Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 20
Текст из файла (страница 20)
которая делит сторону ВС в отношении ВЬ: ЕС = АВ: АС (свойство биссектрисы треугольника). Так как АВ=Д~4-~) 15-1) =5 АВ $3-11+34-1~ 13,,5 2 замечаний 2.1 (В2.2(С=5:13 ~ а=13,р=5), находим 1.М+2411,12й+йй), 13+5 ' 13+5 *.. 23~,ВЗМ . АА ~ф-11 '5В-1 в) Учитывая п.2 замечаний 2.2, находим ориентированную плошдль треугольника АВС: 1 1 1 4 5 1 13 6 1 ЗЗ 1 ~«ВС 2 СЛЕДОВатЕЛЬНО, ПЛОЩаДЬ ЭТОГО тРЕУГОЛЬНИКа Я„вс ВВ ф, тОГДа А.
~=~.~ 5 ВВ= 323-41 1144 -— ВВГ Г- Г32. ° Пример 2З. Известны прямоугольные координаты вершин А(1,1,3), В(3,5,4)„С( — 1,3,2), Р(5,3,-1) треугольной пирамиды АВСР. Требуется найти: а) длину отрезка РМ, соеднюпощего вершину Р пирамиды с точкой М пересечения медиан грани АВС (см. рис.2.3); б) объем У„в р пирамиды. П а) Координаты точки М найдены в примере 2.1: М(1, 3, 3). Поэтому РМ = (1-5) +(3-3)з+(3+1)з =4сГ2. б) Найдем ориентированный объем пирамиды по формуле п.3 замечаний 2.2. Вычитая первую строку из остальных строк и раскладывая определитель по последнему столбцу, получаем 1 1 3 1 1 3 5 4 1 1 Авсп 6 1 3 2 53-11 1 1 3 1 2 4 1 О -2 2 -1 О 4 2 -4 О 2 4 1 -2 2 -1 4 2 -4 = —.
(-16-16-4-8-32+4)=12. 1 6 Следовательно, У„з р — — 12. ° 2.2. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ Рассмотрим преобразование системы координат в пространстве. Пусть в пространстве заданы две системы координат Ое,е е и О е, е е . Первую систему координат будем условно называть "старой", а вторую — "новой". Тогда базис е,, ез, е — "старый", а базис е,, ез, ез — "новый". Старый и новый базисы представим в виде символических матрш~- стРок: (е) =(е ез ез), (е ')=(е ез ез). Поставим следУюц1ие задачи: 1) нахождения координат вектора в новом базисе по координатам того же вектора в старом базисе; 2) нахождения координат точки в новой системе координат по координатам той же точки в старой системе координат.
2.2.1. Преобразование координат вектора ирн замене базиса Пусп известны координаты векторов нового базиса относительно старого базиса: 1зз Е1 11 Е1 21 2 31 3 ' е 2 12 Е1 22 2 32 3 ' Ез =313'Е1+323'аз+333'ЕЗ. (2.1) 11 12 13 ЗЫ 322 31 32 33 (е)-+(е ) (2.2) Кващзатная матрица Я, составленная нз координатных столбцов (е)-5(е ) векторов нового базиса (е ) в старом базисе (е), называется ма5ирицей верехеда еж с5вараге базиса и нееему (мажрицей преобразования Йонса). При помощи матрицы перехода (2.2) формулы (2.1) можно записать в виде: (е, ез е )=(е, ез ез) 5 нли, короче, (е )=(е).
Я . (2.3) (е)-е(е ) (е)-+(е ) Умножение символической матрицы-строки (е) на матрицу перехода (т)-(-) Я в (2.3) производится по правилам умножения матриц (см. разд.П.З). Пусть в базисе (е) вектор т имеет координаты т1,тз,тз, а в базисе ()- Р / Ф е ) — координаты е1, тз, тз, т.е. г ~ е г е5 Фе1 е "="1'е +'2 аз+ "з'е =" 'е1+"2'ег+ "3 ез нлн коро*за, "=(е)" =(е)" ° 1е г е5Т где т =(т1 е т ), э =(т1 т тз — координатные столбцы вектора () 1 г 3 ° ~) 11 г 3/ Р. Подставляя в правую часть последнего равенства выражение (2.3), полу- ЧаЕМ 5е =(Е) Э =(Е) Я ° 55 — Даа РаЗЛОжсинл ВсатОРа Р В ОДНОМ И тОМ (е) (е)-+(е ) (е ) же базисе (е). Коэффициенты этих разложений совпадают (по теореме 1.5). так как зто координаты одного и того же вектора в одном базисе.
