Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Конические сечения могут быть взяты в качестве эквивалентных определений эллипса, гиперболы, параболы. 27' 419 4.4.5. Параболоиды Эллиишическим иараболоидом называется поверхносп, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Охуг каноническим уравнением хг г — + — =2 г. (4.51) аг х )гиерболическим иораболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Охуг каноническим уравнением х у (4.52) аг Ьг В уравнениях (4.51),(4.52) а и Ь вЂ” положительные параметры, характеризующие параболоиды, причем для эллиптического параболоида а е Ь. Начало координат называют вершиной каждого из параболоидов ((4.50) или (4.51)). плоскнк скчипня эллнптнчкского плилволондл Плоскость Охг пересекает эллиптический параболоид (4.51) по линии, имеющей в этой плоскости уравнение —" = 2 г, которое равносильно уравг нению х =2 р х параболы с фокальным параметром р=а .
Сечение параболоида плоскостью Оуг получаем„подставляя х=0 в уравнение (4.51): +=2 г. Это уравнение равносильно уравнению у =2 о.х параболы с фокальным параметром а = Ьг . Эти сечения называются елаеиыми иараболами эллиптического параболоида (4.51). Рассмотрим теперь сечение эллиптического параболоида плоскостями, параллельными плоскости Оху.
Подставляя г=А, где А — произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.51), получаем ,г г — + — =2 А. аг При А<0 уравнение не имеет действительных решений, т.е. плоскость с=А при А<0 не пересекает параболоид (4.51). При А=О уравнению (4.51) удовлетворяет одна вещественная точка Π— вершина параболоида. х у Прн А>0 уравнение определяет эллипс —,+ — =1 с полуосями ('~ (Ь'Т а =а.а~2.Ь, Ь =Ь.т/2 Ь . Следовательно, сечение эллиптического пара- болоида плоскостью с=И (приЬ>0) представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины — на главных параболах.
Сечение аллиптичеоиого парабопо ила 2 ге а-+ — = 2. 2 ае Ве Параболоил временил 2 ге — + — =2.х, а в 2 ее Таким образом, эллиптический параболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных параболах (рис.4.4б,л). ПАРАБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ Эллиптический параболоид, у которого а = Ь, называетсл иарабниендаен иращенил. Такой параболоид явллетсл поверхностью вращении (см.
равд 4.1.1). Сечения параболоида вращении плоскоспваи х = Ь (при Ь > 0 ), представляют собой окружности с центрами на оси аппликат (рис.4Аб,б). Его можно получить, вращал вокруг оси Ог параболу у =2.л г, где у=а =Ь . ПЛОСКИЕ СЕЧЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ПАРАБОЛОИДА Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями Олт и Оух представллют собой параболы (глинные иарнбнлве) х =2 р я ини у = — 2 п.г с параметрами р=а или п=Ь соответственно. Поз ~кольку оси симметрии главных парабол направлены в противоположные ~героны, гиперболический параболоид называют сеЬюаей новеркносеиью. 421 Рассмотрим теперь сечения гиперболического параболоида плоскостями, параллельными плоскости Оху. Подставляя г=й, где Ь вЂ” произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.52), получаем г г — — — -2 Ь.
2 Ь2 г П Ь > 0 уравнение равносильно уравнению гиперболы — —, ри Прямолинейные образующие пшербОВического парабслоида Параболические образующие ппюрболнческого параболоида Сеченна пщербслнческого параболонда л У з з — — —,=2 г а* полуосями а =а з), = .,и —,) 2 Ь, Ь =Ь.ч 2.Ь, те. сечение гиперболического параболоида плоскостью гой при Ь>0 представляет обо ерболу собой гнп балу с центром на оси апплика, аппликат, вершины которой лежат на главной параболе х =2.р г. При Ь<0 получаем уравнение сопряженной гиперболы И И' разд.З.З.З), т.е. сечение гиперболического параболоида плоскостью 2 =Ь прн Ь < 0 представляет собой сопряженную гиперболу с центром на оси апл =-2.
° П пликат, вершины которой лежат на главной параболе у =-2.д.г. При я ямых — — = О, т.е. сечех Й =0 получаем уравнение пересекающихся прямых — — = ние гиперболического параболоида плоскость г — пре ю = 0 дставляет собой пару пересекающихся в начале координат прямых. 4.4.6. Классификации поверхностей второго порядка по инвариаитам ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ Рассмотрим преобразование квадратичной функции трех переменных р(х) = а!1.«3 + а22.«2 +азз '«3 + 2'а!2 '«1 '«2+ 2'а!3 '«3 '«3+ 2'а23 '«2 '«3+ 2 2 2 (4.53) +2'а '«,+2'аг хз+2 аз'«3+ос при линейной невырожденной замене переменных: 1 ! 11 «1 12 2 13 3" Р Ф 32+ 321 '«3+ зю '22+ 323 '«3 Р «3 3 31 «1 32 2 33 «3 ' Р или хч я+5 х, (4.54) Таким образом, гиперболический параболоид можно представить как поверхность, образованную гиперболами (включая н "крест" из их асим- птот), вершины которых лежат на главных параболах (рис.4.47,а).
