Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 24
Текст из файла (страница 24)
второй способ задании аффннного преобразования). 154 2. Гамешюввей с центром в точке О с козффициентом Л > 0 называстсл преобразование плоскости, при котором каждой точке Х ставится в соответствие такалточка Х, что ОХ =Л ОХ (рис.2.21,б). Докажем, что гомотетнл лвллетсл аффинным преобразованием. Длл зтого выберем аффинную систему координат О е, е, начало которой совпадает с центром гомотетни. Пусть точка Х имеет координаты х,, хз, тогда ее образ Х при гомотетни имеет координаты х, =Л.х,,х =Л х, т.е.
хз Л хз' Сравнивал зти формулы с (2.11) делаем вывод, что гомотетнл есть аффинное 1Л 01 преобразование с матрицей А=~ ! и нулевым столбцом а. (О Л! Определим гомотеппо, используя второй способ задания аффинного преобразованил. Длл старой системы координат Ое,е построим новую аффинную систему координат О е, е, в которой координаты образа Х при гомотетии совпадают с координатами прообраза Х в старой системе координат. Примем точку О за начало (точка О совпадает с точкой О), а векторы е, =Л.е,,е =Л.е в качестве нового базиса. Найдем координаты точки Х в системе координат Ое е: Ф Р / ОХ =х~ е,+ха ез =х1 Л е,+ха.Л ез =х1.е,+хз ез.
Сф Поскольку ОХ = х, е, +х е, то точки Х и Х имеют равные координаты в аффинных системах координат Ое, е и Ое, е соответственно. Наоборот, если заданы аффинные системы координат Ое, е и Ое, е, то существует единственное аффинное преобразование, при котором координаты точки Х (в системе координат Ое, е ) совпадают с координатами образа Х (в новой системе координат Ое, е ), и зто преобразование лвллется гомотетией (см. второй способ задании аффииного преобразования). 3. Сжаювем влескеств к прямой 1 адель вересекеюк1ей ее врямей а с кеэффвцвевиам Л > 0 (кесым свппввем) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка Ь, принадлежащал прлмой 1, остаетсл неподвижной (преобразустсл в себя: Ь = Ь), а каждой точке Х, не лежащей на прямой 1, ставится в соответствие такая точка Х, что 155 Х,Х =Л Х,Х, где Х, — проекция точки Х на прямую 1 ццоль прямой ю (рис.2.22,л). При Л >1 это преобразование называют также рлслтялселиеи.
В частности, слсалтлем к прямой 1 с коэффициентом Л> О называют сжатие в направлении, перпелдвзтулярном прямой 1, т.е. в случае, когда прямая т перпендикулярна прямой 1 (рис.2.21,б). Покажем, что это аффннное преобразование. Выберем аффинную систему координат Ое, е так, чтобы ее начало совпадало с точкой 0 пересечения прямых ю и 1. а векторы е, и е принадлежали прямым 1 и ию соответственно. Из формулы Х,Х = Л. Х,Х следует, что при сжатии абсцисса точки Х не изменяется, а ордината умножаетсз на коэффициент сжатия Л: кз=Л лз. Сравнивая с (2.11), делаем вывод, что сжатие является аффннным преобра- (1 О1 зованием с матрнцей А = < ~ и нулевым столбцом а . <,0 Л! е Р е = О е1=е, Х~ я Рас.2.22 4.
Отлражеллен плоскости е лрлеюй ! ларлллельло лересекаюл(ей ее прямей т (адель лрллтой и) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка Ь, принадлежащая прямой 1. остается неподвижной (преобразуетсз в себя: Ь = Е ), а каждой точке Х, не лежащей на прямой 1, 7 ставится в соответствие такал точка Х, по Х,Х =-Х,Х, где Х, — проекция точки Х на прямую 1 вдоль прямой т (рис2.23,а). Это преобразование звляетсз аффинным, поскольку оно не нзменяет расстояний между точками, т.е. представляет собой движение.
Выберем систему координат О е, е так, чтобы ее начало совпадало с точкой О пересечения прямых т и 1, а векторы е, и е принадлежали пржяым 1 и т 156 соответственно. Найдем матрицу А преобразования, записывая по столбцам координаты образов базисных векторов. Поскольку е, = е, = 1 е, +0 е (1 01 и е =-ез=О е~+(-1).ез,то А=~ 3 з з' ~0 1)' 5. Проекцией илоскосвзи иа ирямую 1 иараллельио лересекающей ее ариной т (адель «рямой т) называется преобразование плоскости, при котором каждая точка Ь, принадлежащая прямой 1, остается неподвюкной (преобразуется в себя: Ь = Ь ), а каждой точке Х, не лежащей на прямой 1, ставится в соответствие ее проекция Х, на прямую 1 вдоль прямой т (рис.2.23,б). Это преобразование является линейным, но не является аффиниым.