Поэтому зж 322 :) Ф Я я или, что то же самое, (е) (е)-5(е ) (е ) (2.4) 9 — 5150 Записывая по столбцам координаты векторов е,, ез, е относительно базиса е,, е, е, составляем матрицу: Формула (2.4) устанавливает связь координат вектора в разных базисах: координатный столбец вектора в спшром базисе получается в результате умножения матрицы перехода на координатный столбец вектора в новом базисе.
Аналогично находится связь координат вектора на плоскости при замене базиса: з = Я з, нли, что то же самое, ' = ' ',', (2.5) Ф где, ~,! — координатные столбцы вектора з относительно базисов 3 3 (е)=(е, е ) и (е )=(е, е ) на плоскости соответственно, а ~кц ~1з~ Я =~ и ы! — матрица переходаот базиса (е) к базису (е ). ° к) ~;, ° ! Матрица перехода от одного базиса к другому обладает следующими свойствами.
1. ))усть в пространстве имеются три базиса (е), Д), (б) и известны з 1 /-1 матрицы перехода: Я от базиса (е) к базису Я; Я от ~Ц к в (г) (У)-~(г) (б); Я от (е) к (б). Тогда матрица Я композиции нреобразв©->(з) (е3-+(х) воняй базисов (е)-+ Д) и (у)-> (8) равна произведению матриц преобразований базисов: Я = Я ° Я (2.6) (з (з) (з> У)И.(з) 2. Если Я вЂ” матрица перехода от базиса (е) к базису Ц), то о ()) матрица Я обратимая (невырожденная) и обратнаяматрицаявляетж Р) ся матрицей перехода от базиса (у) к базису (е): Я ~ = Я ..КоордиЯ-() И-(-)' наты вектора р е базисах (е) и (У) связаны формулами: ("-) (- Р)'Р)' (~) (- Р)('-) И-(к)("-)' 3. Определитель матрицы Я перехода от базиса (У~- (г) (у)=(у у у ) к базису (б)=(у, я я ) равен отношению ориенти- 130 Е= Я Я .
Для трех базисов (7),(е),(Г") анвюгично получаем: 1е1~(г) Я.~Гс) Е = Я 5 . Следовательно, Я = Я ' (см. Разя.П.9). Докажем третье свойство для базисов в пространстве. Пусть (- (г) А1 А2 АЗ ~21 Уза АЗ Й езг узз матрица перехода от стандартного базиса (е)=1 3 й) к б у Р)=Ы А А) ° К=11.'+1„~+1„й сз=с12 1+сх1 3+се.л, ~1=~~1 1+стз 1+сзз.х. По фоРмУле (120) ориентированный объем параллелепипеда, построенного на векторах I ~1, ~~, се», равен смешанному произведеник1 1, ~2, ~з или, что то же самое, определителю бег Е .
Анвюгично, если Π— матрица перехода (У1-с(г) (з (с1 от стандартного базиса к базису (Х)=(Х1 я я ), то бег О Г1-(у) =(к1,кз,к ). из первых двух свойств матрицы перехода следует, что Я = Е ' . О . По свойствам определителя (см. Разя.П.9) И-(Н в~У)й (Т1 1'ез'сЗ (~) >(у) Пусть в пространстве заданы две системы координат Ое, ез ез (старая) и О е, е е (новая), известна матрица (2.2) перехода от базиса (е) к базису (е ), а глюке координаты еекшера леренеса начала кеорднияси У =ОО в старом базисе (е): е з=ОО з1'е1+яг'аз+аз'ез Пусть Х(х,,х,х ) и Х(х,,х,х ) — координаты точки Х относительно старой и новой систем координат. Требуется найти формулы, связывающие старые и новые координаты точки Х (рис.2.9).
