Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Находи ь~ координаты вектора переноса начала координат: Р=ОО =х, г+у, ).Тогдаформулу(2.8) можнозалисать ввиде < х=х,+х . у=у,+у. 135 б) При навороте системы координат на угол ф (рис.2.11,6) начало О новой системы координат совпадает с началом 0 старой. поэтому вектор переноса нулевой: з = 00 = о . Разлагая новые базисные векторы 1, ) по старому базису, получаем 1' =созф ~+япф. 1, 1 =-япф ю'+созф.~к. Составим матрицу перехода, записывая координаты векторов ~, у по столб- (созф -зюф'~ цам: Я= ~ . Тогда формулу (2.8) можно записать в виде < з)пф созф,< х=х 'созф — у 61пф, у=х 'з)пф+у созф. О 1 х, х О, х б г слл1 в) При зеркальном отраэсении в оси абсцисс (изменении нанравления оси ординат на нротивоналажное) (рис.2.11,в) начало 0 новой системы координат совпадает с началом О старой, поэтому вектор переноса нулевой: л = ОО = о .
Разлапы новые базисные векторы 1, 7 по старому базису, получаем 1 =1.~+О ~к (так как 7 =7),,( =О ю +(-1),) . Составим мат- ,Ф рицу перехода, записывая координаты векторов 1, / по столбцам: (1 О'1 Я = ~ ! . Тогда формулу (2.8) можно записать в виде ~0 -1! Аналогично определяется зеркальное отражение в оси ординат (изменение направления оси абсцисс на противоположное). Покажем, что любое преобразование прямоугольной системы координат сводится к последовательному применению рассмотренных преобразований, т.е.
к камнвзииии преобразований систем координат. Действительно, пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат 136 (2.9) ( х=х +х'.соз~р+у' зю1р, у=у +х зш1р — у сощ. (2.10) х О 1 "Ф б гиьдяг 0 1 х, а Таким образом, любое нреобразование нрлмоугольной системы координат на няоскости сводится к коятозиции нреобразований, каждое из которых является либо ларааяельньии иеремосом, яибо поворотом, либо зеркальным отражением в оси координат.
137 01 ) и О! / . Сначала, если точки 0 и 0 не совпадают, выполним па- раллельный перенос старой системы координат на вектор 7 = 00, при этом получим систему координат О Ц. Затем при помощи поворота на угол <р совместим вектор 1 с вектором 1, прн этом получим систему координат О 1 ), где вектор 7 либо совпадает с вектором ут (у = ум), либо проти- воположен ему (уз =-уз ). В первом случае, когда обе системы ОЦ и О 1т у одноименные, никаких преобразований делать уже не надо, так как ст~,ю со полученная система координат 01 у совпадает с заданной 01 у (рие.2.12а).
ВО ВтОрОМ СЛуЧаЕ, КОГда СИСТЕМЫ 01' ут И 0 1' уз раЗНОИМЕННЫЕ, для получения системы 0 1 у достаточно изменить направление оси ордиы нат на противоположное, т.е. выполнить зеркальное отражение 0 1 ) в оси 0 с' (рис.2.12,б). Формулы, связывающие старые и новые координаты точ- ки, имеют вид: — при одноименных системах координат (рис.2.12,а): Ф х= х, +х .созф-у .51пф, у = у, + х' з)п <р+ у' соя а1, — при разноименных системах координат (рис.2.12,б): Замечании 23. 1. Для рассмотренных преобразований координат точек негрудно получить выражения новых координат через старые: с / а) , ' б) , ' в) х =х — х,, ( х =х созф+у з)пф, ( х =х, у =у-у,, (у =-х з)пф+у созф, (у =-у. Для преобразования (2.9) аналогичные формулы имеют внд: х =(х-х,).созф+(у-у,) з1пф, у =-(х-х,) з1пф+(у — у,) созф.
