Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Параметрическое (4.33) и каноническое (4.34) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффипиентов в уравнениях остается прежним. 4. Чтобы нерейти от канонического уравнения к общему, достаточно двойное равенство (4.34) записать в виде системы Пример 4.14. В координатном пространстве Охух (в прямоугольной системе координат) заданы вершины А(1,2,3), В(3,0,2), С(7,4,6) треуголь.
ника (рис.4.30). Требуется: а) составить каноническое уравнение прямой, содержащей высоту Ац треугольника; б) составить общее уравнение прямой, содержащей биссектрису А1, треугольника. П а) Общее уравнение прямой АН получено в примере 4.13: < х+3 у-4.с+5=0, х+у+а-6=0. Перейдем от общего уравнения к каноническому. 1) Найдем любое решение (ха,уе,г ) системы, например, хс =1, уо = 2, го = 3 1это координаты точки А(1,2,3)). 2) Найдем направляющий вектор р прямой как векторное произведение нормалей л, =1 7+3 1-4 Ь, л =1 ~+1 г'+1 Ь заданныхплоскостей г 7 Ь 1 3 -4 =7 ~-5 у-2 К. У=Я,лаз= 1 1 1 В 3) Запишем каноническое уравнеРиа4.30 х-1 у-2 г-3 ние 14.34): — = — = —. 7 -5 -2 б) Сначала составим каноническое уравнение прямой АЕ.
Для этого нужно найти направляющий вектор 1 этой прямой. Учитывая, что диагонааь ромба является биссектрисой, 1 = Ь + с, где Ь и с — единичные векторы, одинаково направленные с векторами АВ и АС соответственно. Находим — — АВ 2-, 2т 1- Ав=г.1-2 1-1К, )Ав)=з. ь= = — 1 —,) — ь; )ав~ з з з — — АС бя 2з 3-. АС=6 г+2 г+3 Ь, <АС<=7, с= — = ю+ '1+ 'й' Я 7 7 7 Г2-, 2- 1-) (6-. 2 з 3-1 32-, 8 -. 2 1=Ь+с=~ — г — у-- Ь)+~- ~+ —,1+ — Ь<= — ~ — 7з+ — й. 1,3 3 3 ! 17 7 7 ! 21 21 21 х-1 у-2 г-3 Составляем каноническое уравнение прямой А1.: ьт в з ж з1 и х-1 у-2 32 8 м м у-2 8-3 ео <х+4 у-9=0, у + 4 х -14 = О. 8 М 81 РясстОяиик От тОчки ДО ПРямОЙ Найдем расстояние а от точки М,(х,,у,,х,) до прямой 1, заданной каноническим уравнением (рис.4.31)): у-у, а Ь с Искомое расстояние равно высоте параллелограмма Рас.4.31 (см.
равд.1.6.2), построенного на векторах Р=а 8'+Ь а+С.)Г И т =МОМ =(Х1 ХО)" +(У1 Уо)')+(г1-ГЕ)'Х,ТЕ. М1(~ у1 ~) (4.35) а~+Р+г' 4З.З. Уравнещге прямой, проходящей через две заданные точки Пусть в координатном пространстве Охух заданы две точки Ме(хе, Уе,ге) и М1(х, У1,8,). ТРебУетсл составить УРавнение пРЯмой, пРоходящей через заданные точки. Как показано в равд.1.6.1, точка М(х, у х) принадлежит прямой МеМ, тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор ОМ удовлетворяет условию (рис.4.32): ОМ =(1-1) ОМ +г ОМ,, где г — некоторое действительное число (параметр).
Это уравнение, а также его координатную форму х=(1 — г) х +г х,, ее у=(1-1).уе+г.у,, гнй (436) х=(1-1) х +1.81, :) =(1-1). Н 381 Записывая двойное равенство в виде системы, получаем общее уравнение прямой А(.: 6Удем называть аф4авиимм УРаелелием пРЯмеаь ёРехедлщей чеРез йе Ме(хс,уп,хе) и М1(,,У1,21). Выражая параметр г нз каждого уравнения системы (4.36), получпем1 х-, у-у, — — — = Г .
