Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 63
Текст из файла (страница 63)
т Действительно, учнтымя, что 5~ =5 ', з, =5 з, и А з, =Л,.з,, по- лучаем А'.г' =Бг.А.5.5-!.з -бг.А.5.5-!.з -бг.А.з =Л .5-!.з -Л .з' л ю, Р Р Р У т.е. А з, =Л,.з,. Следовательно, з, — собственный вектор, соответствую- щий собственному значению Л, б. При однородной невырожденной замене переменных х= 5 х ли- нейная форма а х=а,.х, +аз хз+а хз меняется следующим образом а Я.х =(а )гх, т.е. столбец коэффициентов линейной формы изменяется по закону а = 5~ а . Свободный член квадратичной функции при однород/ ной замене переменных х = 5 х не изменяется.
ПОРЯДОК ПРИВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ Пусть в прямоугольной системе координат Охуг поверхность второго порядка задана уравнением а„.х +ах!'У +азз'г +2'ан'х'У+2 азз х г+2.а У г+ +2 а! х+2.аз ° у+2 а г+ао=О. Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия. и -- 51 м 401 1. Составить матрицу квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы: о11 о12 а13 озг аю аю Озэ "2З ЛЗЗ А=( Если матрица квадратичной формы диагональная, т.е.
А = Л, 0 0 0 Л 0 О О Л положить Я = Е и перейти к п.4. 2. Составить характеристическое уравнение П1 1 П12 Н11 о12 о1п — Л озз О1З О22 ОЗЗ =0 и найти его корни Л,, Л, Л (с учетом кратности). 3. Найти взаимно перпендикулярные единичные собственные векторы з, .
зз, зз, соответствующие корням Л1 Лг, Л, характеристического уравне- ния, И составить Из иих МатрИЩ Я = (Ь1 ) зз ( зз): а) если уравнение имеет один тройной корень Л, = Л = Л, то базис исходной системы коордиввт является каноническим. Поэтому полагаем Я = Е и переходим к п.4; б) если все корни Л,,Л,Л простые, то дюг каждого корня найти ненулевое решение однородной системы уравнений (А-Л, Е) 1,. = о, 1=1,2,3. Например, собственный вектор !з =(хз уз гз) дяя просзого корня Л находится как любое ненулевое решение системы (ап-Л ) х+а, .у+а 2=0, о12'"+((ю-Лз)'У+а '2=0, или (А — Лз'Е).!з=о; .11 х+ол У+(~зз-4.-0, в) если имеется двойной корень, например Л =Л ззЛ, то для прор Л й с у Шй б ю йзор ! — б нулевое решение системы (А — Л .Е).! =о. Для кратного корня Л, =Л в качестве ! взять любой ненулевой столбец матрицы А-Л Е, а коорди- натный столбец 1, найти, используя векторное произведение 1, =1!2,! ~.
Нормируя найденные в п."б" или "в" собственные векторы 1,, 1г, 1з, получаем координатные столбцы 3 ~г, !' г )'~ г' 3 ~~ 3 базисных векторов новой прямоугольной системы координат Охуг . Со- ставляем матрицу Я перехода к новому базису, записывая собственные век- торы зз зг зз посголбцам' 5=(зз ! зг ! зз).
4. Вычислить столбец коэффициентов линейной формы а = Я~ а и составить "почти" приведенное уравнение поверхности второго порядка: Лз'(х) +Лг'(у) +Лз'(г +2 а, х+2.аг'у+2.а .с+а =О. В зависимости от вида этого уравнения выполнить следующие дейа) Если в уравнении нет линейных членов, то переходим к п.5. б) Если в уравнении имеется линейный член с какой-либо неизвест- ной и квадратичный член с этой же неизвестной, то, дополняя эти члены до полного квадрата, делаем замену, чтобы в уравнении не стало линейного члена с агой неизвестной. Например, если в уравнении Л, а О и а, а О, то выполняем преобразованию 3~ ЮГ +2 з *' э [ц +2 ~ * +® ~-3,(~) =~ ( ~~) -)„ (~) .
Ф Р И~ Ф Р Ф Г а затем замену неизвестных х =х+ —, у =у, г =г, после которой в г, Ю уравнении не будет линейного члена с неизвестной х . в) Если в уравнении имеются два линейных члена с двумя неизвест- ными, а квадраты одноименных неизвестных отсутствуют, то делаем орто- гональную замену этих неизвестных так, чтобы заменить их одной неиз- вестной. Например, если в уравнении Л, а О, Л =О, Л = О, а, = О, аг а О, а а О, т.е.
уравнение имеет вид Л, (х) +2.аг у+2.аз.г +ос =О, то нужно выполнить замену неизвестных у =Л (аг.у+ з.г+а. с), г =х.(- з.у+аз г), где р= (а ! +(а З . Эта ортогональная замена неизвестных приводит уравнение к виду Л, (х )г+2 р у =О. г) Если в уравнении имеется только один линейный член с какой- либо неизвестной, а квадрат этой неизвестной отсутствует, то при помощи замены этой переменной надо сделать равным нулю свободный член уравнения. Например, если уравнение имеет вид Л,.(х) +Лз.(у) +2 а .я +а =О, ° ю г ю г то, выполняя замену неизвестных х =х, у =у, г =а + — ~-, получаем 2а уравнение без свободного члена: Л (х ) +Л (у ) +2 аз.а -О.
