Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 41
Текст из файла (страница 41)
3. В случаях (3),(5),(7),(8),(9) лииии называются раснадаюн(имнся, поскольку соответствующие им многочлены второй степени разлагаются в произведение многочленов первой степени. Замечании 38. 1. Система координат, в которой уравнение алгебраической линии второго порядка имеет канонический вид, называется канонической. Каноничесввя система координат определяется неоднозначно.
Например, изменяя направление оси ординат на противоположное, снова получаем каноническую систему координат, так как замена переменной у на ( — у) не изменяет уравнений (1) — (9). Поэтому ориентация канонической системы координат не имеет принципиального значения, ее всегда можно сделать правой, изменив при необходимости направление оси ординат. 2. В разделе 22.3 показано, что преобразования прямоугольных систем координат на плоскости сводатся к одному из преобразований (2.9) нли (2.10): пОРядОк пРЫВедения уРАВнения линии ВТОРОГО НОРВДКа К КЛНОННЧЕСКОМР ВИДУ П усть в прямоугольной системе координат Оху алгебраическая линия второго порядка задана уравнением (3.34): агг.х +2.а,з х у+а .у +2 а,.х+2.а у+а =О. Чтобы привести уравнение к каноническому виду, нужно выполнить следующие действия.
1. Если в уравнении имеется член с произведением неизвестных ( а, м 0), то делаем поворот системы координат: з х=х созгр-у .з(пд, у=х з)п<р+у соз<р на угол гр (О«р<-"), удовлетворяющий равенству сгй 2гр= ~' ~ . При г ' з' зг этом получим "почти" приведенное уравнение линии второго порядка: Л, (х) +Л .(у) +2.а,.х+2 а у+а =О. Если а, =О, переходим к п.2, поворот системы координат делать не нужно, так как исходное уравнение имеет "почти" приведенный вид. 2.
Выполняем параллельный перенос системы координат: а) если в уравнении нет линейных членов, то переходим к п.3; б) если в уравнении имеется линейный член с какой-либо неизвест- ной и квадратичный член с этой же неизвестной, то, дополняя эти члены до полного квадрата, делаем замену, чтобы в уравнении не стало линейного члена с этой неизвестной. Например„если в уравнении Л, м 0 и а, а О, то выполняем преобразования: 3 .Ц 2.~.
'=3„.[(~ 2.Й. ' (~) ]-)„(~) =1 .(' Ь) -~.(Й), Ф ~ Ф, / а затем замену неизвестных х = х + —, у = у, после которой в уравнении ь,' / не будет линейного члена с неизвестной х; в) если в уравнении имеется только один линейный член с какой- либо неизвестной, а квадрат этой неизвестной отсутствует, то при помощи замены этой переменной надо сделать равным нулю свободный член урав- ненюг.
Например, если уравнение имеет вид Л,.(х) +2.а .у +ар -— О, аО то, выполняя замену неизвестных х = х, у = у +-Ъ, получаем уравнез.и~ ' ниебезсвободногочлена: Л,.(х ) +2.аз у =О. 263 3. Полученное в результате упрощений (п.2) уравнение имеет "почти" канонический вид 19). Для окончательного упрощения "почти" канонического уравнения при необходимости применяются следующие преобразованию а) переименование координатных осей: х = у, у =х; б) изменение направления координатной оси, например оси абсцисс: Р / Ю х =-х,у =у; в) умножение обеих частей уравнения на отличный от нуля множиг) перенос членов из одной части уравнения в другую. В результате этих преобразований уравнение приводится к каноническому виду.
Замену неизвестных, приводящую уравнение поверхности к каноническому виду, определяем как композицию всех замен, применяемых в ходе решения. Пример 3.19. В прямоугольной системе координат Оху заданы уравнения алгебраических линий второго порядка: а) х -у -4.х+б у-5=0; 2 2 б) х — 4.я+4 у+4=0; в) З.х +10 х у+3 у +8=0; г) 52.х +72.х у+73 у — 280 х — 290.у+325=0. Каждое уравнение привести к каноническому виду. Указать связь между исходной и канонической системами координат. П а) Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением 13.34), находим коэффициенты ап =1, а,з = О, а~ = -1, а, = -2, аз = 3, а = -5.
1. Поскольку а, = О, поворот системы координат делать не нувшо. 2. В уравнении имеются квадраты обеих неизвестных. Преобразуем левую часть заданного уравнения, выделяя полные квадраты: х — у -4 х+б у — 5=1г -2 2.х+2 )-2 -1у -2 3 у+3 )+3 -5= 2 2 12 21 2 (2 21 2 =(х — 2)з -(у — 3)з.
