Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 33
Текст из файла (страница 33)
— хг) 7. Многочлены второй степени и алгебраические уравнения (неравенства) второй степени называются квадрагиичнмми (каадрашныни). 8. Линии, задаваемые системой алгебраических уравнений и неравенств, называются иалуалгебраическими. Например, уравнение у = ~ х ~ задает на координатной плоскости Оху полуалгебраическую линию: с у-х =О, увО. 9.
Теорема 3.1, разумеется, справедлива для прямоугольных систем координат на плоскости. Напомним, по преобразовании прямоугольных систем координат (см. равд.2.2.3) аввпотсл ортогональными (см. п.5 замечаний 2.3). Поэтому соответствующие этим 'преобразованюгм линейные замены переменных х = в+ Я х (см. п.1) с ортогональной матрицей Я (Я =Я ') называются вртвгональными (неоднородными при зло или однородными при з = о ). Далее, как правило, будут рассматриваться уравнения, записанные в прямоугольной системе координат Оху . 208 3.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ) 3.2.1.
Уравнении примой, преходящей через заданную течку иериеидикулярне заданному вектору ОВП(иж УРЯВНИИИж Ш ЯМОЙ Ненулевой вектор л, перпендикулярный заданной прямой, называется кормленным анку«ором (нли, короче, нормальао) для этой прямой. Пусть на координатной плоскости Оху (в прямоугольной системе координат) заданы: а)точка М (х,у ); б) ненулевой вектор л = А 5+В у (рис.3.5,а). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку Мо(хо, УО) пеРпендикУлЯРно вектоРУ л .
Внпорн4« ураанение промой: (' Уе Я 45 Общее ураанепие примой: 45а+В у+С=О, 455+Ва ЕО С=-а «4-В'уе ' +В ут +В Выберем на плоскости произвольнуто точку М(х,у). Обозначим У = ОМ = х.а + у-), го = ОМО =х .5+ уе,у — радиус-векторы точек М(х,у) н МО(хе,у ). Точка М прннадлеиит заданной прямой тогда н только тогда, когда векторы МОМ и л перпендикуларны (рнс.3.5,6).
Условие ортогональности запишем при помощи скалярного произведения (см. разд.1.62): (М М,л )=О. Учитывая, что М М = г — ге, получаем аакиюарное урааиенне «рамой: (у УО «)мО ' (3.5) М вЂ” 5150 Это уравнение можно записать в другой форме. Преобразуем левую часть ( о о г-го,й)=(г,л)-(го,л), используя свойства скалярного произведения (см. равд 1 4 2). Обозначая с = (йо,й), получаем уравнение (г,л)-с = 0 или (г,й)=с, (З.б) выражающее постоянство проекций на нормаль л радиус-векторов точек, принадлежащих прямой.
Получим координатную форму записи векторного уравнения прямой (3.5). Так как г-го =(х — х ).7+(У-Уо) т, й=А 7+В )', по фоРмУле (1.9) находим (г-ро,л)=(х-х ) А+(У-Уо) В=О или А (х — х )+В (у-уо)=О. (3.7) Полученное соотношение (3.7) позволяет по координатам точки Мо(хо, уо) и координатам А . В нормали й записать уравнение прямой без промежуточных вычислений. Обозначив С = -А хо — В уо, получим уравнение (3.8) А х+В у+С=О, которое называется общим уравнением нрямой на плоскости. Поскольку козффициенты А и В не равны нулю одновременно (зто координаты ненулевого вектора л ), уравнение (3.8) является алгебраическим уравнением первой степени, т.е. линейным уравнением с двумя неизвестными.
Следовательно, прямая является алгебраической линией первого порядка. Проводя рассуждения в обратном порядке, делаем вывод о том, что линейное уравнение (3.8) задает на координатной плоскости прямую. Полученные выводы сделаны для прямоугольной системы координат, но, учитывая теорему 3.1 (см. разд.3.1.3), они переносятся (без изменений) и на любую аффинную систему координат. Теорема 3.2 (еб алгебраической линии первого перлина).
Всякое уравнение лервой отвлеки с двумя неизвестными задает в аффинной системе координат лрямую, и наоборот, всякая лрямая в любой аффинной системе координат может бьинь задана уравнением лервой степени с двумя неизвестными. Другими словами, алгебраическая ливия лервого лорядка есть примоя.