В самом депе, выберем аффиниую систему координат О е, е так, чтобы ее начало совпадало с точкой 0 пересечения прямых т и 1, а векторы е, и е принадлежали прямым 1 и т соответственно. Найдем матрипу А преобразования, записывая по столбцам координаты образов базисных векторов. г (1 01 Поскольку е,=е,=1 е,+О.е и е =о=О е,+О.е,,то А=~ .Клкви- ~0 О! дим, матрица А преобразования вырожденная, поэтому преобразование не является аффинным, но является линейным (см.п.2 замечаний 2.5). б.
Ииеерсией плоскости относительно окружности радиуса и с центром в точке 0 называется преобразование плоскости, прн котором точки, принадлежащие данной окружности, остаются неподвижными (преобразуются в себя), а каждой точке Х, отличной от О, ставится в соответствие такая точка Х, что ОХ =-~-;"ОХ (рис.2.24), т.е.
радиус-векторы ОХ и ~ох~ ОХ образа и прообраза коллинеарны, а произведение нх длин равно квад- 157 координатной форме, получаем: х Я х +у у й к+у Ркс.2.24 что отличается от (2.11), так как зависимость не- линейная. Замечании Зб. 1. Справедливо угверждение (4]: любое аффинное нреобразоеание нхоскости можно нредставить в виде композиции. Ъвихсения и двух сжатий (во взаимно нернендикухярных нанравхениях). 2. В п.З. замечаний 2.4 показано, что изменение координат точки будет одно и то же, подвергаем ли мы плоскость аффннному преобразованию, оставляя систему координат неизменной, нли же оставляем плоскость неизменной, подвергая систему координат обратному преобразованию.
Например, при повороте плоскости на угол ~р вокруг У -ф, У начала системы коорди-, А У уа нат Ог г (рис.2.25,а) коф хА ординаты точек меняют- 1 з ся так же, как при повороте системы координат 0 1 " х 011 на угол, равный (-<р), т.е. при переходе х к системе координат б 0~ 3 (рис.2.25,б). Ркс.2.2З 1 х' 158 рагу радиуса окружности (при й =1 длины радиус-векторов взаимно обратные: ~ ОХ ~ =1 ~-т ). Для взаимной однозначности преобразования предпола- ~ок~ гают, что точка О отображается в некоторую "бесконечно удаленную точ.
ку" плоскости. Преобразование инверсии называется также зеркальным отражением а окружности. Это преобразование не является линейным (и, следовательно, аффинным). В самом деле, выберем прямоугольную систему координат ОЦ, начало которой совпадает с центром данной окружности. Выразим прямоугольные координаты х,у образа Х через координаты х,у прообра- 2 за Х. Записывая равенство ОХ =-~-; ОХ в ~ох~ Пример 2.8.
Пусть на плоскости задана окружность. В результате прямого сжатия плоскости к прямой ! с коэффициентом О < Х <1 в направлении, перпендикулярном ( (рис.2.2б,а), окружность преобразуется в кривую, называемую эллипсом (см. равд.3.3.2), а центр окружности — в центр эллипса Прн этом образом каждого диаметра окружности служит диаметр эллипса, т.е.
хорда, проходящаа через центр эллипса. Доказать, что: а) для любого данного диаметра А В эллипса существует единствен- Р Р иый диаметр А,В~, который делит пополам все хорды, параллельные данному диаметру; б) существуют два взаимно перпендикулярных диаметра эллипса, называемых его глаенымн асями. А А а б в Ряс.2.26 П Для решения задачи используем два свойства аффннного преобразования: параллельные отрезки отображаются в нераздельные отрезки (что следует из свойства 2); середина отрезка отображаегся в середину образа этого отрезка (см.
свойство 3). а) Сформулированное в п."а" свойство диаметров очевидно для окружности (рис.2.2б.л), поскольку диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Рассмотрим эллипс (рис.2.2б,б) как образ окружности при сжатии плоскости к прямой (, проходящей через центр О окружности. Сжатие происходит вдоль примой т, перпендикулярной 1, при этом точка 0 остается неподвижной.
Пусть А — диаметр эллипса (центр 0 эллипса — середина А В ), а А — его прообраз, который являетгл диаметром окружности (поскольку центр О окружности — середина АВ ). Рассмотрим хорды окРужности, параллельные диаметру АВ. Геометрическим местом середин этих хорд является диаметр А,В, окружности (рис.2.2б,л), поскольку диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
