Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Заметим, что уравнениями вида х = у'(х, у) в прямоугольной системе координат Олух задаются графики функций двух переменных. Пример 4.1. Изобразить в координатном пространстве Охух 1в прямоугольной системе координат) множества точек, координаты которых удовлетворяют след)лощин уравнениям: а) х — 1=0; б) х-у =0; в) х+у =0; г) ха+уз-1=0; д) ~я~+~унт~-х-у-х=й.

П а) Уравненвю х-1= 0 удовлетворяют только те точки пространства, у которыя абсцисса равна единице (х = 1), а ординаты и аппликаты могут принимать любые значения. Эти точки принадлежат плоскости, параллельной координатной плоскости Оуг и пересекающей ось абсцисс в точке х = 1 (рис.4.1л). б) На плоскости Оху заданное уравнение определяет две пересекающиеся прямые у = хх, при этом ашликата г не входит в уравнение и поэтому может принимать любые значения.

Следовательно, заданное уравнение определяет две пересекающиеся по оси Ох плоскости, проходящие через прямые у=х и у=-х на плоскости Оху (рис.4.1,6). в) Уравнение х + у =0 равносильно системе уравнений (*=о, которая определяет прямую, совпадающую с осью аппликат (рис.4.1,в). увсА.! г) Выражение ха+уз есть квадрат рассгояния от точки (х,у,г) до ее ортогональной проекции (0,0,х) на ось Ох. Поэтому уравнению х +уэ — 1=0 (вли ха+уз =1) удовлетворяют только те точки, которые г 22 — 5350 з37 удалены от оси аппликат на расстояние, равное 1. Это множеспю точек яв ляется круговой цилиндрической поверхностью радиуса 1 (рис.4.1,г). д) Учитывая неравенства: ~х~~х, ~у~~у, ~г~йг, делаем вывод, что левая часть заданного уравнения неотрицательна и равна нулю только прн одновременном выполнении условий х > О, у ~ О, г > 0 .

Следовательно, заданное уравнение определяет множество точек первого октанта системы координат Охуг (рис.4.1,д). ° Пример 4.2. Применял цилиндрические или сферические координаты~ кюбразить множества точек, заданных в прамоугольной системе координат Охуг уравнениями: а) хг+уг г О; б) х + — 22=0; в) хг+уг+хг 1 О П а) Запишем уравнение в цилиндрической системе координат О г<рг (см. равд.2.3.2): г=гг, где гг =хг+уг. Это уравнение не зависит от полярного угла ф. При любом фиксированном значении ~р уравнение г = гг определяет параболу.

Например, при ф=-" (х=г.созД=О, у = г зшгь= г) г г ' г получаем параболу г = у в плоскости Оуг. Следовательно, описываемое множество точек можно получить, вращая параболу г = у вокруг ее оси симметрии Ог (рис.4.2,а). Получаемая при этом поверхность называется параболоидом вращения. у у х Я б в Рис.4.2 б) Запишем уравнение в цилиндрической системе координат Ог~рг (см.разд.2.3.2): г =г ~ ~г~=г (напомним,чтополарныйрадиус г>0 по определению). Это уравнение не зависит от полярного угла ~р . При любом фиксированном значении ф уравнение ~ г ~ = г определяет угол, составленный из двух лучей г = г, г = -г ( г 1 0).

Например, при ~р = г получаем два луча г = у, г = — у ( у > 0) в плоскости Оуг. Следовательно, описываемое множество точек можно получить, вращая угол вокруг оси Ог, про- 338 ходящей через вершину угла. При этом получаем коническую поверхность (рис.4.2,б). в) Запишем уравнение х +у +а -1=0 в сферической системе координат Орфф (см. разд. 2.3.3): р =1 се р=1 (напомним, что радиус р~0 по определению). Это уравнение не зависит от широты <р и долготы О.

Следовательно, это множество точек, равноудаленных от начала координат, т.е. сфера (рис.4.2,а). ° Пример 4З. В координатном пространстве Олух (в прямоугольной системе координат) отмечены точки А(0,2, О) и В(0„8,0) . Вывести уравнение геометрического места точек М, отношение расстояний от каждой из которых до двух заданных точек равно к: а) для к = 1, т.е. МВ: МА =1; б) для й = 2, т.е. МВ: МА = 2 . С) а) Точка М(х, у з) равноудалена от заданных точек. Запишем уравнение МВ = МА в координатной форме: Отсюда получаем у = аьз, т.е. у =5. Следовательно, искомое г.м.т. — зто г плоскость, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину (рис.4.3,а).

