Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(3.5 1) Действительно, введем прямоугольвую систему координат (рис.3.45,б). Вершину О параболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокус перпеидикулярио директрисе, примем за ось абсцисс (положительиое направление иа ией от точки О к точке Р ); прямую, перпеидикуляриую оси абсцисс и проходащую через вершину параболы, примем за ось ординат (иаправлеиие иа оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольиая система координат Оху оказалась правой). Составим уравнение параболы, используя ее геометрическое определеиие, выражающее директориальиое свойство параболы. В выбраииой системе координат определяем координаты фокуса фО) и уравнение дирек- звг В самом деле, в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус г' параболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке Р', перпендикулярный директрисе и не пересекающий ее (рис.3.45,а). Тогда для произвольной точки М(г,~р), принадлежащей параболе, согласно геометрическому определению (днректориальному свойству) параболы, имеем ММ, = г .
Поскольку ММ„= р+ г соя ф, получаем уравнение параболы в координатной форме: р+г созф=г еэ г= —, Р 1-созф что н требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (О ь е <1 для эллипса, е =1 для параболы, е > 1 для гиперболы). ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПАРАМЕТРА В УРАВНЕНИИ ПАРАБОЛЫ Поясним геомемрический смысл иарамеира р в каноническом уравнении параболы. Подставляя в уравнение (3.51) х=-, получаем у = р, р г г т.е.
у=В р. Следовательно, параметр р -это половинадлины хорды параболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно оси параболы. Фекальным аарамаазрам ларабалы, так же как для эллипса и для гиперболы, называется половина длины хорды, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси (см. рис.3.45,в). Из уравнения параболы в полярных координатах при ф = з получаем г = р, т.е. параметр параболы совпадает с ее фокальным параметром. Замечании 311.
1. Параметр р параболы характеризует ее форму. Чем больше р, тем шире ветви парабоз.р . лы, чем ближе р к нулю, тем ветви параболы 2 г з.р, уже (рис.ЗА6). ~! ~2 2. Уравнение у =-2.р х (при р>0) О х определяет параболу, которая расположена слева от оси ординат (рис. 3.47,а). Это уравнение сводится к каноническому при помощи изрек з,44 менения направления оси абсписс (3.37). На рис. 3.47,а изображены заданная система коор- Ф динат Оху и каноническая Оху .
3. Уравнение (у-уо)2 = 2 р (х-хо), р >О, определяет параболу с вершиной 0 (хо, уо), ось которой параллельна оси абсцисс (рис.3.47,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение (х-х )2 = 2 р (у- у ), р > О, также определяет параболу с вершиной 0 (хо,уо), ось которой параллельна оси ординат (рис.3.47,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36) и переименования координатных осей (3.38). На рис. 3.47,6,в изображены заданные системы координат Оху и канонические системы ко- 1 Ф ординат Оху . '( †,), 2 у >о р>о р> Рис.э.47 4.
График квадратного трехчлена у =а.х +Ь.х+с, а иО, является параболой с вершиной в точке 0 (- », — » »4'а'а), ось которой параллельна за' 44 оси ординат, ветви параболы направлены вверх (при а >0)нли вниз (при а <0). Действительно, выделяяполный квадрат, получаем уравнение ( Ь ) 1 ( Ь -4 а с1 у=н х+ — — — +с с» х+ — =-. у+ 2а) 4а 2а) а~ 4а которое приводится к каноническому виду (у ) = 2 р х, где р =) 2(-~, при Ь*-4 помощи замены у = х+», х =+ (у+» »44'а).
Знак выбираетсл совпадающим со знаком старшего коэффициента а . Эта замена соответствует компо- Ь Ь2-4 а.с зицни: параллельного переноса (3.36) с х =- —, у = —, пе- с 2.а о 4.а реименования координатных осей (3.38), а в случае а < 0 еще и изменения направления координатной оси (3.37).
На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Оху и канонические системы координат 0 х у для случаев а>0 и а<0 соответственно. 285 ???.2+Ь. + 5. Ось абсцисс канониу=а х +Ь х+с чес«ой ~иста~~ координат а>0 являетсл осью симметрии У х У иарабелы, поскольку замена 0 переменной у на — у не из. Уо Уе меняет уравнения (3.51). у 0 Другими словами, коордих„х 0 хох наты точки М(х, у), принад. лежащей параболе, и коорв Ф Рис.зла динаты точки М (х, -у), симметричной точке М относительно оси абсцисс, удовлетворяют уравнению (3.51).
Оси канонической системы координат называются гневными осями иарабалы. Пример 3.22. Изобразить параболу у = 2 х в канонической системе координат Оху . Найти фокальный параметр, координаты фокуса и уравнение директрисы. П Строим параболу, учитывая ее симметрию У относительно оси абсцисс (рис.3.49). При необходимости определяем координаты некоторых точек параболы. Например, подставлял х = 2 в уравнение па- 2 х раболы, получаем у =4 е» у=х2. Следовательно, точки с координатами (2, 2), (2, — 2) принадлежат параболе.