Замечании 32. 1. При составлении общего уравнения прямой нормаль выбирается неоднозначно: можно выбрать любую, отличную от нуля, длину нормали л, а также одно нз двух возможных направлений (протнвоположный вектор (- -й) также является нормалью). Например, вмесю нормали л можно взять нормаль -7 л, что соответствует умножению обеих частей уравнения (3.8) на число -7.
гю ставим значение многочлена р(х, у) в произвольной точке М'(х', у') плоскости в виде скалярного произведения: р(',у') р~ ',у') — р(~,у ) А *' В.у' с-(А В у сь -ь (*'-*,) в ~а'-э)-(им'.~)-~ми'~(ю) ю. где л=(А В)г — ноРмааькпРЯмой А.х+В.У+С=О; Ме(хе,Уе) — точка, принадлежащая этой прямой. Знак выражения р(х, у) определяется величиной угла ф между нормалью л и вектором МеМ'.
Например, для точки М,(х,,у,) угол ф, острый (рис.3.7,б), поэтому р(х,,у,)>0, а для точки М (х,у ) угол ф тулой (рис.3.7,6), поэтому р(~,у )<О. Следовательно, координаты любой точки М'(х',у'), принадлежащей поаувлоскостн, на которую указывает нормаль, удовлетвопяют неравенству А х'+В.у'+С>0, а координаты точек М'(х',у*) другой полуплоскости — неравенству А.х +В у +С<0.
+В.у ентейьиэя пеяуазссаесть лс +в г+сяе Рнсл.7 е 5. Абсолютное значение ~ А я+В.у+С) пропорционально расстоянию от точки М(х у) до прямой А. х+ В. у+ С = О, т е. отношение расстояний от точек М,(х,,у,) и Мз(хз,уз) до прямой А х+В у+С=О равно А.х +В у +С отношению +В у +С Действительно, в п.3 получено представление значений лннейного трекчлена р(х,у) = А х+ В. у+ С в виде скалярного пронзведени, которое 212 можно выразить через алгебраическое значение длины ортогональной про- екции (см. раздЛ.4.1): р(х', у') = ( М М ', и ) = лр- МеМ ' ! й ! . Запишем отношение значений линейного трехчлена р(х, у) для двух точек р(х,у) лрлМ М, !й! лр„-М„М, 2' Уз лрл ОМз '! ! лРл ОМ2 вал МеМ р~~~а расстоянию от точки М до прямой, получаем искомое отношение "РяМеМ1~ !Р(х,,у,)! )А х,+В у +С! р-о ~~ ) ~р~„» $~ (~ * 8 м ~) 6. В аффинной сисгеме координат Ое,7 линейное уравнение а,.
х, +а . х + а = 0 задает, согласно теореме 3.2, прямую. Выводы, полученные в п.2,3А5, остаются справедливыми с тем лишь исюпочением, что вектор й = а е, + а е не валяется нормалью. Пример 35. На координатной плоскости Оху (в прамоугольной системе координат) заданы точки К(1,2) и 1.(5,0). Составить уравнение серединного перпендикуляра к отрезку КХ, (рис.3.8).
С) Серединный перпендикуляр, по определению, проходит перпендикулярно отрезку К1, через у его середину. Находим координаты середним М отрезка КХ (см. п.3 замечанвй 2.1 в разд.2.1.1): х 11+5 2+01 М! —,— ~, т.е. М(3,1). Вектор КС можно О Е 2 2 взять в качестве нормали для серединного перпендикуляра Находим координаты этого вектора, вычитая из координат его конца соответствующие координаты его начала: КЕ= — = = =л. Следовательно, уравнение (3.8) искомой прямой имеет вид 4 х-2.у+С=О. Осталось найти величину свободного члена С. Поскольку точка М(3,1) принадлежит прямой, то ее коордвввты х = 3, у =1 должны удовлетворять уравнению этой прямой, следовательно, 4. 3-2 1+ С = 0.
Отсюда С = -10. ыз Таким образом, серединный перпендикуляр задается уравнением 4.х — 2 у-10=0 ео 2.х — у-5=0. Уравнение зтой прямой можно было получить в виде 13.7), подставляя коордивнтынормали л=(4 -2)г иточки М(3,1): 4 (х — 3)-2 (у-1)мО. Решение задачи получено аналитически без использования графического изображения 1рис.3.8).
