Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Линейная комбинация а, . ОА, + аз ОА +... + а ОА радиус-векторов ОА,,ОА,...,ОА называется а44нннай, если сумма ее коэффициентов равна единице: а1+а +...+а =1. множество аффинных комбинаций радиус-векторов ОА,,ОА,....ОА называется их аффнннай оболочкой и обозначается: Аб'(ОА1.ОАз,...,ОА 1=(ОМ: ОМ=а1 ОА,+аз.ОАЗ+...+а ОА; а1+с1з+...+а =1, а,,аз,...,а нк). Линейная комбинация а, ОА, +а .ОА +...+а».ОА» радиус-век»оров ОА,,ОА,...,ОА называется емнуклай, если все ее коэффициенты — неотрицательные числа, а их сумма равна единице: а, + а + ...+ а =1. Множество выпуклых комбинаций радиус-векторов ОА,,ОА,...,ОА называется их выпуклей оболочкой и обозначается: 178 Солю(ОА,,ОА,,...,ОА )=(ОМ: ОМ=а,.ОА,+а .0~+...+а .ОАл; а,+а +..+аз=1, а,ебазеО,...,а НО, а,,аз,...,а нл).
Радиус-векторы ОА,, ОАз,..., ОА называются образуюи(ими конической оболочки Сол (ОА,,ОА,...,ОА ), аффииной оболочки АЯ" (ОА,,ОАз,...,ОА ), выпуклой оболочки Солю (ОА,,ОА,...,ОА ). Учитывая взаимно однозначное соответствие радиус-векторов и точек пространства Ю", можно говорить о неотрицательной, аффивной или выпуклой комбинации точек А,, А,..., А, полагая (по определению) Сол(А,,А,...,А )=Сон(ОА,,ОА,...,ОА ), А() (А,,Аз,...,А )=АД'(ОА,ОАз,...,ОА ), Солю(А,,А,...,А )=Солю(ОА,ОА,...,ОА ). Свойства линейных, конических, аффиниых и выпуклых оболочек использовались в разд.1.6.1 для описания простейших геометрических объектов: прямых, плоскостей, отрезков, треугольников, плоских и трехгранных углов, тетраэдров.
В л-мерном пространспю линейные, конические, аффиниые и выпуклые оболочки служат для определения аналогичных геометрических объектов (см. разд.2.4.2). 2.4.2. Линейные и аффиииые иедпростраиства линейнОе падпРОстРянссгнО Непустое подмножество 1, векторов нз й" называется линейным лооиросзиранстаом пространства й", если: 1) и+ юн Ь У и, юн 1, (подпространство замкнулю ло отношению к олераиии сложения); 2) Люн 1, У юн ь и любого действительного числа Х (надпространство замкнуто ло отношению к олераиии умножения ееюнора на число).
Для указания линейного надпространства будем использовать обозначение Ь ч л" . В частности, множество 1о ), состоящее из одного нулевого вектора, и все пространство )1" считаются подпространствами Я": 1о)ай", Я" ай". В "обычном" пространстве йз координатная ось (и) и координатная плоскость ()Гз ) явюпотся подпростраиствами: )1 1)Гз л йз. Линейное надпространство Ь называется т -мерным, если в нем существует система из т линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число т называется размврнотнью (числам измттний) линейного надпространства Б и обозначается йшБ, в частности, д)ш[о)=0 (так как в множестве [о) нетлинейно независимых векторов), б[ш[В" 1=н (что совпадает с данным в разя.2.4.1 определением размерности В" ).
Другими словами, размерность надпространства — зто максимальное число линейно независимых векторов этого подпространсша. Базисам т-мерного линейного надпространства называется упорядоченная совокупность гн линейно независимых векторов (6азисных ввкнюрвв). Например, векторы 1, 1к образуют базис на координатной плоскости Вз, являющейся подпростраиством Вз. Замечании 2.10. 1.
Линейное ноднространство — это венус>нов нодмножвство В", которое содержит любую линейную камбинаиию своик векторов, т.е. Б ~В" ее а, т,+а гз+...+а, кьи1, 'Фт,...,у е Б Ч(х,...,(х, е В Ч)ге У. Это утверждение следует из условий 1, 2 в определении линейного надпространства и может быль взято в качестве эквивалентного определения [2,3). 2. Базис линейного надпространства — зто полная система векторов этого надпространства в том смысле, что любой вектор позшростраяства линейно выражается через базисные векторы.