Исключая параметр г, приходим к ураененн ,-х, у,-у, л)немей, лРатедЯЩей чедез дее неочкн Ме(хс,ус*ге) н М1(х1 Уп21): х-х у-у 2 †(4.37) хр У1 Ув 21 хс Афо)нвв«е уровненне пренса: ОМ=(1-о).ОМ, +«.ОМ,; < «=(1-о) «о+««,, Г (1 о)то+пи ° «-(1-о)*.+« *,, ураввевме пренса, превсдвпеа череадве точен м н М,: «-.«о г-но «-« "о И го «о *о го «о) Рис.432 Уравнение (4.37) можно получить из канонического уравнения (4.34), ВЫбИрая В КаЧЕСтВЕ НанранпяЮщЕГО ВЕКтОра р=а 1+6 те+С К ВЕКтОр I I I М М, =(х,-хе).1+(У1 — ус) ч+(21-х ) й, т.е. подставная а=х,-х, Пример 4.15. В координатном С пространстве Охух (в прямоугольной системе координат) заданы вершины Е А(1,2,3), В(3,0,2), С(7,4,6) треуголь- А инка (рис.4.33).
Требупгся1 а) составопь уравнение прямой Рнс.4.33 ВС; б) составить уравнение прямой, содержащей медиану АМ треугап в) найти высоту Ь треугольника, опущенную на сторону ВС . П а) Записываем уравнение (4.37) прямой, проходящей через точки В(3,0,2), С(7,4,6): х-3 у-0 2-2 х 3 у 2-2 х — 3 у х — 2 7-3 4-0 6-2 4 4 4 1 1 1 б) Находим координаты середины М стороны ВС: М(5,2,4). Составляем уравнение (4.37) прямой АМ: х-1 у-2 г — 3 х-1 у-2 г — 3 ее 5-1 2-2 4-3 4 О 1 в1 Искомую высоту Ь находим по формуле (4.35), полагая м = ВА =-2.~+ 2 7х+1 К.
Р =1 1+1 Ух+1 Ь: /16~1~9,/2б ,ГЗ 43 р+р+р 4З.4. Взаимное расположеияе прямых в пространстве Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве: — прямые скрещивающиеся, т.е. ие лежат в одной плоскости; г(хг'уг'гг) — прямые пересекаются, т.е. лежат в одной т Р 1 1 плоскости и имеют одну общую точку; — прямые параллелъные, т.е. лежат в одной Кхугв плоскости и не пересекаются; РпеА.34 — прямые совпадают. Получим признаки зтих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями х хг У Ув г гв х хг У Уг г г а~ Ьв с~ аз Ьг сг где М,(хг Ув г ), Мг(хг.уг гг) точки.
пРннадлежвлгне пРимым 18 " 1г со ответственно, а Р, =а,.!+Ь| 7х+с, Ь ° Рг =аз в+Ьг 3+сг à — напРавляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через лв=~ М =(х —,) '+(у -у ) 7п+( — ) Е вектор, соединяющий заданные точки. Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых 1, и 1г соответствуют следующие признаки: — прямые 1, и 1 скрещивающиеся ~ векторы т, Р,, Р не комлла нарны; — прямые 1, и 1 пересекаются се векторы ю, Р,, Р компланарны, векторы Р,, Р не коллинеарны; 383 Хз — Х1 Уз-У1 22-2, Ь| с, 2 Ь2 С2 (ш Рп Рз ) = Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием нх компланарности (см.
разд.1.6.2). Позтому: — прюаые 1, н 1 скрещивающиеся ~ определитель отличен от нуля; — прямые 1, и 1 пересекаются ее определитель равен нулю, а вторщ Га, Ь, с11 и третья его строки не пропорциональны, т.е. гй~ ' ' '~= 2; а, Ьк с, — прямые 1, и 1 параллельные с=ь вторал и третья строки определнСа, Ь, с1 тела пропорциональны, т.е. гя( ' ' '~=1, а первые две строки не проак Ьк ск ПОрцнаиаЛЬНЫ,т.с.