Чертеж в аналитической геометрии служит, как правило, лишь илшострацией к решению. ° Расстояния от точки до прямой Пусть заданы: а) прямая, описываемая общим уравнением 13.8): А. х+ В. у+ С = 0; б) точка М (х,у ) на плоскости. Требуется найти расстояние т1 от точки до прямой. Искомое расстояние равняется длине ортогональной проекции вектора М„М' на направление нормали л 1рис.3.9): гле Мо(хо, уо ) — любая точка на заавиной прямой. (х,у ) Рясспмиие 4 отточия и (я,у ) ло прямой я я+в у+см: ~и ~ят ~с~ ~ХР А.
т'+ В. 7т Рис.зн Запишем правую часть в координатной форме, выражая скалярное произведение и длину через координаты векторов и =(А В)г, М М =(х -х у -уо)г,1см.разд.1.6.2): Н— З/Аз+ Вз ПосколькУ кооРдиназы точки Мо(хо, Уо ) УдовлетвоРЯют УРавневию 13.8), то А х + В у„= — С . Подставляя зто выражение, получаем 214 А х +В.у'+С 1~ А+Вг (3.9) Пример 3.6. На координатной плоскости Огу (в прямоугольной системе координат) заданы точки К(1,2) и 1(5,0). Требуется найти, в каком отношении прямая т: 3 х — 4 у-10=0 делитотрезок КГ,. П Найдем значения линейного трехчлена р(х,у)=3 х-4.у-10 в точках К(1,2) и 1.(5,0): У К р(1,2)=3 1-4.2-10=-15; р(5,0)=5. Получили В М В значения разных знаков.
Следовательно, точки К и г х Ь лежат по разные стороны от прямой л( (согласно л( п.4 замечаний 3.2, зги точки лежат в разных полуРвс.3.10 плоскостях), т.е. прямая л( действительно пересекает отрезок КЬ (в точке М на рис.3.10). Так как эти значения по абсолклиой величине пропорциональны расстояниям от точек К и Ь до прямой ш, то КМ р(1,2) ) -15 ~ 3 МЬ ГГр(55,0)) ) 5~ 1 Этот же результат можно получить по формуле (3.9).
Находим расстояние (1к и (( от точек К и Ь до прямой (и: 3 1-4.2-10 15 3 5-4.0-10 5 (Х = = — =3' (г = = =1. ,/з' (-~1 ~,/з'+(-Ц' КМ ~(к 3 Следовательно, — = к =-. ° МЬ с( 1 'НОРМИРОВАННОЕ 'УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ А В С .х+ — р= ' у+ =О, +т~Аг+Вг + (Аг+ Вг + /Аг+Вг г15 Преобразуем общее уравнение прямой А х+В у+С=О следующим образом. Если свободный член С < О, то разделим обе части на длину нормали Я=~А +Вг, а если С~О, то разделим на -1л~= — /А+В Получим уравнение в котором свободный член —, Й, в силу описанного выбора знака, непов~дг+вг ' ложительный. Обозначим его через -р = — г 'и= . Коэффипиевты при не- г 1 известных явлвются координатами единичного вектора —.
н или Я ! — — н, и равны направляющим косинусам (см. равд.1.3.5, а также п.9 в М равд.1.6.2): А В сова = Вы +,~ Аз+ В' +,( А'+ В* Тогда уравнение принимает вид х сова+у совр-р=О, реО, и называется иормироеаииыи уравнением ирямой.
(3.10) =Р р 2. Нормированное уравнение прямой (3.10) можно записать в виде (3.7): (г,н)=р, если в качестве нормали и выбрать единичный вектор й=сова.г+совр! 3, так как х сова+у.совр=(г,й). Из двух возможных единичных нормалей условию р > 0 отвеНоринрованное уравнение нрвиоа: чает нормаль й, направленная к прямой о+У а Р е ° Рве (рис.3.11), если вектор н приложить к начапу координат. При выборе проппюпо- М(х, у) ложного вектора ( — й) получилось бы отрицательное значение р, которое не допускай ется в уравнении (3.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