Следовательно, уравнение можно записать в виде (х-2)з -(у-3)з =О. Делая замену х =х-2, (х=х+2, нли, выражая старые координаты через новые: у =у-З, (у= +3, получаем -- -=0 — каноническое уравнение пары пересекающихся (х'У (у'У прямых (см. уравнение (5) в теореме 3.3 при а = Ь =1). В денном случае п.З алгоритма не выполняется. Осталось поменять названия координатных осей, т.е. сделать замену с / Ю х=у, „' после которой получаем -- - =1 — каноническое уравне- у =х, нне гиперболы (см. уравнение (4) в теореме 3.3 при а = 2,Ь =1). Найдем формулы перехода от исходной системы координат Оху к канонической и Ю 1х =у, Ох у .
Подставляя, „' в формулы поворота на угол ф = Л, получаем < у=х | ~~ ~ г ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ ~ а ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ л Гг " Гг х= —.у — —.х, Гг " Гг г У+г г) Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением (3.34), находим коэффициенты а =52, а, =36, агг =73, а =-140, а =-145, а =325. 1. В заданном уравнении имеется произведение неизвестных (агг =36 ФО), поэтому необходимо сделать поворот системы координат. Величину ф угла поворота находим по формуле (ЗАО): а,1-агг 52 — 73 -21 7 сгй 2ф = 2а, 236 72 24 1 гйгф 1 — гйгф 7 Так как сг82ф =, то из уравнения — = — находим тангенс 2(йф ' 2 гйф 24 искомого угла: 24 гй~ф — 14.(йф-24=0 ее гйф= — з или гйф=-з. Огра- ничению 0«р<дг удовлетворяет острый угол ф=агс(8-".
Вычисляем 1 3 г 4 созф= — = —, з(пф= 1 — ам ф= — иделаемзамену: ~1+.гф 5 5 х=2 х — у, Р з 5 у=- х+ — у, 4 ~ 3 5 5 соответствУющУю повоРотУ (3.35) на Угол ф = агсг8 з . ПолУчаем УРавнение 52 (у.х -у.у) +72 <з х — У) <З.х+э У)+73 (з'х+у У)— — 280.(2з х -ф.у)-290.<~з.х + г.у)+325=0. Раскрываем скобки и приводим подобные члены: у ~ еаьам~ Р ° '. ' .~лжи. '+з25 о 100 (х) +25 (у) — 400 х +50 у+325=0. Получили приведенное уравнение 1Ш). 2.
"Уничтожаем" линейные члены, выделяя полные квадраты: 100 (х — 2) + 25. (у + 1) — 400-25+ 325 = 0 е» 100 (х -2) +25 (у+1) -100=0. После замены ю Ю х =х-2, 1х=х +2, ' нли, выражая старые координаты через новые: у =у+1, получаем 100 (х ) +25.(у ) -100=0. 3. Переносим свободный член в правую часть и делим обе части уравнения на 100: ~,ЫХ=, Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса (см. уравнение 11) в теореме 3.3 при а =1 и Ь = 2). Однако, его коэффициенты не удовле- творяют неравенству а ~Ь.
Поэтому необходимо переименовать коорди- Ю ЮР натные оси, т.е. сделать замену „„, ' после которой получаем каноФЮ~ Ю~ ннческое уравнение эллипса -+ -=1. 22 12 Формулы перехода от исходной системы координат Оху к канониче- ской получаем как композицию преобразований прямоугольных координат, 3. ' 4. подставляя в формулы поворота 5 , 5 , выраженияпараллельно( у=-" х+з.у 5 5 Ю е (х =х +2, го переноса, „а затем — отражения „,„Первая подста1У= 1у=х. новка дает: < х=3 (х +2)+(у -1)=2+5.х +у, у=~5 (х +2)+-'.(у -1)=1+-" +-' у, вторая подстановка дает искомую связь < х=2 — з.х + з.у 5 5 3 ~~~ 4 . у=1+-.х +- у 5 5 3.32 Эллипс ФОКАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ЭЛЛИПСА (3.49) Р1М + Р2М Оаруиноьть МО=а Эвввес 1 2 б рве.ззб Эллинсаи называетсл геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой вз которых до двух заданных точек р1 и р есть величина постоянная ( 2а ), ббльшая расстояния ( 2с ) между этими заданными точками (рис.З.Зб,а).
Это геометрическое определение выражает фекальное свойство эллинга. Точки р, и р называются фокусами эллипса, расстояние между ними 2СмР1Р— фануеимтраССН1ОЛНиЕМ, Ссрсдииа О ОтрЕЗКа Р1Р2 — цвитраи эллипса, число 2а — длиной бевиной оси эллипса (соответственно, число а — балтией иолуосью эллипса). Отрезки р1М и рзМ .
соединшощие произвольную точку М эллипса с его фокусами, называкпсл фекальными рю днусами точки М . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называетсл хордой эллииса. с Отношение е =- называется экс«еюнриситенюм эллипса. Из опрев деления ( 2а > 2с ) следует, что О < е < 1. При е = О, т.е. при с = О, фокусы Р и Р, а также центр О совпадают, и эллипс является окруисностью радиуса а (рис.3.36,6). Геометрическое онределение зллинса, выражающее его факельное свойство, эквивалентно его аналитическому онределению -лини1Ь задаваемой каноническим уравнением зллинса: х у 2 — + — =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
