Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Записываем "цепочку" систем: А х<Ь ~ А.х<Ь, полученных в п.2,3. Эти системы задают полное описание множества М решений исходной системы (считаются ее полным решением). Чтобы полу*ппъ какое-либо одно решение исходной системы, нужно взять фиксирован- Ф нос решение х =х системы А .х>Ь, подставить его в систему А.х>Ь и найти какое-либо ее решение х, = х, . Столбец (х, х,)" будет решением исходной системы (3.32). Первые два пункта алгоритма составляют прямой ход метода исюпочеиия, третий и четвертый — ебршвлмйход.
Замечании 37. 1. Прн исключении неизвестной (прямой ход) получаем следствие исходной системы: Ах>Ь ~ А .х>Ь . 2. Множество решений системы неравенств А х<Ь после исключения неизвестной х, представляет собой проекцию на ось Ох (вдоль оси Ох,) множества М решений исходной системы неравенств. Поскольку М вЂ” выпуклое многоугольное множество, то его проекция на ось представляет собой либо пустое множество (см. п.2,"а"), либо ось Ох (см. п.2,"б"), 248 либо луч (см. п.2, в, г ), либо отрезок (см.
п.2, д при Ь < — Ь ), либо точ- Р Р «у(см.п.2, д при Ь, =-Ь ). 3. При исключении неизвестной из линейно зависимы«неравенств получается неравенство вида О.х, +О х. > Д, которое либо выполняется при всех значениях неизвестных (если р< 0), либо не имеет решений (если д>0). В первом случае его можно удалить из системы, не изменив при этом множества ее решения. Во втором случае новаа система, а также исходная система не имеют решений. х,+2хз>3, х,-4х > — 3, г) х! +2х2 <1' Найти какое-либо решение.
Изобразить множество решений на коордннат- ной плоскости Ох,х . 2 4) П а) Прямой«од. 1,2. Элементы каждого столбца матрицы А = системы неравенств имеют одинаковые знаки. Такую систему упросппь нельзя. Прямой код метода исключения завершается составлением неравенства О.х > О, которому удовлетворяют любые значения неизвестной х . Обратный ход.
3. Выражаем неизвестную х, из каждого неравенства х, <3-2«2, х <3-2«2, х <- — х . 2 1 2 2 2' Первые два неравенства совладают, поэтому одно из ник можно удалить. 4. Записываем "цепочку" систем, полученных в результате прямого и обратного кода: с х, ~3 — 2хз, Ох <О. Х1 2-2Х2, Зта "цепочка" систем дает полное описание множества М решений исходной системы (см. рис.3.35л).
Проекции множества М на ось Ох (вдоль осн Ох, ) совпадает со всей осью Ох (см. п.2 замечаний 3.7). Пример 3.18. Упросппь системы неравенств: х +2« ~3, -х,+2х ~-1, а) 2«, +4хз ~6, б) 2х, — 4хз ~2, в) 2«,+х >3; х,+2х ~1; х,+22- >3, исходной системы: 2х, +4х < 6, с=а 2х,+х >3, -х — х <-5, 1 2 х — х <-1, 1 2 2х1+5хз ~11 — х,+2х ~-1. 2 Риаз 35 Найдем какое-либо решение системы. Выбирая любое решение второй системы в "цепочке", например х = 3, подставляем зто значение в первую систему "цепочки" и решаем ее: «,~3-2 3, 1«,> — 3, Следовательно, любое неотрицательное значение х, является решением исходной системы при х = 3, например, пара (1, 3) — решение исходной системы.
б) Прямой «од. 1. Составляем расширенную матрицу системы (А < Ь)= -1 2 2 -4 1 2 и выбираем первый столбец матрицы А в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исюпочаем ведущую неизвестную х,. Прибавляем к третьей строке первую, а ко второй — первую, умноженную на 2. Полученные строки записываем в матрицу (А < Ь ) (шь дексы комбинируемых строк указаны справа в скобках): (А < Ь)= 3 -1 2 2 — 4 1 2 2. Первое неравенство справедливо при любых х, и х (его можно удашпь из системы (А < Ь ) (см. п.3 замечаний 3.7)).
Второе неравенство 4 х 10 справедливо для неотрицательных значений х . Следовательно, исходная система совместна. Обрашный ход. 3. Выражаем неизвестную х, из каждого неравенства исходной системы: 250 Первые два неравенства можно заменить уравнением х, = 1+ 2х . 4. Записываем "цепочку" систем, полученных в результате прамого и сбРатного хода: < =1+ 2х, Х2 ~0' , >1-2,, Зта "цепочка" систем дает полное описание множества М решений исходной системы (см. Рис.3.35,б). Проекция множества М на ось Ох (вдоль оси Ох ) совпадает с неотрицательной частью оси Ох (см. п.2 замечаний 3.7).
Найдем какое-либо решение системы. Выбирал любое решение второй системы в "цепочке", например х = 3, подставляем это значение в первую систему "цепочки" и решаем ее х,=3+2.3, ~ х,=9, со ~ =9. х >1-2 3, (х 1-5, Получили решение (9, 3) исходной системы. в) Прямой ход. 1.
Составляем расширенную матрицу системы (А < Ь)= 1 2 1 -4 -1 2 и выбираем первый столбец матрицы А в качестве ведущего (поскольку он содержит элементы противоположньпс знаков). Исключаем ведущую неизвестную х, . Прибавляем к первой и ко второй строкам третью. Полученные строки записываем в матрицу (А < Ь ) (индексы комбинируемык строк уюгзаны справа в скобках): (А < Ь)= 1 2 „<о д / 4) (У) 1 -4 -1 2 2. Решаем полученную систему неравенств Получили единственное решение, следовательно, исходная система нера- венств совместна. -х,+2х > — 1, 2— 2х,-4х >2, сс х, + 2хз ~ 1, -3) — т > — 1 — 2х 2' х1 > 1+ 2х2 х, 11-2х .
