Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Следовательно, (')' (ЬТ сечение однополостного гиперболоида плоскостью 2 = Й представляет собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины — из главных гиперболах. Среди всех эллипсов, получающихся в сечениях плоскостпми 2 = Ь при различных значениях параметра Ь, горловой эллипс (при Ь = О) пвлпетсп эллипсом с наименьшими полуосями. Таким образом, однополоствый гиперболоид можно представить как поверхность, образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных пшерболах (рис.4.42,а) хз уз — + — =1 (а ) 1Ь )2 уравнение эллипса с полуосями Гг Ь =Ь. ( ~; — 1. Следовательно, сечение двуполостного гиперболоида плоскостью гыЬ при ~Ь~>с представляет собой эллипс с центром на оси ацпликат, вершины которого лежат на главных гиперболах.
Таким образом, двуполосппай гиперболоид можно представить как поверхность образованную эллипсами, вершины которых лежат на главных гиперболах (рис.4.43,л) Сеееплл лвуполостлого — + — — х-= — 1 ае ьг ее Двуполоствыа гипербологщ врещелпл ее у $ — + — -х- = -1 а=ь а' Ье е' Осповпоа прлыоугольлыя переллеле понед б Рле.4.43 ГИ22ЖРБОЛОИДУгт ВРАЩЕИИД Гиперболоид, у которого поперечные полуоси равны (а = Ь), называется гииярбееееидеяе прап(ения. Такой гиперболоид является поверхностью вращения (см.
разд.4.1.1), а его сечения плоскостями 2 = Ь (для двуполостного гиперболоида при ~ Ь ~ > с ) представлиот собой окружности с центрами 415 хг,2 Ь2 х2 у Ь2 — + — — =-1 оо — + — = — -1. 2 12 2 пз Ь2 с2 При ~Ь~<с уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательная, а левая неотрицательная), т.е. плоскость 2 = Ь не пересекает двуполоспплй гиперболоид. При Ь = хс уравнение имеет нулевое решение х = у = О. Следовательно, плоскости 2 = хс касаются двуполостного гиперболоида в его вершинах (О,О,хс). При ~ Ь~ >с получаем на оси аппликат.
Однополостный илн двуполостный гиперболоиды можно у2 2 получить, вращая вокруг оси Ог гиперболу —,— Х2 =1 (рис.4.42,б) или соу2 2 пряженную гиперболу —,— л;-=-1 (рис.4.43,б) соответственно. Замеппя, у2 2 что уравнение последней можно записать в форме — +х- =1 Ь2 22 (см. разд.3.3.3) Гиперболоид, у которого поперечные оси различны ( а а Ь ), называется вуракосамм (илн общим). 4.4.4. Конусы Конусам называегся поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Охуг каноническим уравнением х у — + — — =О, аз Ь2 сз (4.50) 416 Замечании 49.
1. Плоскости х = ха, у = +Ь, г = хе определяют в пространстве оо поеной прямоугольный «араляелеаааед, вне которого находится двуполостный гиперболоид (рис.4.43,е). Две грани (г = хс) параллелепипеда касаются гиперболоида в его вершинах. 2. Сечение однополостного гиперболоида плоскостью, параллельной оси аппликат и имеющей одну общую точку с горловым зллипсом (т.е. касающейся его), представляет собой две прямые, пересекающиеся в точке хасаны. Например, подставляя х = ха в уравнение (4.48), получмм уравнеу2 2 нне —, — 42 = О двух пересекающихся прямых (см. рис.4.42,а).
3. Однополостный гиперболоид является лааейчавюй поверхностью, т.е. поверхностью, образованной движением прямой (см. рис.4.42,е). Например, однополостный гиперболоид вращения можно получить, вращая прямую вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней (но не перпендихулярной). 4.
Начало канонической системы координат является центром симметрии гиперболоида, координатные оси — осями снмметрии гиперболоида, координатные плоскости — плоскостями симметрии гиперболоида. В самом деле, если точка М(х,у,г) принадлежит гиперболоиду, то точки с координатами (хх,йу,хг) при любом выборе знаков также принадлежат гиперболоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.48) или (4.49) соответственно. где а, Ь,с — положительные параметры, характеризующие конус, причем )ь. Начало координат называется белла)гам конуса (рис.4А4,а). Конус является конической фигурой (см. равд.4.1.1), поскольку вместе с любой своей точкой М(х, у, 2) уравнению (4.50) удовлетворяют также все точки (г х, г.у, г 2) при 2~0 луча ОМ . Точка О является вершиной конуса (4.50), а любой луч ОМ, принадлежащий конусу, является его ойразуюл4ей.
