Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 55
Текст из файла (страница 55)
уе.гс); б) ненулевой вектор К = А г + В г+С.К (рис.4.8а). иых. Матрицы А и Р называкпся также матрицами малой и долетай квадратичных форм квадратичной функции р(х). 7. Многочлены второй степени и алгебраические уравнения (неравенства) второй степени называются кеадратнчнмми (квадратными). 8. Теорема 4.1, разумеется, справедлива для прямоугольных систем югординат на плоскости. Напомним, что преобразования прямоугольных систем координат (см. разд.2.2.3) являются ортогональными (см. п.5 замечаний 2.3). Поэтому соответствующие этим преобразованиям линейные замены переменных х= э+ 8 х (см. п.1) с ортогональной матрицей 8 (8 = 8 ') называются ортахональнымн (неодиороднымн при з Ф о илн однородными при з = о ).
Далее, как правило, будут рассматриваться уравнения, записанные в прямоугольной системе координат Олух . Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку Мо(х, у„, хо) перпендикулярно вектору л . Общее уравнение ниоеноетн: А к+ В. у+ С. к+ П О, А +В +С еО, О=-Н к -В у -С к . к е к е е е' к) Рнол.а Выберем в пространстве произвольную точку М(х,у,х).
Обозначим г=ОМ= '+у у+а й, о=ОМо= о е+уо!+хо й — рл у-в вторы точек М(х, у, х) и Мо(х, уо, г ) . Точка М принадлежит заданной плоскости тогда и толью тогда, когда векторы МоМ н л перпендикулярны (рис.4.8,б). Условие ортогональности запишем при помощи скаларного произведения 1см. разд.1.6.2): (М МЯ)=0. Учитывая, что МоМ = 7- го, получаем векторное урввлвппе плоскости: (г-г,л)=0. 14.12) Это уравнение можно записать в другой форме.
Преобразуем левую часп (-., =, —. у-го,л)=(г,л) — (го,л), используя свойства скалярного произведения (см. разд142). Обозначая с=(го,л),получаемуравнение (г,л)-с=б,или (г,л)=с, 14.13) выражающее постоянство проекций на нормаль радиус-векторов точек, принадлежащих плоскости. Получим координатную форму записи векторного уравнения плоскости (4.12).
Так как г-г,=(х-х ) у+(у-уе) у+(х — х ) й, и = А.7+ В н+ С )е, по формуле 11.10) находим ( Р- ге, й ) = (х - х ). А+ (у — уо ) В+ (г - г ) С = О, или А.(х — х )+В.(у — уе)+С (г — хе)=О. (4.14) Полученное соотношение (4.14) позволяет по координатам точки ЛГ0(хо,ур,го) и коорпннатам А,В,С нормали л сразу записать искомое уравнение плоскости. Обозначив О=-А.хе — В.уе-С г, получим уравнение А.х+В.у+С э+О=О, (4.15) которое называется общим уравнением напакости. Поскольку коэффициенты А, В, С не равны нулю одновременно (зто координаты ненулевого вектора л ), уравнение (4.15) является алгебраическим уравнением первой степени, т.е.
линейным уравнением с тремя неизвестными. Следовательно, плоскость является алгебраической поверхностью первого порядка Проводя рассуждениа в обратном порядке, делаем вывод о том, что линейное уравнение (4.15) задает в координатном пространстве плоскость. Полученные выводы сделаны для прямоугольной системы координат, но, учитывая теорему 4.1 (см. разд.4.1.3), они переносятся (без изменений) и на любую аффинную систему координат. Теорема 4.2 (об алгебраической поверхности первого порядка). Всякое уравнение первой степени с тремя неизвестными задает в аффилной системе координат пхоскость, и наоборот, встгая пхоскость в любой аффикной системе координат может бьипь задана уравнением первой степени с тремя неизвестными. Другими словами, алгебраическая поверхность первого порядка есть плоскость.
Замечании 42. 1. При составлении общего уравнения плоскости нормвль выбирается неоднозначно: можно выбрать любую, отличную от нуля, длину нормааи л, а также одно из двух возможных направлений (противоположный вектор (-й) также является нормалью). Например, вместо нормали л можно звать нормаль -7 й, что соответствует умножению обеих частей уравнения (4.15) на число -7.
2. Если в общем уравнении плоскости (4.15) коэффициент при неизвестной равен нулю, то плоскость параллельна координатной оси. Например, если А = О, то плоскость (4.15) параллельна оси абсцисс Ох (рис.4.9,а); если А = В = О, то плоскость (4.15) параллельна координатным осям Ох и Оу, т.е. параллельна координатной плоскости Оху (рис.4.9,б). Если в общем уравнении плоскости (4.15) свободный член равен нулю ( Р = О ), то плоскость проходит через начало координат (рис.4.9,в). 3.
Нормаль л = А.г+ В )+С к к плоскости А.к+В.у+С.э+О=О совладает с градиентом функции у(х,у г)=А х+В у+С э+О: 350 дал,у,г) -, д~(х,у,г) -, ЭУ~х,у,г)— ах ' ау а, =А с+В )+С Е =и. В курсе математического анализа (19) доказывается, что градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в данной точке. с=с б Рис.4.9 4.Нлоскость А х+ В у+С г+Р=О разбивает пространство надва полунространства (рис.4.10): нвложителъное, координауны всех точек которого удовлетворяют неравенству А х+В.у+С.г+РВО, и внгрицатвльное, для точек которого А х+ В у+С. г+ Р < О. Нормаль В=А 1+В /+С й, у(уиложвн- Полсиительнсс псауърсстрансувс А.хсВ у+С.с+Оае ная к произвольной точке лпоскости А х+В у+С.г+Р=О, указывает на положительное волу- А.с+ В ° у+ С ° с+ О = 0 пространство (рис.4.10).
