, п- Ч Раметр паРаболического цилиндра уз = 2.р.» (в этом уравнении отсу ствует неизвестная с ) вычисляется по формуле р = ~ — ' . Пример 420. По ортогональным инвариаитам определить коэффициенты канонических уравнений алгебраических поверхностей второго порядка, заданных в примере 4.18,"а","б","в": а)» +у +2»-4 у+2.»+1=0; б)» +б у-8 »+10=0; в) 3» -7 у +З.»~+8» у-8» з-8 у »+10.»-14 у-б.х — 8=0.
П а) Заданное уравнение определяет эллиптический параболоид 1см. решение примера 4.18,"а" или 4.19,"а"). Собственные значения Л, = Л =1, Л =0 матрицы А квадратичной формы найдены при решении примера 4 18,"а", инвариант А =-1 вычислен в примере 4.19,"а". Заметим, что корни характеристического уравнения занумерованы в соответствии с условиями Л, =О, ~Л,~<~Л~~. Найдем инваРиант та=Эх'Лз+Лз.Лз+Л, Лз — — 1 и вычислим коэффициенты канонического уравнения аз = à — ~ = 1- — =1, !! т !г! ! 2 Ь = а =1, так как Л, = Л . Таким образом, каноническое уравнение имеет з вид (»')з + (у')з — 2.г.' б) заданное уравнение определяет параболический цютиндр (см. решение примера 4.18,"б" или 4.19,"б"). Инварианты т, =1, к =-25 найдены при решении примера 4.19,"б".
Вычисляем параметр параболического ци. ~2 линдра р= ~ — '= ~- ~ =5. Таким образом, каноническое уравнение имеет вид (у ) = 2. 5 х . в) Заданное уравнение определяет однополостный гиперболоид (см. решение примера 4.18,"в" или 4.19,"в"). Собственные значения Л=-1, Л=9, Л= — 9 матрицы А квадратичной формы найдены при решении примера 4.18,"в", инварианты 8=81 и А=81 вычислены в примере 4.19,"в". Обозначим корни следующим образом: корни одного знака (отрицательные корни) обозначим Л, =-1, Л = — 9 так, чтобы ~ Л, ~ <~ Л ~, а корень противоположного знака Л = 9. Вычислим коэффициенты канонического урала 81 , бз ь 81 1 8 4 81 х 'ь ( 1)81 лг'ь 1 9)81 9 88 ь 9'81 9 Таким образом, каноническое уравнение имеет вид ~+ф — Ч- =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