Сечение параболоида плоскостью х = Ь, где Ь вЂ” произвольная посто- янная, представляет собой параболу Ь2 2 ( Ьг ) — у =г у=-2д 2 — 2~, 2 2 Ь2 2а ~ равную главной параболе у = -2- 7 2 с параметром 17 = Ь, вершина кото- рой лежит на другой главной параболе х =2 р 2 с параметром р=а . Поэтому гиперболический параболоид можно представить как поверхность, получающуюся при перемещении одной главной параболы так, чтобы ее вершина "скользила" по другой главной параболе (рис.4.47,6).
Замечании 411. 1. Гиперболический параболоид является лилейчшлай поверхностью [14), т.е. поверхностью, образованной движением прямой (рис.4.47,в). 2. Ось алпвикат канонической системы координат является осью сим- метрии параболоида, а координатные плоскости Оу«, Ох« — плоскостями симметрии параболоида В самом деле, если точка м(х, у,х) принадлежит параболоиду (эллип- тическому или гиперболическому), то точки с координатами (+ х, + у, 2 ) при любом выборе знаков также принадлежат параболоиду, поскольку их коор- динаты удовлетворяют уравнению (4.51) или (4.52) соответственно.
Поэто- му параболоид симметричен относительно координатных плоскостей Оух, О«2 и координатной оси 02. ГДЕ Зза зи згг азз зм згг згз ззз ззг ззз — невырожденнаа матрица (детЯ 220). На- помним, что замена переменных (4.54) называется аффннной, а если матри- ца Я ортогональная ( Ят = Я ! ) — орнзоеональной.
При любой аффинной замене переменных кващзатичной функции р(х) получаем снова квадратичную функцию р (х ) (см. пА замечаний 4.1): Р(х)=аи.(х,) +агг (хг) +азз.(хз)г+2'азг'хз'хг+2'азз'хз'хз+ +2.агз'хг'хз+2 а,.х,+2.аг'хг+2.а .х +ао (455) Выделим в функциях р(х) н р (х ) квадратичные и линейные формы (см. п.5,6 замечаний 4.1): р(х)=х А х+2.а х+ае, р(х)=(х) А х+2.(а) .х+аа, А А аи азг азз / А А азг агг агз А А а1з агз азз агг азз азг агг агз "зз агз азз где А= А =( р(х)=х Р х, р(х)=(х) ° Р х, азз а! а22 а2 аэз аз 'эз "а -( азз а! ан аз азз аэ аэ аз ан азз где Р= а а а! а2 ан ан а22 а22 азз ан а! а2 функций, х = (х, х х 1)", х = (х, х х 1)1 — расширешпяе (допм- пенные единицей) столбцы переменных. Замену переменных (4.54) можно записать для расширенных столбцов х=Т х, ФОРЫ! а = (аз аг аз)), а =(аз аг аз) — стОлбЦы коэффизШентоа линейных форм функций (4.53),(4.55).
Аналогично случаю двух переменных (см. равд.3.3.5) получаем формулы, связывающие коэффициенты функций (4.53),(4.55): А =Я А Я; а =Я (а+А з); а =з А.з+2 а .з+ае. (4.56) Квадратичные функции (4.53), (4.55) можно представить в матричном св са Чв св ~е ~2з Ч са ~и ~ээ Ч Е О О 3 где Т= — невырожденная матрица, поскольку бест=бесзаО. Выполняя тасую замену, получаем Р =Т Р.Т.
(4.57) Итак, формулы (4.56) н (4.57) выражают преобразования квадратичных функций трех переменных при линейной невырожденной замене (4.54). ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ а +а +а т аи а32+ ИС Из+ ж 23 асс ос 2 асз ас ос 2 агг асз а23 азз аз аз ао асс ас2 асз б=бегА= а, о ссгз, Ь=ссегР= осз агз азз Выражения, составленные нз коэффициентов квадратичной функции, которые не измешпотся при линейной невырожденной замене переменных (4.54), называются иноариантами отностнелвно аффннной замены нФ ременных, илн, короче, аффиннымн иноариантами квадратичной функции.
Например, знак определителя сзегА матрицы квадратичной формы функции (4.53) не изменяется при замене (4.54), так как, согласно (4.56): ссеСА =сзег(о~.А.Я)=ссегб~.оеСА сзегб=(оеСЯ)2 сзеСА. Аналогично, учитывая (457), получаем, что ссег Р = (ссес Т)2 бея Р, те. знаки определителей сзех Р и бег Р совпадают при любой линейной невырожденной замене переменных. Выражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции, которые не взменяются при линейной невырожденной замене переменных (4 54) с ортогональной матрицей Я (Яг = Я '), называются нноариатнами относшнелвно ортогональной замены неременных, или, короче, орозогоналвнммн иноариатиами квадратичной функции.
Эти алгебраические выражения явшпотся важнейшими геометрическими характеристиками поверхности второго порядка и могут быть использованы как для их классификации, так и для построения, поскольку преобразование прямоугольной системы координат соответствует ортогональной замене переменных. Далее, если не оговорено противное, будем рассматривать преобразования квадратичных функций при ортогональных заменах переменных. Для функции (4.53) введем обозначения где т, — след матрицы А (сумма диагональных элементов матрицы А ), а т — сумма главных миноров второго порядка матрицы А, Ь вЂ” определитель матрицы А квадратичной формы, А — определитель матрицы Р квадратичной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
