Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Поскольку нормаль совпадает с градиентом (см. п.3 замечаний 3.2), а градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания фунвцви, то при увеличении постоянной линни уровня (3.20) переносятся параллельно в направлении нормали. Необходимым и достаточным условием пересечения двух прямьпс (3.19) явшется условие вехсляинеарности их нормалей, ияи, что то же самое, условие непропорциональности козффнциевтов при неизвестных: (3.21) При зтом условви система уравнений 228 < А, х+В,.у+С,=О, А .х+В .у+С =0 имеет единственное решение х, уе, которое определяет точку Ма[хе,уе) пересечения прямых (3.19) (см.
[10)). Углам между дауна лрязсмзсл на плоскости называетсл угол мегкду их направляющими векторами. По зтому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополюпощнх друг друга до и. В элементарной геометрни из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина ср угла между двумя прямыми удовлетворяет условию 0 б ср б-". 12 Расз.гз Если Р, =а, с'+Ь, у и Рг =аз.с+Ь2.1 — направлаощне векторы прямых 1, и 12 соответственно (рис.3.23хс), то величина ср угла мннду зтнми прямыми вычисляетсл по формуле: (Рс Рг) лс лг+Ьс'Ьг [ай-;;[ ~~*+~,'.~~ —,.; Чтобы получить величину ср острого угла между прямыми, нулжо правую часть взять по абсолютной величине: 2+Ь2 г+Ь2 Угол ср между прамымн (3.19) мозно вычислить как угол между нх нормалями лс =Ас.с+Вс 1 и лг — — Аг.с+В2.1с (В '~) (3.22) сйпз -сйссз к., -к сйф сй(сс сс ) 1 2 ° 2 1+!ба! сяа 1+к!.к (3.23) Если правая часть (3.23) положительна, то угол ср острый (рис.3.24), в противном случае — тупой.
Чтобы получить острый угол ср, нужно правую часть (3.23) взать по абсолютной величине: Рна324 Если к = к (условие нараллельности нрямых), то ср = О. Если 1 .1 +1= 0 (условие нернендик)нярносгни нрямых), то правая часть (3.23) не определена ( сйф= ). Тогда полагают, что ср = к . Пример 3.11. Найти величину того угла, образованного прямыми 1,: 3 х — у-3=0 и 1: х-2 у+4=0, внутри которого лежит точка М(5,2). Ч тобы получить величину !р острого угла между прямыми, нуясио правую часть взать по абсолютной величине: (й,й ) А, А +В,.В ,Я+в,'.,Д+в,' ' Необходимым и достаточным условием перпендикулярности прямых (3.19) является условие ортогональности их нормалей, т.е. (й,,й ) = 0: А, Аз+В, Вз =О.
По формуле (3.22) получаем острый угол ср мелсду прямыми (3.19), если А, А + В, . В > 0 (рис.3.23,а), и тупой в противном случае: А, А +В!.Вз <О (рис.3.23,б). Другими словами, но формуле (3.22) находится тот угол между нрямыми, в котором лежат точки, нринадлежаи1ие разноименньии налулеоскоснтм, онреляемым данными нрямыми. На рис.323 положительные и отрицательные полуплоскости отмечены знаками + наив соответственно.
Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: 1,: у=1,.к+у,, 1, =сяа,, а, и з; 1: у=1 .х+у, 1 =сйаз, а ид, то угол ср между ними (один из смежных углов) находится по формуле С3 По общим уравнениям прямых находим нормапи л, =3 2-1 3, л2 =1 2 — 2.3, а также величину 1 ф угла между нормалями, используя (3.22): "1 З.м(-0(-21 3 1 и ! Соз'Р Р 4 Ф Я+( 1)1 . Р +(-2У 342 42 Л2 Подставляя кооршшаты точки М(5, 2) в левые — ° М части уравнений прямых, выясняем, каким полуплоскостям принадлежит зта точка.
Для прямой 1, имеем О Рна.3,25 3 5 — 2-3 > О, значит точка М лежит в положительной полуплоскости, определяемой прямой 1,. Для прямой 1 имеем 5-2 2+ 4 > О, значит, точка М лежит также в положительной полуплоскости, определяемой прямой 1 . Поскольку точка М принадлежит одноименным полуплоскостям (положительным), то искомый угол — зто угол 3р, смежный найденному углу ф=ф: 2у=п — ф=п-ф=ф. Приведенные рассуждения кажутся ненужными, так как положение точки М сразу же выясняется по рис.3.25. Однако, как зто было ранее отмечено (см. введение к главе 3), при аналитическом решении изображения фигур не используются, поскольку записать вывод "по рисунку видно, что..." на алгоритмическом языке невозможно. ° Пример 3.12. Составить уравнение прямой, проходящей через точку у„=1 на оси ординат и об- У разуюшей с прямой у = 2 х+1 угол 4 .