ГЕ("' "' У* У' кк *'1=2; а, Ь, с, / — прямые 1, и 1 совпадают еь все строки определители пропорцно- кс-к~ Ук-У~ кк-с| нальны, т.е. УЕ а, ь, с, — — 1. ак Ьк ск РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ Найдем расстояние с1 между параллельными прямыми, заданными ка- ноническими уравнениями (рис.4.35) — У-У, 2-зе -х, У-У, Ь 1 а Ь с а Ь, с, где Ме(хе,Уе,г ), М,(хг,У,,2,) — пРоизвсльиые точки на пРлмых 1 и 1, со ответственно, а координаты напрашппощих векторов прямых пропоршюа Ь с нальны: а, Ь| с, — прямые 1, и 12 парвшельные ~ векторы р,, р ксллинеарны, а векторы лс, р, неколлинеарны; — прямые 1, и 1 совпадают «е векторы ш, р,, р коллинеарны. Эги условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений (см. разд.1.6.2).
Напомним, что смешанное произведение век. торов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле: Искомое расстояние а( равно высоте параллелограмма, построенного на векторах р=а ~+Ь Ух+с й и т =МЬМ, =(х,-е).г+(У1-Уо) Уч+(2,-2е) й, н может быть найдено по формуле (4.35). М, х,,у,,2 Мг(хг Уг Мр(тш ур ге) Рас.4.35 Мг(хг у1 21) 1г Рка.4.36 РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ Напомним, что рассаваяяявм магич)у скраягяааюагамися ауямима называется длина их общего перпендикулара, т.е.
кратчайшее расстояние между точками этих прямых. Найдем расстояние а( между скрещивающимися прямыми, задашыми каноническими уравнениями х хг У Уг 2 2~ а, Ь с, х хг У Уг г' аз Ьг сг где М,(хг,упг,), М (г~,уг,г ) — пРоизвольные точки на пРЯмых 1, и 1 соответственно. Искомое расстояние Н равно высоте параллелепипеда (см. разя.1.6.2), ~о~трое~ного иа векгоРах Ул =М,Мг =(гг-х,) ь'+(Уг — У,) )а+(2г-гг).Я, Р1=а1 ьт+Ь, ° Уа+с, Г, Рг=аг.ьх+Ь )ч+сг.Ь (Рис436),те.
(4.38) р,,р ]= а, ь, ч — смешанное и векаа Ьа аа ] «а ч У1 У1 и ч ГЛЕ (ЯЬ,Р,Р )= а, Ь, и аа Ь 2 ~орное произведения векторов (см. разд.1.5.1-1.5.3). Как показано выше, прямые 1, и 1 скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы т, р,, р некомпланарные, т.е.
25 385 уз л ч ь, ч хО. Ь1 С~ а, в Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы р,, р неколлинеарные, т,е. [ [р,, р ][;о О, и знаменатель в проис» части (4.38) отличен от нуля. Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина <р острого угла между прямыми х — х, у-у, г — г! !! а, Ь! с, вычисляется по формуле х хг у у х гг и г аг Ьг сг [(Р! рг) а! '!э+ Ь! 'Ьг+ с! 'сг [ сов <р = ' = .
(4.39) р, ~Р*,Я «*+ .,Я ь'+.,' Пример 4.16. Найти расстояние Ы между прямой, проходящей через точки В(3,0,2), С(7,4,6), и осью абсцисс. Найти величину <р острого угла между этими прямыми. у г П Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид -=-=-, так как 1 0 0 ось проходит через точку 0(0,0,0), а !" — ее направвпощий вектор. Каноническое уравнение прямой ВС получено в примере 4. 15,"а"; х — 3 у г-2 1 1 1 Полагал юв =ОВ=(3-0) !"'+(0-0) 7+(2-0) й =3 !+0 )т+2 я, р, =1 !+О 7+О х, р =1.! +1. у+1./с, по формуле(4 38) получаем: (-.—,.—, =~ !з о г~ ~ )И гл,р,,рг)= ! о о =2, [рпрг ~= ! о о =0 г-1 /+1 Ь, ! 1 1 !!! Острый угол ф находим по формуле (4.39): 386 1(р р)~ сОаф= Р| 'Рз 1 т.е. Ф=ахссоз —.
° 13 4З.5. Взаимное расположение прямей и плоскости Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости: — прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку; — прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек; — прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