Запишем векторное равенство ОХ = ОО + О Х в координатной форме (в старом базисе (е) 1, учитывая, что координаты рздиус-вектора совпадают 132 доказать. 2.2.2. Преобразование координат точки ири ж1меие системы иеердинат с координатами точки, а старые и новые координаты вектора ОХ связаны формулой (2.4). Получим Зн Зи 212 21 22 21 31 22 ЗЗ И ) или (х= 2+ Я .х,. (2.7) Формула (2.7) устанавливает связь координат одной и той же точки в разных системах координат в пространстве, выражая старые координаты через новые. Аналогичная формула (2.8) устанавливает связь координат одной и той же точки в разных системах ко- ординат на плоскости, выражая старые координаты через новые.
l Е1 Раа.2Д Пример 2.4. В прямоугольной системе координат ОЦ на плоскости заданы векторы 7",=21+2, 7 =-1+2 2 и точки 0(3,1), А(-1,3) (рис.2.10).'Требуется найти: а) матрицу перехода Я от стандартного базиса (е) = (1 7) к бази(г~(г) су И=(у' у' ); Ззз Формулы вида (2.7) или (2.8): хч в+Я.х с любой невырожденной матрицей Я задают аф4)плиев лрео11зазеениие кеердииюи на плоскости нли в пространстве.
По этим формулам можно для любой старой системы координат установить новую систему координат, поскольку известен вектор з = 00 переноса начала координат (координатный сголбец з) и координаты новых базисных векторов в старом базисе (координатные столбцы явяяязттл столбцами матрицы Я ). н наоборот, ло новой системе координат восстановить старую. б) ориентацию Р)=й А)' в) матрицу перехода Я от (е) е(/ ) стандартного базиса (е)=(е 3) к базису (г"')=(гз А); г) матрицу перехода Я от ба- Я-е(е ) быиса Г ДАО зиса (7)=(Г", 7 ) к базису (е1)=(~ 1); д) координаты вектора а = ОА в базисе Ц)= Я г" ); е) координаты точки А в системе координат О 1; Уз .
П а) Составляем искомую матрицу Я, записывая координаты век- гМ)' (2 -1) торов у',,у по столбцам. Я Я (у) 11 2! б) Определитель найденной матрицы я положительный: 1-) Р) ее е = /=5, ее 'е)=ф Д) р р 1х~4у) (1 г как стандартный (см. свойство 3 матрицы перехода), т.е. является правьпя. в) Составляем искомую матрицу Я, записывая координаты вехто1е)-+(г ) 1 — 1 2) ров 1з, ~ (в указанном порядке) по столбцам: Я ф)-е(Г') ( 2 1! г) Учитываю свойство 2, матрицей перехода от базиса (7)= Ц 7 ) к базису (е) = (Г,1) служит матрица, обратная для Я (е)-еЯ Я.+(е) (с)-ф) 1 2 5 — 1 2 — 0,2 0,4 д) Вектор а = ОА является радиус-вектором точки А, поэтому известны его координаты -1, 3 в стандартном базисе (е) = (Г 1). Составим коор(-й дииатный столбец а =~ ~ вектора а в стандартном базисе.
Координат- ~3~ ный с~о~бел о э~о~~ велюра относительно базиса И=(г, уз) связан с его координатным столбцом а формулой а = 8 ' а, следующей ю свой(-) (г) ' ства 2 матрицы перехода. Учитывая и."г", вычисляем (Р)-~(г) — 0,2 0,4 3 1,4 т.е. а =0,2 1, +1,4 ~з. (31 е) Составляем координатный столбец л = ~ ! вектора 7 = 00 (радиусй вектор точки О ) и записываем связь (2.8) Решая эту систему, находим координаты х, =-1.2; х = 1,6 точки А в сис- теме координат О А гз. 2.2.3. Преобразовании прнмоугольиых координат на плоскости и в пространстве ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ Получим формулы, связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат. Рассмотрим три типа преобразований: а) нараллельный неренос; б) наворот; в) зеркальное отражение е оси абсиисс (юменение направления осн ординат на противоположное).
В каждом случае координаты точки в старой Ог' г' и новой О г' г системах координат связаны формулой (2.8). Поэтому достаточно найти вектор 7 переноса начала координат и матрицу 3 перехода от базиса г', г' к базису 1,) . а) При параллельном нереносе системы координат (рис.2.11,а) базис не изменяется, поэтому матрица перехода является единичной: 3 = Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
