Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 29
Текст из файла (страница 29)
183 Система вехторов называется оро»оиор»»ирооаааой, если все векторы системы попарно ортогональны и их длины равны единице. Покажем, например, что стандартный базис (2.23) (см. разд.2.4.1) — ор- тонормированный. Действительно, длина каждого вектора стандартного ба- зиса равна единице, например, ),)-Д...О=/4+о о+., 0 о=1, а угол между разными векторами стандартного базиса ранен ф, например, угол <р между векторами е, и е: (е,,ез) 1 О+0.1+О О+...+О 0 и созе= — п»з з~= " =О, те. ~р=-. Поэтому стандартную систему координат Ох, х„называют нрн»»о.)чая»ной. л-МЕРНЫЙ ОВИЕИТИРОВАННЫй ОБЪЕМ Введем по индукции понятие ориентированных объемов параллелепипедов в пространствах р, лз, лз,..., л".
Пуси а,,аз,...,а„— линейно независимая система векторов лмерного пространства й" . Множество точек Р, радиус-вектор ОР которых удовлетворяет условиям ОР=х,.а, +х .а +...+х .а, Оъх, ъ1, ОЕх Е1,..., О~х„ь1, называется а -мерным нараааелонаиедом, построенным на векторах а,,а,...,а„, и обозначается №а,,а,...,а„. Например, одномерньй параллелепипед №а, в пространстве й — зто отрезок числовой оси Ох; двумерный параллелепипед №а,,а в пространстве л~ — это параллелограмм на координатной плоскости Ох,х, трехмерный параллелепипед №а,,а,а в пространстве й — зто параллелепипед в координатном пространстве Ох,х т .
3 Обозначим: У", =а, — одномерный ориентированный объем, определяемый вектором (числом) а, нз пространства л; аы У»»» =а, ~аз = ' ' ~ — д~у~~р~~й ориентированный объем, опреде- 2! 22~ ляемый ориентированной площадью параллелограмма №а,,а, постро- 2 енного на векторах а, = ", а = пространства й (см. ~а ! 3 ~а ! равд.1.5.3); а31 а33 а)3 У"... =а,ла ла = а, а, а а33 32 аЗЗ трехмерный ориентированный объем, т.е. ориентированный обьем параллелепипеда №а,,аз,а, по строенного на векторах а, = ва Ю (см. разд.1.5.3); а,„ " а =а,ла л...ла„= — н -мерный ориен3иироеанный объем нереллеяенииеда №а,,...,а„, построенного на векторах Заметим, что н -мерный объем параллелепипеда (неориентированный) равен !"".! Замечании 3.12.
1. Скалярное произведение векторов прос3раиства М' можно определить следующим образом: (х,у)=х .0 у, где б — любая симметрическая положительно определенная матрица и-го порядка 18,10,15). Х Ориентированный объем и -мерного симплекса ОА,А ..А„в В" находится по формуле (40): ап аи "' аы аж аы '" аз» 1 1 У,"„„я = —.(а ла л...ла„)= —.
а„, аез ." а„„ =( ) =( -( а неориентированный — равен ~ 'гс"4 Пример 2.14. В пространстве к~ даны радиус-век!оры 1 1 1 1 О 1 О О а = а! = аз 4 1 1 1 О 1 ! ОА а а +аз+аз+а4 — + + + 4 О О О О О у) )-ззз*+з*+о' ° з-зГ-,/зт. б) По определению находим четырехмерный ориентированный объем а1' 2' 3' 4' 1 ! ! ! зз о1! г««,« „Ь„=а1~за2~1аз~за4= О О 1 ! о о о -! Следовательно, четырехмерный объем равен ~ У«",, ~ = ~ -1~ = 1.
в) Согласно п.2 замечаний 2.12, находим ориентированный объем симплекса ОА,А А А: 1 1 „1 О4,4*4,4о 41 «о«,,о«,,о«,,м, 4! «оз,оз,оз,«о 24 ' Поскольку искомый обьем (неориентированный) есть величина неотрица- 1 тельнал то 'ол,«г4,4, 2,1 186 точек А,, А,А, А4 соответственно.
Требуетсл найти: а) длину диагонали ОА = а = а + а + а + а4 ПараЛЛЕЛепипЕда №а1,аз,аз,а4, постРоенного на векторах а,, аз, аз, а4 ! б) четырехмерный объем параллелепипеда №а,,а,а,а4., в) объем четырехмерного симплекса ОА,А А А; П а) Находим вектор 2.4.4. Преобразования координат ЛИНЕЙНЫЕ НЕВЫРОЖДЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ Пусть в пространстве заданы две аффинные системы координат, т.е. каждой точке Х поставлены в соответствие два упорядоченных набора и Р Ф дейсгвнтелъных чисел х,, х,..., х„(старые координаты) н х,, х,..., х„(но- вые координаты).
Выражении старых координат через новые имеют вид лппейпмх певмрождеппых преобразований кеердшиип (см. равд.2.2.2): Х ча1+ЗП Х +...+З1„.Х„, х=з+8 х, х„=з„+зы х,+...+з„„х„, (2.27) (2.28) НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ Пусть в пространстве заданы две системы координат, т.е.
