Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 62
Текст из файла (страница 62)
у -Ь =0 уравнение пары параллельных плоскостей; ~йФ 16 уз+ба =О уравнение лары мнимых параллельных плоскостей; 17. у =0 уравнение лары совпадающих плоскостей. Вэтихураенениях а>0, Ь>0, с>0, р>0, причем а>Ь>с еураенениях 1,2; а а Ь е уравнениях 3,4,5,6,7,9, 10. Теорема 4.3 дает аналитические определения поверхностей второго порядка. Согласно п.2 замечаний 4.1, поверхности (1),(4),(5),(6),(7),(8),(9) (12),(13),(14),(15),(17) называются ееи(естеенными (дейстеитеяьныти), а поверхности (2),(3),(10),(11),(16) -мнимыми.
Поясним доказательство теоремы. Оно аналогично доказательству теоремы З.З и фактически содержит аагоритм решения поставленной задачи. Без ограничения общности можно предполагать, что уравнение поверхности второго порядка задано в прямоугольной системе координат. В противном случае можно перейти от непрямоугольной системы координат Ох,х х к прамоуголъной Охус (см. разд.2.2.2), при зтом уравнение линни будет иметь тот же вид и ту же степень согласно теореме 4.1 (см. разд.4.1.3).
Пусть в прямоугольной системе координат Ох,х х алгебраическая поверхность второго порядка задана уравнением (4.41), в котором хотя бы один из старших коэффициентов ап, а,, а, а,, ам, а отличен от нуля. 396 ги'хз+г12 хз+гзз'хз Р / Х2 =321 Х1+322'Хз+323'Хз, или Х=Я'Х, Р Р «3 31 1 32 2 33 3' (4.42) где х= хз Ф х = хз — стоябцы сзпарых и новых переменных, Р хз 11 12 13 Я= г, г г — ортогонаяьная мапцнппз (Я =Я 1), при которой гзз гзз гзз квадратичная форма х А х=ап х1 +а22 22+азз.хз+2 а12 х1 хз+2 азз х,.хз+2.азз.хз хз т 2 2 2 приводится к каноническому виду (х) Л'х =)ч (хз12+)"2'(х212+23 (Х312, 0 0 0 )1 0 0 0 для которого матрица квадратичной формы диагональная: Л = Действительно, подставляя х = Я. х в квадратичную форму х А х, получаем х .А х=(Я.х) .А Я.х =(х) .Я~ А.Я х =(х)г.А .х.
т.е. при однородной ортогональной замене переменных (4.42) матрица квад- ратичной формы преобразуется по закону А=Я~ АЯ. (4.43) Составим характеристическое уравнение для матрицы А (см. п.3 замечаний 3.12): 397 поскольку левая часть уравнения — многочлен трех переменных х,,х,х второй степени. Упрощение общего уравнения (4.41) производится в два зтапа.
На первом этапе при помощи однородного ортогонального преобразования координат "уничтожаются" члены с произведением неизвестных, как и в случае уравнения линии второго порядка (см. равд.3.3.1), при зтом достаточно сделать три поворота (см. углы Эйлера в разд.2.2.3). Докажем, что сузцествует однородная ортогональная замена перемен- ных а11 л а12 а, а, — Х а12 азз а1з бе1(А-Х. Е) = а а -71 Так как зто уравнение третьей степени, то оно имеет хотя бы один действи- тельный корень [101. Обозначим его Х .
Однородная система уравнений < (а11 з)'хз+ а12 '"2+ а12 'хз = и а х +(а -Л ) х +а х =О, или (А-Х Е).х=о, ~з ~+аж '~+('зз-11~з "з =0 определитель которой равен нулю, имеет бесконечно много ненулевых решений (см. Равд.П.10). Обозначим через з вектор, координатный столбец которого совпадает с ненулевым решением з = системы, удовлепю- '(з1 ! 22 ! зз) т зз 'зг г ЗЗ ' З1 и, следовательно, Яг =Я '.
Сделаем в квадратичнойформе х А х замену переменных х=Я х с ортогональной матрицей Я =(з, ) з ( з ). По закону (4.43) находим А =Я А Я=Я А (з,! 22! зз) (Я .А з1 1Е А .22 [Е 'А'зз)' Последний столбец втой матрицы. УчитываЯ Равенство А. зз = '"з ' зз " арто" тональность Я, имеет вид 298 ряющим условию нормировки (зз(=З[(зз,зз)= / зз зз =1. Допозппзм зтот единичньзй вектор 7 векторами зз,з до ортонормированного базиса '1 зз 'з Чюстранс в~ [~соря~~~~ ые сюлбцы 21.з, з, ~ оров 21 зз зз удовлетворяют условиям ( ' ) ' 2'2 2 2 ' 3'3 3 3 ) ' ( 2' 2) 2 2 ' ( 3' 3) 3 3 1) (зпзг)=21 зг =О, (зпзз)=21 аз =О, (зз зз)=4'аз =О, [444) кроме того столбец з удовлетворяет равенству (А — й Е) и = о или, что то Яю самое.