Ряс.эжб Сравнивая заданное уравнение с каноническим (3.51), определяем фекальный параметр: р =1. Координаты фокуса хк — — — = —, уг = О, т.е. Р,, О, . Составляем уравнение директрисы х = —, 2' т.е. х=--. ° 1 а<0 ИЕЕОТОРЫЖ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЬь ПАРАБОЛЫ 1. Директориальное свойство может быль использовано как единое определение эллипса, гиперболы, параболы (см. рис.3.50): геомендтческое место точек нлоскости, дяя каждой из которых отношение расстояния до заданной точки Г ((Ьокуса) к расстояншо до заданной нряиой б (дира~- юрисы), не проходящей через заданную точку, настенино и равно эксиентриситету е, называется: а) эллиисет, если 0 < е <1; б) гииербелой, если е >1; в) нарабвиой, если е =1.
е1 сез (1чез ~ее 6 Ряс.351 287 2. Эллипс, пшербола, парабола получа1отся в сечениях кругового юнуса плоскостями (см. разд.4.4.4) и поэтому называются ел ез коническими сечениями. Это свойство также может служить геометрическим определением эллипса, гиперболы, параболы. е 3. К числу общих свойств эллипса, гиперболы и параболы можно отнести биссек- р торнаяьное свойство их касательных [14).
Под касательной к линии в некоторой ее точке К понимается предельное положение секущей КМ, когда точка М. оставаясь на рассматриваемой линии, стремится к точке К . Прямая, перпендикулярная касательной к линии и проходпцая через точку касания, на- Рис,зло зывается нормалью к этой линии. Биссекториальное свойство касательных (и нормалей) к эллипсу, гиперболе и параболе формулируется следующим образом: касазпельная (нормаль) к эллипсу или к гиббоне образует равные углы с факельными радиусами точки касания (рис.3.51,а,б); касательная (норлииь) к параболе образует равные угли с фокальным радиусом точки касания и перпендикуляром, опуитнным из нее на диртопрису (рис.3.51,в). Другими словами, касательная к эллипсу в точке К является биссектрисой внешнего угла треугольника Р1КР (а нормаль — биссектрисой внутреннего угла Р1КР треугольника); касательная к гиперболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника Р1КР (а нормаль — биссектрисой внешнего угла); касательная к параболе является биссектрисой внутреннего угла треугольника РКК, (а нормаль — биссектрисой внешнего угла).
Биссекториальное свойство касательной к параболе можно сформулировать так же, как для эллипса и пшерболы, если считать, что у параболы имеется второй фокус в бесконечно удаленной точке. 4. Из биссекторнальных свойств следуют атиичаские саайснзаа эл липса, гиперболы и параболы, поясняющие физический смысл термина "фо. кус". Представим себе поверхности, образованные вращением эллипса, ги перболы или параболы вокруг фокаяьной оси (см.
разд.4.4.2; 4.4.3; 4.4.5). Если на эти поверхности нанести отражающее покрытие, то получаются эллиптическое, гиперболическое и параболическое зеркала. Согласно закону оптики, угол падения луча света на зеркало равен углу отражения, т.е. па. дающий и отраженный лучи образуют равные углы с нормалью к поверхно.
сти, причем оба луча и ось вращения находятся в одной плоскости. Отсюда получаем следующие свойства: если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе (рис.3.52а); если источник света находится в одном вз фокусов гиперболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, расходатся так, как если бы они исходили из другого фокуса (рис.3.52,б); если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи света, отразившись от зеркала, идут параллельно фокальной оси (рис.3.52,в). 5. Диаметральное свинства эллипса, гиперболы и параболы можйо сформулировать следующим образом (14): середины нараллельных хорд эллинса (гиперболы) лежат на одной нрлмой, нроходлщей чераз центр эллипса (гинерболы); середины лараллтьнмх хорд параболы лехсат на лрямой, коллинаарной оси симметрии ларабслы.
Геометрическое место середин всех параллельных хорд эллипса (гиперболы, параболы) называот диаметрам эллииса (гииербалы, иарайелы). сопряженным к этим хордам. Это определение диаметра в узком смысле (см. пример 2.8). В разд.3.3.5 дано определение диаметра в широком смысле, где диаметром эллипса, гиперболы, параболы, а также других линий второго порядка назы- 288 иается прямая, содержащая середины всех параллельных хорд. В узком смысле диаметром эллипса является любая хорда, проходящая через его центр (рис.3.53,а); диаметром гиперболы является любая прямая, проходящая через центр гиперболы (за исюпочением асимптот), либо часть такой прямой (рис.3.53.б); диаметром параболы является любой луч, исходящий из некоторой точки параболы и коллинеарный оси симметрии (рис.3.53,в).
Два диаметра, каждый их которых делит пополам все хорды, параллельные другому диаметру, называются салряжепиммп. На рис.3.53 полужирными линиями изображены сопряженные диаметры эллипса, гиперболы, параболы. Касательную к эллипсу (гиперболе, параболе) в точке К можно определить как предельное положение параллельных секущих М,М, когда точки М, и М, оставаясь на рассматриваемой линии, стремятся к точке К . Из этого определения следует, что касательная, параллельная хордам, проходит через конец диаметра, сопряженного к этим хордам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
