Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 25
Текст из файла (страница 25)
При сжатии параллельные хорды окружности преобразуются в параллельные хорды зл- 159 липса, а диаметр А,В, окружности преобразуется в диаметр А В, эллипса. Поскольку середина любого отрезка при аффинном преобразовании переходит в середину образа этого отрезка, то диаметр А В, будет делить пополам все хорды эллипса, параллельные диаметру А В .
Существование диаметра с указанными свойствами доказано. Бдинственность следует из единственности перпендикулярного к АВ диаметра А,В, окружности. Конечно, перпендикулярность диаметров АВ и А,В, окружности, вообще говоря, не сохраняется для диаметров А В и А,В, эллипса, так как при сжатии плоскости углы, в общем случае, изменяются. Аналогично можно показать, что для данного диаметра А,В, существует единственный диаметр А В, который делит пополам все хорды, параллельные А,В, .
Два диаметра, каждый нз которых делит пополам хорды, параллельные другому диаметру, называются Ф сопряженными. В данном случае сопряженными являются диаметры А В и А,В, . Заметим, что описанное свойство очевидно для взаимно перпендикулярных диаметров окружности: любые два взаимно перпендикулярных диаметра окружностиявюпотся сопряженными, например АВ и А,В,. б) Выберем диаметр АВ зллнпса, перпендикулярный прямой. 1 (рис.2.2б,в). Этот диаметр является образом диаметра АВ окружности, который также перпендикулярен прямой 1.
Диаметр А,В, окружности, перпендикулярный, а значит, сопряженный (см. п."а"), диаметру АВ, лежит на прямой 1. Поскольку все точки прямой 1 при сжатии к ней отображаются в себя, то диаметр А,В, окружности является также диаметром эллипса (см.п."а"), сопряженным для А В . Таким образом, диаметры А В н А В, эллипса взаимно перпендикулярны. ° АФФВННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА Пусть в пространстве фиксирована аффииная система координат Ое,е е . Преобразование И пространства называется аффилиым, если координаты у,,у,у образа У выражаются через координаты х,,хг,х прообраза Х (У =се(Х)) по формулам: < у,=а,+ац х,+а, хг+азг хг, Уг аг+аж'х +аж 'хг+пгз 'хз ' нлн У Зг+ А Д, (2.16) (3) (я) (х) (х) УЗ ПЗ ОЗ! ХЗ П32 2 33 3 ' аи а32 агз а, а а — невырожденная матрица (матрица аффннного 1231 1232 1233 где ~= ') нрео брезе вал ил), ' (-) — координатные столбцы образа У и прообраза Х (координатные столбцы радиус-векгоров ОУ и ОХ ) соответственно, а = Ю вЂ” координатный столбец образа начала 161 11 — 5150 координат, нли векнюра нереноса начала координат.
В формиулак аффинного нреойразования (2.16) подчеркивается зависимость матрицы преобразовании и координат векторов от выбранной системы координат. Обозначение системы координат в (2.16) будем опускать, если понятно, в какой системе координат задано преобразование. Аффинное преобразование пространства, так же как аффинное преобразование плоскости, можно задать несколькими способами. При лервом снособе (по определению) нужно зафиксировать в пространстве аффинную систему координат Ое, е е и задать невырожденную матрицу А и столбец а в (2.16).
При втором способе нужно взять две аффинные системы координат Ое,е е, О е,е е и определить аффннное преобразование ог, поставив в соответствие каждой точке Х такую точку Х =от(Х), координаты кото- Р рой относительно системы координат О е, е е совпадают с координатами точки Х в системе координат Ое, е е . Говорят, что аффинное преобразование Я задается неракодом ти одной аффинной системы координат Р Ф О е5 ег ез к Фу й О е1 е е .
Третий снособ — задание образов четырех точек, не лежащих в одной плоскости, а именно существует единственное аффинное нреобраювание, нереводящее четыре точки О. А, В, С, не лелсащме в одной нлоскости, в четыре точки О, А, В, С, также не лежащие в одной нлоскосиш. Для аффинных преобразований пространства остаются справедливыми свойства 1 — 3, доказанные для преобразований плоскости. Четвертое свойство формулируется следующим образом: нри аффиннсм преобразовании (2.16) обьем любого наралееленинеда изменяется в одном и там же отнотаении, нье. умножается на одно и то жв число (называемое коэффициентам искажвнил в6ъема): У =~ без А~ У, где ӄ— объем параллелепипеда, а У. — объем обраиз этого параллелепипеда.