5. Полученное в результате упрощений (п.4) уравнение имеет "почти" канонический вид 19). Для окончательного упрощении "почти" канонического уравнения применяются при необходимости следующие преобразования: Ф а) переименование координатных осей, например, х = у,у =х, г=а; 6) изменение направления координатной оси, например: Р Ф ~ Ю х =-х,у =у, я =а в) умножение обеих частей уравнения на отличный от нуля множиг) перенос членов нз одной части уравнены в другую.
В результате этих преобразований уравнение приводится к каноническому виду. Замену неизвестных, приводпцую уравнение поверхности к каноническому виду, определяем как композицию всех замен, применяемых в ходе решения. Пример 4.18. В прямоугольной системе координат Олуха заданы уравнения алгебраических поверхностей второго порядка: а) х +у +2 х — 4.у+2.я+1=0; 6) х +б.у-й а+10=0; в) 3 х — 7. у + 3. г ~ + 8. х у -8 х г — 8.
у я+10. х -14 у — 6. а -8 = 0. Каждое уравнение привести к каноническому виду. Указать связь между исходной и канонической системами координат. П а) 1. Составляем матрицу А квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы 2. Матрица /1 диагональная (Л, =Л. =1, Л, =О), а уравнение имеет "почти" приведенный вид. Поэтому полагаем, что 5 = Е и переходим к п.4.
4. В заданном уравнении имеются линейные члены всех неизвестных, а также квадраты неизвестных х и у. Дополняем члены с этими неизвестными до полных квадратов 1см.п.4,"б" алгоритма)". (' х +2 х+1)-1+(у~-4.у+4)-4+2 я+1=0 ео се (х+1)з+(у-2)з+2 х-4=0. //и / и / Сделаем замену х =х+1, у = у — 2, г = г: (х) +(у / +2 г -4=0.
Получили уравнение, в котором имеется один линейный член с неизвестной х, а квадрата этой неизвестной нет (см.п.4,"г" алгоритма). Сделаем замену г = г -2, чтобы в уравнении исчез свободный член (для единообразия обозначим х =х, У = У ): (х ) +(у ) +2 з =О. 5. Полученное уравнение (х )з+(у ) +2.х =0 имеет простейпшй вид (1Ч). Переносим линейный член в правую часть: (х ) +(у ) = — 2. а, и делаем замену г = — г, меняя направление оси аппликат (для единообразия / Ф ИФ / обозначаем х =х'.
у =у ): (х )з+(у ) =2.г Получили каноническое уравнение (7) эллиптического параболоида с коэффициентами а = Ь = 1. Найдем замену неизвестных, прнводпцую данное уравнение к каноническому виду. В п.4,5 решения были сделаны следующие замены: х = х+1, г и г Ф ф г г ~ юг и ю Ю у=у-2,г=г; х =х,у =у,х =х-2; х =х,у =у,з =-х. Выражал заменяемые неизвестные, получаем цепочки замен: и ю м Ф ЮФ х=х -1, х =х, х =х ~ х=х -1=х -1=х -1; / и ю гю у=у+2, у =у, у =у у=у +2=у +2=у +2; Ф Ф х=х.
г =х +2, х =-х =э хил чл +2=-х +2. Следовательно у =я+Я. + 0 1 0 у=у +2, или у = 2 Таким образом, найдены координатный столбец з вектора У=00 переноса начала координат и матрица Я перехода к каноническому базису: 405 *-(г) ог-г) б) 1. Составляем матрицу А квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы о о о) А ( -( (:) гг х=у, г гг 4 гг 3 у=-'.х +-.х —— х=х.х +а х +-, 5 5 5' 0 1 0 0 3 4 5 3 О 3 0 з 5 А 5 2. Матрица А диагональная (Л, =1, Л =Л =0), а уравнение имеет "почти" приведенный вид. Поэтому полагаем, что Я = Е и переходим к п.4.
4. В заданном уравнении имеются линейные члены двух неизвестнык у и х, а также квадрат другой неизвестной х . Поэтому заменяем неизвест- ные (см. п.4,"в" алгоритма): х =х, у'= — '.гЗ у — 4.х+~-.101, г =-' (4-у+3.х), н= /3 +~-~~ г.п ~ гг г (х)э+2 5.у =О. 5. Полученное уравнение (х ) + 2 5 у = 0 имеет простеюпий вид (Щ. Переносим линейный член в правую часть: (х ) =-2 5 у, и делаем замену / гг гг / х =-у, у =х, х = х, после которой получаем уравнение (у ) = 2 5.х . Это уравнение (14) параболического цилиндра с параметром р=5. Найдем замену неизвестных, приводящую данное уравнение к канони- ческому виду. В п.4,5 решения были сделаны следующие замены: х = х, у =- у —.я+1, а =- у+-.х х = — у, у =х, х =х .
Выражаязамег Э 4 г 4 5 5 * 5 з няемые неизвестные, получаем цепочки замен: г х=х, х =у хэ х=х =у у=г.у+- х — —. у = — х =ь у= — у+-.х — -=-'.х +-.х -а; 5 5 5' 5 5 3 5 5 зг г г 4 г г г 4 4 гг г гг 4 х= — у+ х+-, х =х ~ а= —.у+ я+-=-.х + .х +-. 5 5 5' 5 5 5 5 5 5 Следовательно, Таким образом, найдены координатный столбец з вектора з =00 переноса начала координат и матрица Я перехода к каноническому базису: 0 1 0 — Х 0 4 0 4 3 5 5 0 — 2 5 4 5 в) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