А зз =йз зз. Из коорлинатных столбпов з,, зз,зз базисных векторов составим матрицу Я = (з, ( з ( з ), которая в силу [4А4) является ортогональной, так как =л, о= 3 Лз т з 'А'зз Лз в з Лз' 'з з' т +з' я~ зз 'зз 3 Ф / Следовательно, в матрице А элементы а, =азз =0 и азз Л . Поэтому квадратичная форма имеет внл И'''1''х'=ап'(хз) +2'ап'«1'«э+аж'(хз +Лз'(хз) Как показано при доказательстве теоремы 3.3, многочлен / ° 12 ю / ~зз а' .(х ~)+2.ац.х,.х еа .(х ) двУх пеРеменных пРи помощи повоРота /ия /нп системы коорд „т О,,х мо,оприв, кв лу Л,~+Л ,) .Э от поворот соответствует повороту найденной системы координат Оз,взвз во- круг оси аппликат.
Таким образом, существует преобразование прямоугольной системы координат, приводящее квадратичную форму к каноническому виду. При этом уравнение (4 41) не содержит членов с произведением неизвестных: Л, х +Лз у +Лз т +2-а, х+2.аз'у+2.аз.«+ар 0 (445) На вморам эеапе, при помощи параллельного переноса "уничтожают- ся" один, два или все три члена первой степени.
В результате всех преобра- зований получаем систему коордонат Охут, в которой уравнение (4.45) становится нрнведенным (одного из следующих пяти типов): Л .(у) +а =О, Л, (П): Лз (У1з+2 а1 х =О, Лзно, азао; (Ш): Л, (х') +Л .(у') +а' =О, Л ззо, Л Фо; (ГЧ): Л, '(х ) + Лз (у ) + аз т = О, Л, а О, Лз а О, аз и 0; (У): Л1 (х)з+Лз'(У)з+Лз (т)э+не =О, Лз ФО, Лз мо,лзно. Уравнения (1),(П),(Ш) совпадают с приведенными уравнениями линии вто- рого порядка, поскольку не зависят от неизвеспюй г . В разд.3.3.1 показано, что они сводятся к каноническим уравненивм эллипсов, гиперболы, парабо- лы или пар прямых. Поэтому уравнения (1),(П),(Ш) соответственно сводятся к каноническим уравнениям цилиндров (9),(10),(12),(14): эллиптического, гиперболического, параболического, или нар няоскосзней (11), (13), (15), (1б), (17).
Уравнение (1У) в зависимости от знаков коэффициентов сводится к ка- ноническим уравнениям нарабслоидов (7) или (8). Например, если все ко- эффициенты Л, Л, а положительны, то, перенося линейный член а т правуго часть и разделив обе части уравнения на 2аз, по Р -эь (х ) + ~-(у 1 = — 2 2 . Обозначим положительные величины аэ аэ а = —, Ь = — н изменим направление оси аппликат, т.е. сделаем заме24э ' ггэ Р ю а э а ну: х =х у =у,г =-2 . В результате получим уравнение эллиптичеа Ф~ ского параболоида (7): -+ — = 2 2 Если окажется, что а < Ь, то пеаг Ьг а эа а «э реименуемкоординатныеоси: х =у, у =х Уравнение (У) в зависимости от знаков коэффициентов сводится к кэь ионическим уравнениям эхяилсоидов (1),(2), гилербсхоидое (4),(5) или конусов (3),(б).
Замечании 47. 1. Система координат, в которой уравнение алгебраической поверхности второго порядка имеет канонический вид, называется канонической. Каноническая система координат определяется неоднозначно. Например, измеющ направление оси ординат на противоположное, снова получаем каноническую систему координат, так как замена переменной у на (- у) ие изменяет уравнений (1)-(17). 2. Поверхности второго порядка, приведенные в формулировке теоремы 4.3, изображены в канонической системе координат. Изображение мнимых поверхностей дается пприховыми линиями только для иллюстрации. 3. В случаях (11),(13),(15)-(17) поверхности называкпся распадающимися, поскольку соответствующие вм многочлены второй степени разлагь ются в произведение многочленов первой степени.
4. Напомним, что ненулевой столбец х=(х, хг х )~, удовлетворяющий равенству А х=Х.х, называется сабстаеииым векторам матрицы А, а число Х вЂ” собсэиеаиимм значением этой матрицы. Говорят, что собственный вектор х еаатветстауеэи (ирииадлаисит) сабсиэееииаму зиачаиию Х. Как показано при доказательстве теоремы 4.3, при помощи однородной ортогональной замены переменных (4.42) х=б х нли, что то же самое. при помощи поворотов прямоугольной системы координат Ох,х х вокруг ее начала О, квадратичную форму х А.х=аэ1.хэ +агг'хг+азз'хз+2 аэг'х1'2~+2'а12'х2'"з+2.ахэ хг хз 1 2 2 2 можно привести к каноническому виду эх) ! (хг) 2 (2) 3 (3) ' где Л,,Лз, Лз — собственные числа матрицы А квадратичной формы, т.е.
корни характеристическою уравнения: де!(А -Л Е))= О, а матрица з = гз! ~ зз ~ зз) замены переменных составлена из попарно ортогональных единичных собственных векторов з!,зз,зз матрицы А, соответствующих собственным значениям Лз,Лз,Лз. Другими словами, для любой квадра- тичной формы х А х (трех неременных) существует ортонормирован- ный базис 7, 7з, 7, составленный из собственных векторов матрицы А, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. 5. При ортогональном нреобразовании координат собственные векто- ры матрицы А квадратичной формы не изменяются, а именно, если з собственный вектор ма~ярицы А (соответствующий собственному значе- нию Л!), то вектор з,=б ' з, является собственным для матрицы А =5 А 5, где 5 — ортогональнаяматрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