каждой точке Х поставлены в соответствие два упорядоченных набора л действи- Ф Ф Р тельных чисел х,,х,...,х„(старые координаты) и х,,х,...,х„(новые координаты), причем известны выражения старых координат через новые: 187 где б — невырожденная матрица (матрица перехода от базиса старой системы координат Ох, х„к базису новой системы координат Ох, х„), а з = 00 — вектор переноса начала координат, х и х — координатные столбцы радиус-векторов одной н той же точки Х(х,,...,х„) и Х(х,,...,х„) в соответствующих системах координат. Координаты вектора Х»Х, или Ьх = х — хе, в старом базисе выражаются через координаты этого же вектора Ах = х -х в новом базисе по формуле (см. равд.2.2.1): ЬХ =ЗП ЬХ +...+З1„Ы„, с-.» Ах=Я Ьх .
в ~! 1 "' й~ й' Аналогично случаю аффинного преобразования координат "обычного" пространства (Д~) определитель матрицы 8 равен отношению и-мерных ориентированных объемов параллелепипедов, построенных на базисных векторах новой и старой систем координат, а модуль определителя равен кезф4пцпапп»у псхпжеппя одъапее при аффинном преобразовании (см. свойство 3 в равд.2.2.1 и свойство 4 аффиннык преобразований пространства в разд.2.2.4). Коэффициент искажения объема ~ бег 8 ~ при аффинном преобразовании координат одинаков для всех точек пространства. х, = й1(х,,....х„), оь х=й(х), х„= Ю„(х„....х„), (2.29) 1~ г1 где я,(х,,...,х„1, 1=1,...,и — непрерывно дифференцируемые функции; й,(,'-.
„)1 йч(х„...,х„)! в(')= — столбец заданных функций; х и х — коор- динатные столбцы радиус-векторов точки Х в старой и новой системах ко- ординат. ай,(х') а~ ( х) ай„(х') ай„(х') х, =~(х,,...,х„), еь х =у(х), -:=~.( -.-.). (2.30) 188 рацу частных ироизводных первого иорядка заданных функций (матрицу (ах1 злкоби иреобразоеании (2.29)). Определитель без~ — т! матрицы Якоби на~дя ! зыввется якобианаи иреобразвванни координат. Точки, где якобиан преобразования равен нулю или не существует, называются особыми, а остальные точки называкпся иеособыма. По теореме об обратном преобразовании [23): если задано иреобразоваиие координат (2.29): х=й(х), выражающее старые координаты х1,..., х„щюизеольной точки Х и М" через новые х1,..., х„, иричем хе = 8(хц) дли некотоРой фиксиРоеанной точки Хе Е М", и Якобиаи иРеобГах1 Р Ф разоваиии йе1~ —, в этой точке Х (ири х = х ) отличен от нуле, то в 1~а '~ е досииииочно малой окрестности точки Х„можно выразить новые координаты х,,..., х„через сикзрые: (д 1 обрантого нреобразования будет обратной для матрицы ~ — т) ~дх ! «а Ф Поясним зто утверждение.
Пусть х„, х„— координатные столбцы радиус-векторов точки Х„в старой и новой системах координат, причем яко- (дЛ биан преобразования б ~ в этой точке Х„отличен от нуля. Разло~дх ~~, «о жнм функцию 8(х ) в ряд Тейлора в окрестности точки Х„, оставляя члены толью первого порядка. Получим вырвкение приращения ах = х-хе ста- Ф / Ф рыл координат через приращение Ах = х -х новых координат: (2.31) нли в координатной форме дя„(х) ~, д8„(х) ~ 1 «В « д Формула (2.31) представляет собой локальное иреабразоваиие координат в окрестности точки Х„с учетом членов только первого порядка.
Сравнивал (2.31) с формулами (2.28), делаем вывод: в окрестности точки Х„старые локальные координаты Ьх=х-х и новые локальные координаты Ьх =х — х вектора Х Х преобразуются так же, как при аффинном ('д 1 преобразовании (2.28) с матрицей 8 = — т — матрнцей Якоби, вычис~дх), ленной в точке Х„(при х =хе).
1ВЗ Ф / (дх1 нричси х =~~х ). Матрица Якоби о 11. ~д ! «« ду( ) д) (х) ддх, дх„ дУ„'(х) дУ„'( ) д, " д«„ Другими словами, преобразование координат (2.29) в окреспюсти неособой точки Х можно рассматривать как переход от одной аффинной системы координат к другой, т.е. локальное преобразование координат является иевырожденным линейным преобразованием координат (2.28). Аффинное преобразование координат, как известно, обратимо и матрипл < дх )[ (дх) — обратного перехода является обратной для — т (см.
свойства д Я ~д ), ~е матрицы перехода от одного базиса к другому в разд.2.2.1). При этом модуль якобиана равен коэффициенту искаженна обьемов (в окрестности рассматриваемой точки Хе ) [40]. В отличие от аффинных преобразований коэффициент искажения объемов при нелинейных преобразованнах, вообще говоря, меняется в зависимости от точки Хе . Пример 2.15. На плоскости в прямоугольной системе координат Оху отмечена точка Д(1,0) и введена система координат, в которой положение произвольной точки М задается двумя углами «р, «[«. Оба угла отсчитываются от оси абсцисс в положительном направлении (против движения часовой стрелки) до вектора ОМ и вектора ОМ соответственно (рис.2.39,а), причем диапазоны изменения углов ф, «у выбираются как в полярной системе координат: -л<«р<н, -н<«у~н (допустимые значения углов «р,«[« изображены на рис.2.39,б (два запприхованных треугольника), где уч«сны очевидные неравенства ф<«у для точек, принадлежащих 1 и Н четвертям, и «р>«у -для точек в Ш и Лг четвертях).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