4 П Искомая прямая (с угловым коэффициентом 4 1) образует с заданной прямой 1 (с угловым коэфф Ш 32) 2р й) ф 4' 28ф=1. По Фор О муле (3.23), учитывая, что угол ~р острый, составля- Рна.3,26 ем уравнение и упрощаем его: Отсюда находим два решения й, = 3 или х =--'. Следовательно, учитывая (3.18), поставленной задаче удовлетворяют две прямые (рис.3.26) У=З х+1; или 12' У 3'х+1' Заметим, что прямые 1, и 1 взаимно перпендикулярны, поскольку выполняетсяусловие 1,4 +1=3 ( — -')+1=0.
° 231 пучки пвнмых Собственным пучком прямых на плоскости называется совокупность всех прямых плоскости, проходтцих через фиксированную точку (иентр пучка). Несобственным лучком прямых называется совокупность прямых, параллельных фиксированной прямой (центром несобственного пучка прямых считается бесконечно удаленная точка плоскости). Любые две прямые 1, и 1 определяют л 2 чвк прямых, содержащий заданные прямые / 1 1 1, и 1 . Если прямые 1, н 12 пересекаются, то а б Ввс. 2.22 точка Ме их пересечения является центром собственного пучка (рис.3.27,а).
Если 1, и 1 параллельны, то они определяют несобственный пучок параллельных прямых (рис.3.27,б). Пусть заданы уравнения двух прямых (3.19) А х+В у+С,— О, 1. А х+В у+С -О. Линейной комбинацией этих уравнений называется уравнение Л, (А, х+В,.у+С,)+Л .(А х+В у+С )=О, (3.24) где числа Л,, Л вЂ” козфгриниетиы линейной комбинации. Его можно записать в форме (Л1'А1+Лз Аз) х+1Л1 В, +Лз Вз)1 у+Л,.С, +Лз Сз =О. (325) Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда оба коэффициента при неизвестных равны нулю, т.е.
при Л, А, +Л. А =О и Л,.В, +Л В =О. Зти значения параметров Л, Лз считаются недопусти- Уравнение (3.24) называется уравнением пучка лрямььх, содержащего прямые А х+В у+С вЂ” О и А х+В у+С вЂ” О. При любых допустимых значениях параметров Л, Л уравнение (3.24) задает прямую, принадлежащую пучку, и наоборот, для любой нрлиой лучка найдутся такие значения параметров Л,,Л,, что уравнение (3.24) будет задавать эту прямую. Действительно, уравнения прямых 1, и 1 получаются из (3.24) при Л, — 1, Л = О и при Л вЂ” О, Л вЂ” 1 соответственно. 232 Если прямые 1, и 1 параллельны, то существует такое число Л е О, что А, =Л А и В, =Л В .
Тогда при любых допустимых значениях параметров Л,, Л прямая (3.25) параллельна прямой 12, так как коэффициенты при неизвестных пропорциональны: Л, А,+Лз Аз=(Л, Л+Лз) Аз, Л,.В,+Лз Вз=(Л, Л+Лз) В,. Если прямые 1, и 12 пересекаются в точке Ма(хо,уо). то любая прямая (3.24) проходит через точку М (хе, уе) пересечения прямых 1, и 1, поскольку х, ~~ в, у,+~ьх,о ~+в,.~+с,) 0 при любых значениях Л,, Л .
Осталось показать, что для любой точки М'(х', у') плоскости существуют такие значения параметров Л, Л, при которых уравнение (3.24) задает прямую 1, проходящуючерезточку М (х,у ). В самом деле, подставим координаты точки М'(х',у') в уравнение (3.24): А, (5 в, у'~с? )+А, (л *' в, у'+с,)=о. »О Это означает, что прямая (3.24) проходит через точку М*.
Отсюда опреде- Л, А х*+В у'+С вЂ” —; — ~ — — —, Р Ы Лз А,.х +В.у +С чине отношению расстояний от точки М' до прямых 1 и 1, (см. п.5 замечаний 3.2). При таком выборе параметров Л,,Л уравнение (3.24) будет задавать прямую, проходящую через точку М', т.е. прямую 1. Пример 3.13.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2 х+ у+ 4 = О, 3 х — у -1 = 0 и через точку М'(2, 3) . П Искомая прямая входит в пучок прямых, задаваемый уравнением Л, (2.х+у+4)+Л. (3 х-у — 1)=0. Подставляя координаты точки М'(2, 3), получаем: Л, (2 2+3+4)+Л (3 2 — 3 — 1)=0 е» 11 Л,+2.Л2=0 Возьмем, например, Л, = -2, Л =11 и подставим в уравнение пучка: -2 (2 х+у+4)+11.(3 х-у-1)=0 е» 29 х-13 у — 19=0. Искомое уравнение получено. ° 233 3.2.6.