Это свойство следует нз п.З. + б. Абсолютное значение ( А х+ В у+ С г+ Р ~ пропор- Р ционально расстоянию от точки М(х, у, г) до плоскости А.ссв у+С.С+Око А х+В у+С г+Р=О, т.е. отношение расстояний от точек В11(х1,у1,г1) и м (х,у г ) до плоскости А.х+В у+с г+Р=О равно отношению Доказательство аналогично доказательству п.5 замечаний 3.2. б.
В аффинной системе координат Ое,в в линейное уравнение ~~ х, +аз ха+аз х +ас =0 задает, согласно теоРеме 4.2, плоскость. Вы- 351 воды, полученные в п.2,3,4,5, остаются справедливыми с тем лишь искал„ чением, что вектор л =а, е, +а ~+а е не является нормалью. Пример 4.5.
В координатном просгранстве Олух 1в прямоугольной системе координат) заданы точки К(1,2,3) и Е(5,0,1). Составить уравнение плоскости, перпендикуларной отрезку КБ и проходящей через его середину (рис.4.11). П Находим координаты середины М отрезка КЕ (см. п.3 замечаний 2.1 в разд.2.1.1): 11+5 2+О 3+11 М> М~ —,—,— ), т.е. М(3,1,2). Вектор ЛХ ~2' г'г,)' АЬ О У можно взять в качестве нормали к плоскости. Наладим координаты этого вектора, вычитая из координат его конца соответствующие координаты его шь Рвс.4.11 чала: КЕ=(5-1) 7+(0-2) .1+(1-3) й =4.7-2.3-2 й =К. Следовательно, уравнение (4.15) искомой плоскости имеет вид 4 х-2 у — 2.а+О=О.
Осталось найти величину свободного члена 11 . Поскольку точка М(3, 1,2) принадлежит плоскости, то ее координаты х = 3, у =1, г = 2 должны удовлетворять уравнению этой плоскости, следовательно, 4. 3-2 1-2 2+ П = О. Отсюда 17 = -б. Таким образом, искомая плоскость задается уравнением 4 х-2 у-2 х-6=0 ее 2 х-у-х-3=0. Уравнение этой прямой можно было получить в виде (4.14), подставляя координаты нормали л =4 ю -2 ~х-2 л и точки М(3,1,2): 4 (х-3) — 2 (у-1)-2 (х-2)=0. ° гасстолиик от точки до плоскости Пусть заданы: а) плоскость, описываемая общем уравнением (4.15): А х+В у+С.а+В=О; б) точка М'(х',у'д') в пространстве.
Требуется найти расстояние И от точки до плоскости. Искомое расстояние равняется длине ортогональной проекции вектора МсМ' на направление нормали л (рис.4.12) и находится по формуле п.7 в разд.1.б.2: 352 '1ре (,М,М') где Мо(хо,уо„хо) — любая точка на заданной плоскости. я=хе+о учс р Ресстаииие И ат таити М (т'.у' т') даииасиасти ь с+В у+с т+О о: ~х. '+ву'+ст'то ит+вт+ст РисА.12 Запишем правую часть в координатной форме, возражая скалярное произведение и длину через координаты векторов в=А у+В.)+С х, МоМ =(х хо)'! +(у уо)',)+(г'-хо) х (см разя.162): А +В +С Поскольку координаты точки Мо(хо,уо,хо) удовлетворяют уравнению (4.15), то А х + В ус+С х =- ЕУ. Подставляя зто выражение, получаем (4.16) Пример 4.6. В координатном пространстве Охух (в прамоугольной системе координат) заданы точки К(1,2,3) и Е(5,0,1).
Требуется найти, в каком отношении плоскость н: З.х-4 у+а-13=0 делит отрезок КЕ (рис.4.13). П Найдем значения лннейиого чстырехчлена р(х,у,х)=3 х-4. у+ +х-13 вточках К(Е2„3) и Е(5,0,1): р(1,2,3)=3 1-4 2+3-13=-15; 23 — пут 353 р(5,0,1)=3. Получили значения разных знаков. Следовательно, точки К и Ь лежат по разные сто роны от плоскости и (согласно п.4 замечаний 4.2, зги точки лежат в разных полупространствах), т.е. плоскость и действительно пересекает отрезок КЬ (в точке М на рис.4.13). Так как зтн значения по абсолютной величине пропорциональны расстояниям от точек К и Ь до плоскости л, то КМ ~ Р(1 2,3)) ~ -15 ~ 5 МЬ ~ Р(5,0,1 ~3~ 1 Этот же результат можно получить по формуле (4.16). Находим расстояния б1 и б( от точек К и Ь до плоскости н: к с )3.1-4 2+3-13 15 3.5-4 О+1 — 13 3 3г+( — 4)з+1г ~26 3г+(-4)г+1г т/26 КМ В 5 Следовательно, — =-а- =-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