2. При х, = О, у, = 0 и ф = з из соотношений (2.10) получается преобразование изменяющее названия координатных осей (зеркальное отражение в прямой, содержащей биссектрису первого координатною угла). 3. Справедливо утверждение: любое преобразование лрямоугольной системы координат на плоскости может быть лредстаевено в виде комлозиции зеркальных отражений в некоторых лряиых. Для доказательства достаточно показать, что рассмотренные вьппе преобразования — параллельный перенос (рис.2.11,а) и поворот (рис.2.11,б)— можно представить при помощи композиции зеркальных отражений. Действительно, параллельный перенос системы координат вдоль оси абсцисс (на вектор в = х, .
~ + О. 3 ) можно получить при помощи двух отражений: первое ,ь — относительно оси ординат (получим систему координат 01 у ), а второе— относительно прямой 1, проходящей через точку -'.х, на оси абсцисс параллельно оси ординат (рис.2.13,а). Аналогично выполняется сдвиг вдоль оси ординат. Поэтому любой параллельный перенос сводится к композиции зеркальных отражений.
о, о а Вис.Х1З 1зв Чтобы получить поворот иа угол ~р, нужно выполиить два зеркальиых отрзжеиия (рис.2.13,6): первое — относительно оси ординат (получим систему О ! уь), а второе — относительно биссектрисы ! угла между векторами уз и!. 4. Утверждение п.З можно угочиить: любое нреобразоеание прямоугольной системы координат на нлоскости может быть нредсниылено е виде коинозиьаи не более трех зеркальных отражений е некоторых нрямых (4). 5. Преобразования координат (2.7),(2.8) иазываются ортогональнмми, если матрица перехода Я ортогональная, т.е. Я 1 = 5г .
Нетруд- (ь)-ф ) (е)->(с ) (г)~(е ) по показать (10), что преобразования (2.9),(2.10) ортогоиальпые, позтому любое преобразование нрямоугольной системы координат является ортогональным. Пример 2.5. Известны ко- ~ь! у' у ордииаты точек А(7, — 1) и о 0(8,6) в прямоугольной системе координат ОЦ иа плос- у кости. Найти координаты точки х А в прямоугольной системе ~,, уь Р координат О ! 7, полученной l а при помощи зеркального отражения в некоторой прямой ! Ч~ Ох х системы Оху (рис.2.14). П Находим вектор пере- Рас.2.14 носа начвза системы координат 5=00 =8 ю+6 уь (х, =8, у, =6), его длииу )в~=10 и угол а=впххжф между векторами з и ~, так как сова =);г) =)86.
Ось симметрии ! при зеркальиом отражении является середижвым перпендикуляром к отрезку 00, позтому угол у, который сбреет ось симметрии с положительиым иаправлением оси абсцисс Ох, равен 1у =я+ а . Отражеиие в оси ! представим в виде композиции следующих преобразований: параллельного перекоса па вектор 7=00 =8.г+6 уз; поворота па угол ~р=2у=п+2а;зеркального отражения в оси абсцисс (рис.2.12,6).
Старые и новые координаты точки А связаиы формулой (2.10) при х, =8, у, =6, ~р=и+2а. Учатывая, что ыпа=-' и 3 соыр=соз(п+2а)=-со52а= — 2соз~а+1= — 2 ~-~ +1= —; (5~ 25 34 24 яп<р=з(п(и+2а)=-яп2а=-2.япа сова=-2 — — = —; 55 25 получаем < — 8-2 .х — ~ у, (х = — 2 (х-8)-~ (у — 6), у=б-ф.х+ 2 у, у =-ф (х-8)+ 2.(у-б). Подставляя старые координаты х = 7, у = -1 точки А, получаем ее новые координаты: х =-2 (7-8)-~+1-6)=7; у =-~.(7 — 8)+ 2 +1-6)= — 1. 25 25 ' 25 25 Следовательно, точка А имеет одинаковые координаты в обеих системах, т.е. точка А лежит на оси симметрии 1. ° ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ Получим формулы.
связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системы ююрдинат в пространстве к другой прямоугольной системе координат. Рассмотрим три типа преобразований прямоугольной системы координат. а) параллельный перенос; б) поворот вокруг координввяной оси; в) зеркалъное отражение в координатной плоскости (изменение направления одной координатной оси на противоположное).
В Каждая СЛуЧаЕ КООрдИНатЫ ТОЧКИ В СтарОй 02 1зй И НОВОЙ О 2' УК системах координат связаны формулой (2.7). Поэтому достаточно найти вектор з переноса начала координат и матрицу Е перехода от базиса 2, 7', 7г к базису 1', 7, й '. а) При параллельном переносе системы координат базис не нзменяется, поэтому матрица перехода является единичной: 8 = Е. Находим координаты вектора переноса начала ююрдинат: 5 =00 =х, (+у,. /+е,.к.
Тогда формулу (2.7) можно записать в виде х=х,+х, у=у,+у ° 2=2,+2. б) При повороте системы координат на угол 05 (рис.2.11,6) вокруг оси аппликат начало О новой системы координат совпадает с началом 0 ста- 140 рой, позтому веатор переноса нулевой: 7=00 =о. Разлагая новые базисвые веаторы ~', 3', К' по старому базису, получаем Р / Г=созф 1+зшф /+О й; 1 =-зшф 1+созф.)+О к;к =0.1+О )+1 к. созф -зшф 0 зшф созф 0 0 0 1 Составим матрицу перехода Я = векторов 1, 7', й по столбцам. Тогда формулу (2.7) можно записать в виде Р х=х созф-у .зшф, у=х з)пф+у сову, г =г. Очевидно, что система координат на плоскости Оху при зтом преобразовании поворачивается на угол ф . в) При зеркальном отражении в плоскости Оху (изменении нанраеления оси аннттат на нротивоноложное) начало О новой системы хоординат совпадает с началом О старой, поэтому вектор переноса нулевой: 7=00 =о.
Разлагая новые базисные векторы 1, уг,К по старому базису, получаем ю' =1ч+0.)+О.К; у =0.7+1.у+О й; К'=0 ~+0.)-1 К. Со- 1 ставим матрицу перехода Я = 0 0 Тогда формулу (2.7) можно запи- сать в виде Р х=х у=у ° / г =-г. Аналогично определтотся зеркальные отражения в других координатных плоскостях (изменение направлений осей абсцисс нлн ординат на противоположные). Матрицы переходов в п."а","б","в" ортогональные (см. п.5 замечаний 2.3). Как и в случае преобразований на плоскости, можно показать, что тобое нреобразование нрямоугольной системы координат в нространстве сводится к ковоызицци нреобразований каждое из которых является либо нараллельным перенесет, либо поворотом маруг кт1одинатной оси„либо зеркальным отражением в координатной нлоскоснт [4) ьы уГлы эйлеРА Используя композицию, получим формулы преобразования координат точки в пространстве прн переходе от старой прямоугольной системы Охут Р Р к новой Ох у х, имеющей то же начало и ту же ориентацию (т.е.
новая система координат получаетсл нз старой поворотом вокруг начала координат О). Обе системы координат изображены на рис.2.15 (полужирными и двойными линиями соответственно). Чтобы от системы Охуз перейти к системе / / Охух нужно выполнить три поворота Сначала проведем через точку 0 перпендикуляр Ох, (линию узале) к плоскости Отт . Направление на зтом Р перпендикуляре выберем так, чтобы ориентация система координат Ох,гх совпадала бы с ориентацией системы координат Охуз . Если оси Ое и Ох совпадают, то ось Ох выбирается совпадающей с осью Ох. Если оси От и Ое пропшоположно направлены, то и ось Ох, выбираетсл противоположно направленной оси Ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