Типовые задачи с примыми на плоскости СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ Разнообразие видов уравнений прямых на плоскости порождается многообразием геометрических способов задания прямых. По любому набору геометрических данных, однозначно определяющих прямую на плоскости, можно составить уравнение этой прямой, причем геометрические данные будут отражены в коэффициентах уравнения.
И наоборот, коэффициенты любого уравнения прямой имеют геометрический смысл, соответствующий способу задания прямой на плоскости. Для удобства решения типовых задач, связанных с прямымн на плоскости, все основные типы уравнений прямых и соответствующие геометрические способы задания этих прямых отражены в таблице 3.1. Примеры составления прямых по геометрическим данным, указанным в таблице 3.1, разбирались в разд.3.2.1 — 3.2.4. Рассмотрим примеры нахождения уравнений прямых, заданных как геометрические места точек. Пример 3.14.
По сторонам ОА и ОВ 3 равнобедренного треугольника ОАВ (ОА=ОВ) перемещаются точки А, н В, так, в, что ОА, = ВВ, (рис.3.28). Найти геометриче- М скос место точек М вЂ” середин отрезков А,В, . П Введем аффинную систему координат О А, О А х, Ое, е с базисвыми векторами е, = ОА и т Рва.3.2В е = ОВ (рис.3.28).
Вершины А и В треугольника имеют координаты А(1,0), В(0, 1), а точки А, и В, — координаты А,(т,0), Вт(0,1 — г), где т — параметр, принимающий значения Оэгэ1 (т = — '). ол, ч Середина М отрезка А В, имеет координаты М('+с, о+т '), т.е. М~ы, М. Это означает, что при изменении параметра т координаты точки З' 2 М изменяются по закону х =-т 1 Получили параметрическое уравнение прямой. Поскольку т изменяется в пределах Оэт<1, то лри т — 0 х — О, з — —, точка М(0,-) совпадает с серединой С стороны ОВ; при г=1 х, =-', х =О, точка М(-',О) совпа- дает с серединой В стороны ОА .
Позтому искомое геометрическое место точек — отрезок СЭ, а именно средняя линия треугольника ОАВ, парал- лельная стороне АВ. ° Т а б я в ц а 3.1. Основные твпы ураввевпй прямых ва пяасностп Уравнение Способ задання прямой Я.«+В у+СМ, г+ г О ОВЩсе уравпе. ппе прямой «=.«о+а г. у-у,+Ь.г. Параметрнче. скос урюнсппе прямой гав; я+э а См. параметрнчсское уравненне каноническое уравненяе й См. пврамстрнческое урзвненне «-« у-у о о о Ь ':л. — з"яг Ч«о уз уз — +— «у У~ «Фо. У~со Уравнение прямой "в атреиах" Уравнен не с упговым каэффвцнен- у Ь'-г+уо Пример 3.15. Найти геометрическое место точек плоскости, разность квадратов расстояний от каждой из которых до двух заданных точек плоскости постоянна (равна с ).
П Пусть А и  — заданные точки. Введем прямоугольную систему координат Оху (рнс.3.29): начало координат О совпадает с серединой отрезка АВ, ось абсцисс совпадает с прямой .4В (направление на оси абсцисс выберем от точки А к точке В, т.е. 1 Г( АВ ), тогда ось ординат совпадает Уравневне прямой. проходящей через две Прямая проходит через та'"У мо("о Уо) перпендн кунар но вектору я агу+в у«(рнс.зл«г) Прямая проходит через то ку М,(,.у,) ковяннеарно векгару р=оо'+ь / (Рнс.3.13) Прямая прохощот через тачкн "(о(«о уо) гг м («, у ) (рнс.3.18) Прям и отсекает на коардпнатных осях "отреэкп" «, н у, нс.3.19 Прямая проходит через точку (о, у,) на осн Оу набразуст)тоя а а паяопнтеяьным нвправяенпем осн '0« пс.3.21,О Коэффпцпевты я, в— каордннаты нармаян я Яо'+В); авободный член с -я. -ву о 'о Коэффвцненты а, Ь— касрднюпьг ваправяюощста в ктора р= гуоь); «, у — КООРДННВТЫ ТОЧЕН М (,,уо) р мвд ямой Коэффяцнепты «„уо н «,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
