Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Другими словами, во внутренних точках левая часть канонического уравнения линии меньше правой. Внешними точками по отношению к каждой из перечисленных линий назовем точки, для которых значения левой части канонического уравнения больше правой его части. На рис.3.59 внутренние точки отмечены минусом, а внешние — плюсом. Заметим, что для совпадающих прямых все точки, кроме точек, принадлежащих линни, являются внешними.
Учитывая п.9 замечаний 3.12, для уравнения 13.59) линии второго порядка в прямоугольной системе координат Оху можно сформулировать условия, равносильные определениям внугренних и внешних точек лапин. 312 Эвпшо Внзчреннне н алешине точки ( Гипербола Парабола Рно.3.59 Теерема 3.5 (о внутренних н внешпнх точках линии второго иоряака). Пустиь уравнение р(х, у) = 0 определяет веигествениую линию второго порядка, за исюяочением лары лересекаюи)шея прямых. 1. Если уравнение р(х, у) = 0 определяет злаипс, параболу ияи лару параллельных прямых, то неравенству т р(х,у)<0 (т.р(х,у)>0) удовлетворяют координаты всех внунтренних (внеииатх) точек этш линий.
2. Если уравнение р(х, у) = 0 определяет гиперболу, то неравенству д р(х,у)<0 (Ь р(х,у)>0) удовлетворяют координаты всех внутренних (виеиатх) точек гиперболы. Справедливы и обратные утвержденна В самом деле, пусть уравнение р(х, у)=0 определяет вещественную линию второго порядка, за исключением пары пересекающихся прямых. Тогда в канонической системе координат уравнение имеет вид (3.60): р(х. у ) = О, где квадратичная функция р(х, у ) получена нз квадратичной функции р(х, у) в результате умножения на отличный от нуля множитель )а и ортогональной,замены переменных (3.62).
По определению внутренние точки удовлетворяют неравенству р(х, у ) < О, которое равносильно неравенству )а р(х, у) < 0 в исходной системе координат. Если уравнение р(х,у)=0 определяет эллипс, то )аш- а, Ь>0 и т Л < 0 (см. определение вида канонического уравнения). Поэтому Р р(х,у)<0 ~ +р(х,у)<0 ео -'.р(х,у)>0 ео т р(х,у)<О.Если уравнение р(х,у)=0 определяетгиперболу,то )а=- а и 5<0. Поэтому Р'Р(х,у)<0 ею — р(х,у)<0 Фо — р(х,у)<0 ФФ д.р(х,у)<0. Если уравнение р(х, у) = 0 определяет параболу или пару параллельных прлиьтх, то )аш 1.
Поэтому )3 ° р(х,у)<0 ее» 1.р(х,у)<0 еео т р(х,у)<0. 313 Утверждения для внешних точек и обратные утверждения доказываются от противного. Замечании 316. 1. Для пары пересекающихся прямых предлагаемое определение внут. ренннх и внешних точек не годится, поскольку эта пара разбивает плоскость на "похожие" области, каждую нз которых равным образом можно считать внутренней или внешней. Например, пара пер ееекаюпптхся прямых х — уз = 0 разбивает плоскость на четыре прямых угла. т.е. на равные "чет. 2 2 верти", которые "накладываются" одна на другую при помощи поворота вокруг начала координат на угол, кратный д . 2. При выборе положительного направления оси Ох канонической системы координат Оху для параболы, заданной уравнением (3.59) вида р(х,у)=0, достаточно проверить, является ли точка М с координатамн х =1, у = 0 внутренней.
Этой точке соответствует координатный столбец (,)— х, у,) чз+з, в исходной системе координат, где з=(х„у ) — коорЪт 1г динатный столбец точки О . Вычислим значение квадратичной функции при подстановке координат з+ з,: р(х,,у,)=(з+з,)) А (з+з,)+2.а .(з+з,)+аа= =я~ А.я+2 а .я+а +я~.А з1+з1 А я+2.а з =2 а .з1, поскольку зг .
А з+ 2 а з+ а = 0 тточка О принадлежит параболе), а также А з, =о, так как з, — особый собственный вектор параболы. Из теоремы 3.5 следует, что точка М ( ОМ = 7+7 ) явпяется внутренней при условии т р(х,,у,)<0, т.е. при условии т а .з, <О . 3. Из теоремы 3.5 следует, что грюшент функции р(х,у) в точках линии уровня р(х,у)=0 направлен при т >О в сторону внешнихточекэллипса или параболы, при Ь >Π— в сторону внешних точек гиперболы, в противном случае, при т < 0 для эллипса и параболы или при Ь < 0 для гиперболы 1радиент направлен в сторону внутренних точек (рис.З.бО).
4. Линии уровня р(х, у) = сопят квадратичной функции (3.57) являются линиями второго порядка. При изменении величины параметра (сопят) меняется свободный член функции р(х, у)-сопят, однако при этом не изменяются выражения т и Ь, а, следовательно, и корни характеристического уравнения, поскольку они не зависят от свободного члена Поэтому тип линии уровня тзллиптический, гнперболический или параболический) сохраняется. Для всех центральных линий уровни р(х, у) = солят сохраняется от- 314 ношение а: Ь сторон основного прямоугольника, а также зксцевтриситет и фокальный параметр для зллнпсов, гипербол и парабол. Вид линни может измениться, поскольку выражения Ь и к зависят от свободного члена. Например, при некоторых значениях постоянной ( сопл( ) линия р(х, у) = сопле может быль вещественным зллипсом, при другвх значениях — мнимым эллипсом, а при одном значении — парой мнимых пересекающихся прямых.