Сечения конуса координатными плоскостями Охг, Оух представляют собой пары пересекающихся прямьи, удовлетворяющих в этих плоскостях г г г уравнениям — ', -42 = 0 (при у = О) илн +-42-=0 (при х = О) соответст- вснно . Ссчсннв конуса — + — 4-=0 г 2 ь2 2 Круговой конус 2 22 2 — + — 4-=0, а ь 2 ь2 г а б в Рнс.4А4 Рассмотрим теперь сечение конуса плоскостями, параллельными плоскости Оху . Подставляя 2 = Ь, где Ь вЂ” произвольнаа постоянная (параметр), в уравнение (4.50), получаем 2 2 Ь2 — + — — — =0 2 12 2 хз уз Фо — + — = —. 222 Ь2 с2 ' При Ь = 0 этому уравнению удовлегворяет одна вещественны точва— начало координат.
При любом отличном от нуля значении параметра Ь 27 2727 412 х у а уравнение определяет эллипс — + — =1 с полуосями а =- [Ь~ И (Ь')' с Ь =- ~ Ь~. Следовательно, сечение конуса плоскостью г = Ь представляет с собой эллипс, центр которого лежит на оси аппликат, а вершины принадлежат координатным плоскостям Охг и Оуг. Таким образом, юнус можно представить как поверхность, образованную эллипсами, центры которых лежат на оси аппликат, а вершины принадлежат координатным плоскостям Охг и Оуг (см. рис.4А4,а).
кги оной конус При а = Ь все сечения конуса плоскостями г = Ь ( Ь о 0 ) становятся окружностями. Такой конус является фигурой вращения и называется прямым «руговым конусам. Он может быль получен в результате вращения, например, прямой г = -'. у (ойразующей) вокруг оси алпликат (рис.4.44,б). Замечании 4.10. 1. Конус является лииейчашой поверхностью, поскольку может быть получен при помощи перемещения прямой [14]. З. Конус, образо й асимлтотами гипербол, получающихся при ересечении гиперболоида плоскостями, проходящими через ось Ог, называется асыматошическпм конусом этого гиперболоида.
На рнс.4А4,в изображен асимлтотический конус для однополостного н двулолостного гиперболоидов. 3. Конус (4.50) может быть получен из прямого кругового конуса хз+уз-гз =О (у которого а=Ь=с=1) в результате двух сжатий (растяжений) к координатным плоскостям Охг и Оуг.
4. Начало канонической системы коордннат является центром симметрии конуса, координатные оси — осями симметрии конуса, юординатные плоскости — плоскостями симметрии конуса. В самом деле, если точка М(х,у г) принадлежит конусу, то точки с координатами (+х,й у,хг ) при любом выборе знаков также принадлежат конусу, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4.50). 5. Рассмотрим сечение прямого кругового конуса х +у -г =0 плоскостями, не проходящими через его вершину, например, плоскостями г = Ь у+1, где Ь вЂ” произвольная постоянная (параметр) — угловой коэффициент прямой г = Ь у+1 в плоскости Оуг. Заметим, что образующие рассматриваемого конуса в плоскости Оуг описываются уравнением г =Ь.у 418 с угловым коэффициентом )с =Ы. Подставляя г = й у+1 в уравнение конуса, получаем + у з ( я у + 1 1 ~ ( ) с е х з + р й з ) у з 2 я у 1 ( 1 Это уравнение проекции на координатную плоскость Оху линни пересечения плоскости с конусом.
Вычисляем инварианты (см. разд.3.3.5) 1 0 0 0 1 — А~ -й =-1; т=2-А~. 0 — )с -1 При ~1~ <1 имеем б >О, Ь и О, г Ь =)с~-2<0. По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, которое пересекает все образующие пря- Кеиичесвие сечения и б е Рис.4.45 мого кругового конуса, является эллипсом. При ~ и ~ >1 имеем Ь < О, Ь -с 0. По таблице 3.2 определяем, что рассматриваемое сечение, которое параллельно двум образующим кругового конуса, является гиперболой.
При й =+1 имеем б = О, Ь ее О. По таблице 3 2 определяем, что рассматриваемое сечение, которое параллельно одной образующей кругового конуса, является параболой. Поскольку при аффинных преобразованиях тип ливий не изменяется, такой же вывод можно сделать для произвольного конуса (4.50): — сечение конуса плоскостью, пересекающей все его образующие, является эллипсом (рис.4.45,а); — сечение конуса плоскостью, параллельной двум его образующим, является гиперболой (рис.4.45,б); — сечение конуса плоскостью, параллельной одной его образующей, является параболой (рис.4.45,в). б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