б) Запишем уравнение МВ = 2 МА в координатной форме: Рис.4.3 Возводя обе части уравнения в квадрат и приводя подобные члены, получаем З.х +3 у +3 х~-48=0 се х +у +а~=4,т.е.уравнениесферы с центром в начале координат и радиусом 4 . Заметим, что при любом положительном к и1 искомое геометрическое место точек является сферой (с(рерой Аполлония).

° и' 339 УРАВНЕНИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ И ОБЬЕДИНЕНИЙ геометгичесиих мест точек Рассмотрим основные операции с множествами точек, заданными своими уравнениями в координатном пространстве. Пусть множества Г и П в аффинной системе координат Ох х х заданы общими уравнениями г(х,,хз,х )=0 и 6(х,,хз,хз)=О соответственно. Пересечение Г П 6 множеств г и 6 состоит из точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений < Р(...,)=О, с(...'...)=о. Не трудно составить одно уравнение, равносильное этой системе, например: [Р(~,хз,хз))'+(О(х,,хз,хз))' =О.

Объединение Г06 множеств г' и 6 состоит нз точек, координаты которых удовлетворяют совокупности уравнений с (,,',)= П(...',,',)=О. равносильной одному уравнению, например: Р(~,,хз,хз) б(х,,х~,хз)=0. Вюпочение Г ~ О с алгебраической точки зрения означает, что уравнение О(х,,хз,х )=0 является следствием уравнения Г(х,,хз,хз)= О, т.е. Р(хз,хз,хз)=0 э б(х,,хз,хз)=0.

Равенство Р' =б означает, что уравнения Г(х,,хз,х )=0 и б(х,, х, х ) = 0 равносильны (эквивалентны), т.е. г(хз,хз,хз)=0 ез б(хз,хз,хз)=0. В частности, равносильные уравнения, описывающие одно и то же геометрическое место точек, получаются при тождественных алгебраических преобразованиях, например при умножении обеих частей уравнения на отличное от нуля число, при приведении подобных членов, при переносе членов из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный и т.п. Полученные соотношения, сводящие операции с множествами в пространстве к алгебраическим операциям с уравнениями этих геометрических мест точек, не зависят от выбора системы координат. Например, в прямоугольной системе координат Олух аналогичные соотношения получаем, по- 340 латая х, = х, хз = у, х = х, в цилиндрической системе координат Огтрх прн х,=г, ха=а, хз=г, в сферической Ортрб при х,=р, х =<р, к =8.

Пусть в прямоугольной системе координат Олух фигура )г определяется уравнением с е'(х,у х)=0, 4 = солзС. (4.5) 6 Упа.44 Второе уравнение системы определяет плоскость, параллельную координатной плоскости Оху . Следовательно, система (4.5) описывает множество точек фигуры е, принадлежащих плоскости с=сопят (см.

рис.4.4о), т.е. плоское сечение фиуры )г . Каждую фигуру )г, заданную уравнением е'(х, у, х) = О, можно представить как совокупность ее плоских сечений (4.5) при всех значениях постоянной (сопят). Тем самым исследование и построение пространственной фигуры сводится к исследованию и построению ее плоских сечений. В этом состоит идея метиода сечении. разумеется, можно рассматривать сечения фигуры Г плоскостями х = сопят (рис.4.4,б) вли у =сопят, параллельными координатным плоскостям Оух или Охх соответственно.

г(х,у,х)=0. (4.4) Подстаюпш в уравнение некоторое фиксированное значение х =сопят, получаем уравнение с двумя неизвестными х, у: )г(х, у, сопят) = О. Это уравнение описывает некоторое множество на координатной плоскости Оху (см. равд.3.1.1). Запишем уравнение в виде равносильной ему системы уравнений Фигура, состоящая из параллельных прямых, называется цилиндрической. Прямые называются образующими цилиндрической фигуры. Пусть в прямоугольной системе координат Охух фигура Р определяется уравнением Р(х,у)=0, (4.6) о х) о'Ео) о 0) коиичискил фиги ы Фигура, состоящая из лучей, имеющих общее начало, называется конической.

Лучи называются образующими, а их общее начало — вермшней конической фш уры. Пусть в сферической системе координат Орфй фигура К определяетсл уравнением вида (4.3): (4.7) в котором неизвестная х отсутствует. Обозначим через М множество решений этого уравнения как уравнения с двумя неизвестными х и у, а также соответствующее множество точек на координатной плоскости Оху (при х =О). Тогда вместе с любой точкой М(х,уо,О) и М уравнению (46) удовлетворяют также и все точки прямой, параллельной оси аппликат Ох и проходящей через точку М(х,уо,О).

Характеристики

Список файлов книги