Обратным ход. 3. Выражаем неизвестную х, из каждого неравенства исходной системы: «,+2х >3, хз — 4кз 1 -3, се — х,+2з" ~1, > 3-2х х, >-3+4х -х >1 — 2х з 4. Записываем "цепочху" систем, полученных в результате прямого н обратного хода: х, сЗ вЂ” 2х, х, ~-3+4л — х с1 — 2х, з* хз =1 Эта "цепочка" систем дает полное описание множества М решений исход. ной системы (см. рис.3.35,в). Подставим х = 1 в первую систему "цепочки": х, >3-2.1, х,>1, х, ~-3+4 1, с», >1, —,М-21, — х, с-1 сз х,=1 Следовательно, походная система имеет единственное решение (1, 1), отмеченное на рис.3.35,в точкой М.
г) Прямой ход. 1. Составляем расширенную матрицу системы — 1 — 1 — 5 1 — 1 -1 (А ) Ь)= 2 5 — 1 2 и выбираем первый столбец матрицы А в качестве ищущего (поскольку он содержит элементы противоположных знаков). Исюпочаем ведущую неизвестную х,, комбинирул строки с ведущими элементами противоположвьп знаков. Прибавляем ко второй строке первую, а к третьей строке — первую, умноженную на 2; затем прибавляем ко второй строке четвертую, а к третг ей строке — четвертую, умноженную на 2. Полученные строки записывают в матрш1у (А ) Ь ) (нндехсы комбиннруемых строк указаны справа в слойках): -1 -1 1 -1 -+(А (Ь)= (А (Ь)= 2 5 -1 2 О -2 О 3 О 1 О 9 (1,2) (13) (2,4) (3,4) 2. Решаем полученную систему неравенств: — 2х >-6, ' г— -х ~-3, ( еь х >1. Получили отрезок 1~;~ >3 оси Ох — проекцию множестве М решений исходной системы неравенств.
Следовательно, походная система неравенств совместна. Обрамиый ход. 3. Выражаем неизвестную х, из каждою неравенства исходной сжтемы: -х~ — г~ > — 5, х -х >-1, 1 г 2х +5х к11, —, +2, >-1. 4. Записываем "цепочку" систем, полученных в результате ириного и обратного хода: — х, > — 5+г"', х, к-1+л, х > — -а-х, ! г г г' -х,с-1-2 х . ' г -х 1-3, < г хг ~1.
Эта "цепочка" систем дает полное описание множества М решений исходной системы, которое представлает собой незаштрикованный четырем; уговьвнк М на рис.3.35,г. Найдем какое-либо решение исходной системы. Подставим, например, решение х = 2 второй системы "цепочки" в первую систему "цепочки": , М. /-, ~-3, х>.Е ~ х>1 Следовательно, при х =2 любое число х, из промежугка 11;31 удовлетаоркет исходной системе. Например, пара (2, 2) авваегск решением системы. ° г5з -х ~-5+2, х, >-1+2, ,> — — 2 и з хг — г г —, >-1-2.2.
З.х >1, х > — 2, г 9х >9, —.т 1 — 5+х, х, > — 1+г х, >гь-х-х, г г г' — х >-1-2.х . г' ЗЗ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ЗЗ.1. Канонические уравнении линий второго порядка хг уг 1. — + — =1 бг= уравнение эллинса; .г г 2. — + — = — 1 аг ьг уравнение мнимого эялинса; - х хг уг З. — + — =О а' уравнение нары мнимых пересекающихся нрямых; х у 4. — — — =1 аг бг уравнение еинерболы; хг уг 5.
— — =О аг дг уравнение нары нересекающихся нрямых; уравнение нарабслы; б. у =2рх Рассмотрим задачу нриведения уравнения линии второго порядка к наиболее простому (каноническому) виду. Напомним (см. разд.3.1.З), что алгебраической линией второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, которое в какой-либо аффинной системе координат Ох,х может быль задано уравнением вида р(х,,х )=(), где р(х,.х ) — многочлен второй степени двух переменных х,, х .
Требуется найти прямоугольную систему координат, в которой урал. пение линии приняло бы наиболее простой вид. Результатом решения поставленной задачи является следуюшая основная теорема. Теорема ЗЗ (классификации алгебраичесннх линий второго нерадив). Ди любой алгебраической линии второго норядка существует нрямоуеольная система координат Оху, в которой уравнение этой линии нринимает один из следующих девяти канонических видов: У у~ -Ь =0 уравнение пары параллевьных прямых; х у~+Ь~ =0 уравнение пары мнимых параллельных прямых; 9 У=О уравнение лары совпадающих прямых Ф «о+» ' У =Уо+У ' (3.36) — изменение направлений координатных осей (отражения в координатвьпс осях): В этих уравнениях а > О, Ь > О, р > О, причем а > Ь в уравнениях 1,2.
Теорема 3.3 дает аналинпвчесние определения линий второго порядка. Согласно п.2 замечаний 3.1, линии (1),(4),(5),(б),(7),(9) называются вещеснввенными (двйствиввельными), а линии (2),(3),(8) — мнимыыи. Приведем доказательство теоремы, поскольку оно фактически содержит алгоритм решения поставленной задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