Нвпревлевие трвлненте Еунлпнн р(к, у) в точнее липни уровне в(.т,у) онн т<о о т< Липпе уровне — пшерболв Люлю уровне — перебою Рне.з.бс 5. Линни уровня р(х, у)=солят заданной квадратичной функции при различных значениях параметра (сопы) имеют постоянные собственные направления, т.е. базисные векторы канонической системы координат не изменяются.
Следовательно, если линии уровня р(х, у) = сопзГ центральные, то все они имеют одну и ту же систему координат. При возрастании параметра (сопзг ) зллипсы и гиперболы измеюпотся гомотетнчно (центр гомотетии совпадает с центром линии) в направлениях, указанных на рис.3.60. Если линии уровня р(х, у) = сопзг параболические, то все они имеют одну и ту же ось абсцисс канонической системы координат. При возрастании параметра параболы перемещаются в направлениях, указанных на рис.3.60.
ЗЗ.б. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду Рассмотрим задачу приведения к каноническому виду линии второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат Олу уравнением (3.34): ап х +2.а, х у+а..у +2.а я+2.а .у+по=О. (3.70) Квадратичную функцию в левой части (3.70) обозначим р(х, у), ее матрицу и матрицу квадратичной формы, как и ранее, обозначим через Р и А соответственно. Требуется определтпь один из девяти возможных канонических видов линни (см. теорему 3.3), найти каноническую систему координат Оху, в «оторой уравнение линии имеет канонический вид, а затем построить линию в канонической и исходной системах координат. Построение, разумеется, производится только для вещественных линий.
315 АЛГОРИТМ ПРИВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ Для приведения уравнения (3.70) линии второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат Оху, к каноническому виду, нужно вы. полнить следующие дейспво1. 1. По уравнению (3.70) ливии второго порядка составить матрицу Р квадратичной функции, матрицу А квадратичной формы и столбец а коэффициентов линейной формы: аи а12 а1 ег ло е11 о12 2. Состаюпь характеристическое уравнение Лг — т.Л+ Ь = О, либо вы чисяяя его коэффициенты по формулам: с =оп+а,, Ь =, либо ан а12 ~а1 а,~ ап — Л разлагааопределитель бег(А-Л Е)= " '2 =Л -т Л+Ь.
О$2 Найти корни Л„Л (с учетом кратности) характериспгческого уравнения. он а$2 а1 а12 а22 а2 ло . Бслн Ь=А=О, то вычис- Вычислить инвариант А=беаР= лить семниввариант к = по 316 3. По таблице 3.2 определить вид аннин. 4. Занумеровать корни Л1 Лг характеристического уравнения в соответствии с правилами: а) если линия эллиптического тапа. то ~ Л1 ~ ь~Л211 б) если линия гиперболического типа, то: — при АвО: Л1 А>0 (знак Л1 совпадаетсознаком А); — при А=О: Л1 >О; в) если линия параболического типа, то Л1 = О, Л 21 О. 5. Найти взаимно ортогонааьные собственные направления 1,, 12.
соответствующие корням Л,, Л харакгеристического уравнения: а) если Л, = Л, то базисные векторы исходной системы имеют искомые направления 1, =(1 О)г, 1 =(О 1)г; б) если корни Л,,Л простые(Л, мЛ ),то для каждого корня найти ненулевое решение однородной системы уравнений (А — Л, Е) 1, = о, ;=1,2. Например, собственное направление 1 =(х уз)1 для простого корня Л2 находится как любое ненулевое решение системы или (А-Л .Е).12 =о. а 2.х+(а -Лз)'у=О 2' ' 2 Если Л, = О, то направление 1, должно удовлетворять дополнительному условию т.
а . 1, < О, в противном случае следует заменить столбец 1, на противоположный (-1, ). Нормируя полученные векторы 1, 1, определить координатные 1 1 столбцы з =. 1,, з = .1 векторов з, зз канонического базиса. 2 1 2 б. Найти координаты к„, у„начала О канонической системы коорди- нат: а) длл линий, имеющих хотя бы один центр (т.е. всех линий, за исключением параболы), найти любое решение з = (х„у 1" системы уравнений (а,з х+а .у+а =0; б) для параболы найти решение з = (х уе)" системы: с Л .з .з+з .а=О, (а+а ) з+а =О, 7.
Вычислить коэффициенты канонического уравнения: а) лля линий эллиптического типа ( б ) 0 ): (1) при т А < 0 — уравнение зллилса ф+Ц =1 с коэффициентами а =- —, й =- —; Ь 2 Ь л .ь ' л,.а ' 317 (2) при т. Ь > 0 — уравнение мнимого эллипса Ц-+~~~ = — 1 с ко. эффициентами а = —, Ь = —; 2 д 2 д »гь' Х 6' (3) при /1 = 0 — уравнение пары мнимых пересекающи»ся прямых „г ь* — + — =0 с коэффициентами а =~, Ь =Г-г, г'~ 2 / 2 б) для линни гиперболического типа ( 8 < 0): (4) при Ь е 0 — уравнение гиперболы Ц -Ц-=1 с коэффициентамна =- —, Ь = —; Ь 2 6 »г 6 (5) при /5 = 0 — уравнение пары пересекаюи/ихсп прямы» =0 с коэффициентами а =-1-, Ь =- — '; гг ьг в) для линии параболического типа ( б = 0 ): (б) при /5 гг0 — уравнение параболы (у )2 =2 р х с параметром ( ь, (7) при /5=0, к<0 — уравнение пары параллельных прямы» / й2 (у) -ь =0 с коэффициентом ьз =- — "; гг (8) при а = О, к > 0 — уравнение пары мнимы» параллельных пра/ ги 2 к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