Другими словами, коэффициент искалсения обьвма при аффинном лрвобразовании равен модулю определителя матрицы этого преобразования. Примерами аффннного преобразования пространства могут служить движение, гомстепш, сжатие к плоскости. Сиеативм пространства к плоскости я вдоль пересекающей вв прямой т с коэффицивниваи Л>0 (квсьин сжтииеи) называетсл преобразование пространства, при котором каждая точка Р, принадлежвщт плоскости я, остается неподвижной (преобразуется в себя: Р = Р ), а каждой точке Х, не лежащей на плоскости я, ставится в соответствие такая точка Х, что Х„Х =Л Х Х, где Մ— проекцияточки Х на плоскость я вдоль прямой т.
При Л > 1 зто преобразование называют также раапнжт нивм. Сжатием пространства к плоскости я называют сжатие вдоль направления, ортогонального плоскости я, т.е. в случае, когда прямая т перпендикулярна плоскости я. Замечании 27. 1. Справедливо утверждение [4[: любое аффиннов преобразование пространства можно предспзавить в виде композиции двилсвния и трех сзсатий (во взаимно пе)зпендикулярных направлениях). 2.
Для аффинных преобразовашзй пространства остакззся справезпзивыми соотношения (2.12), (2.14), (2.15), полученные длл аффинных преобразований плоскости (с соответствующими изменениями размеров матриц А, Я и столбцов а, з, х, у ), а также вывод, аналогичный указанному в п.2 замечаний 2.6. Пример 2.9. Рассматривая эллипсоид (см. разд.4.3.2) как образ сферы при композиции двух сжатий пространства к плоскостям (вдоль взаимно перпендикулярных направлений), доказать, что существуют три взаимно перпендикулярных диаметра зллипсоида, которые называются его главными асями.
С) Сформулированное свойство очевидно дяя диаметров сферы (рис.2.27д). Пусть АВ, С)з, ЕР— трн взаимно перпендикулярных диаметра сферы. Выполним сжатие просзранспа с коэффициентом 0<Л, >1 к плоскости, проходящей через прямые С0 и ЕР . При этом отрезок АВ преобразуется в диаметр А В зллнпсоида, а диаметры СЭ и ЕР останутся без изменений (рис.2.27,б). Если выполнить второе сжатие с коэффициентом 0 < Л. <1 к плоскости (рис.2.27,в), проходящей через диаметры А В и СО, 162 то диаметр ЕР преобразуетса в диаметр Е р, а диаметры А В и СЭ останутся без изменений.
В результате получим три взаимно перпендикулярных диаметра АВ, СО, Е Р зллипсонда. ° в' А а Рис.2.27 2.3. ПОЛЯРНАЯ, ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 2З.1. Полнриаи система координат Полярная система коорзшнат на плоскости — зто совокупность точки О. называемой яелюсом, и полупрямой Ох, называемой яаляряой осью. Кроме того, задается масиияабнмй отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса.
Как правило, на полярной оси выбирается вектор г, приложенный к точке О, длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задает положительное направление на полярной оси (рис.2.28м). Положение точки М в полярной системе координат определяется расстоянием г (полярным радаусем) от точки М до полюса (т.е. г = ~ ОМ ~ ) и утлом <р (яаяяряым)илам) между полярной осью и вектором ОМ .
Полярный радиус и полярный угол составлают яояяряые коордияаюы точки М, что записывается в виде М(г, ~р). Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси: — в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное; — в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное. и 163 Полярный радиус определен дла любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения г > О.
Поларный угол ф определен для любой точки плоскости, за исключением полюса О, и принимает значения к < ф ь и, называемыми главными значениями налярного угла. В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определен с точностью до слагаемых 2пн, где ни Е . В зтом случае значениям ф+ 2нн полярного угла для всех ни У соответствует одно и то же направление радиус-вектора. ( х= г.соаф. у = г.зшф.
(2.17) Эти формулы позволают найти прамоугольные координаты по известным полярным координатам. Обратный переход выполняется по формулам: г=т~х~+ у созф=д=-т ' = г~й+2 У У ф=-= -,г 1 й+„а (2.18) Рно2.2В С полярной системой координат О гф можно свазать прямоугольную систему координат ОЦ, начало О которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс (точнее положнтельнш полуось абсцисс) — с полярной осью. Ось ординат достраивается перпендикулярно оси абсцисс так, чтобы получилась правая прямоугольная система координат (рис.2.28,б). Длины базисных векторов определяются масштабным отрезком на полярной оси.
Наоборот, если на плоскости задана правая прямоугольная система координат, то, припав положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим полярную систему координат (связанную с данной нрямоугольной). Выведем формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты х, у точки М, отличной от точки О, и ее полярные координаты г, ф . По рис.2.28,б получаем агс«й —, у х и+атсгя —, у — й+ агсгк —, у х и 2 и 2 х>0, х<О,у>0, х<О,у<0, х=О,у>0, х=О, у<0. Рис.2.29 Пример 2.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