Другими словами, т-мерное линейное надпространство 1. есть линейная оболочка своих базисных векторов 1,,...,1.: 1.=1ЬФ1,....1„). 3. Базис линейного подпространства — зто максимальнал линейно нвзатюимая система ввюноров этого подпространстаа, так как базис — зто линейно независимаа система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором из надпространства без потери линейной независимости. 4. Базис линейного надпространства — зто нолная линейно независимая система ввюноров линейного цодпространства Непустое подмножество П точек из В" называется аффиннмм нтЬ нрвстранстмм, если вместе с любыми двумя своимн точками оно содержит и любую нх аффиииую комбинацию: для любых точек А и В (концов радиус-векторов а, Ь соответственно), принадлежащих П, точка С, радиус-вектор которой имеет вид с=а а+'[).Ь, а+5=1, ан В, ри В, также принадлежит П .
Например, аффинвыми подпространствами являются точка, прямая, плоскость или все пространспю к~ (см. также разд.1.6.1). Покажем, что аффинное надпространство можно задать прн помопш операции оюкладмваиил веюиоров ою юочки (см.
пА замечаню$1.1). Действительно, пусть А — некоторая точка Ю" (а — ее радиус-вектор), а Ь ~ и" — линейное подпространство. Рассмотрим множество П таких точек Р (Р— радиус-вехтор точки Р ) из М", которые пслучаютсл в результате ствщдывання от точки А векторов из Ь (рис.2.38): П=а+Ь=)ре Я": р=а+1, 1е Ь~. (2.25) Пусть точки А, и А принадлежат П, т.е. их радиус-векторы имеют вид а, = а+ 1, и аз = а+ 1з. Тогда нх аффинная комбинация также принадлежит П, так хах -.
~-., ( ° ()-. (-.)-(.,-.)'-, (-..--, ы где 1 и Ь (1 -линейнав комбинация векторов 1, н!з из Ь). Таким образом, множество П (2.25) является аффннным подпространспюм и называется ивоскоеюио, ирвводлигей через ю чку А (конец радиус-векгора а ) иараллавьио лииейиому иодиросллигисюву Ь. При зтом линейное подпространство Ь называется одиородиой часюью аффиииого иодиросюраисюва П . Говорят также, что плоскость П получена в результате параллельного иареиоса линейного подпростраиства Ь на вектор а . Размериосюью плоскости П называется размерность ее однородной части, т.е.
йшП = йшЬ. Например, точка, прямая, плоскость в "обычном" пространстве к~ ввяжется нульмерным, одномерным, двумерным аффвнными подпросгранствами соответственно. Плоскость размерности (л-1) в пространстве Ю" называется гииярилоскосюью. Прямая на координатной 181 плоскости илн плоскость в "обычном" пространстве Р являются гиперплоскостями. Замечания 211. 1.
Аффинное надпространство — это не«устое подмнозкество В", которое содержит любую аффинную комбинацию своих точек. 2. Точки А, А,,..., А„называются геометрически незаеисимелми, если векторы А А,, А А,..., А А, образуют линейно независимую систему. В г -мерной плоскости П = а„+ 1. суи1естеует не более (г+ 1) геометрически независимых «ючек. В самом деле, пусть А — любая точка плоскости П (а„— радиус- вектор точкиАс), а 1,,18,...,1, — базис 1., тогда точки А,А,,...,А, — копны радиус-велюров а„, а„+ 1,, а„+1,..., а„+ 1, геометрически независимы, так как векторы 1,1,...,1, линейно независимы. Существование (г+1) геометрически независимых точек доказано.
Предположим, что в г -мерной плоскости П имеются (г+ 2) геометрически независимых точек Вс, В,,..., В„, В,. Тогда по определению получим линейно независимую системУ (г+1) вектоРов 1, =ВсВ,, 18=ВсВз,...,1 =ВеВ, 1ы =ВсВ,ы надпространства Ь, что противоречит его г -мерности. 3. Геометрически независимые точки аффинного надпространства аналогичны базису линейного надпространства, а именно: если А, А,,..., А„— гтьимнрически независимые точки г -мерной плоскости П, «ю П = А„(г'(ОАс, ОА,,..., ОА,). 4.
Выпуклал комбинация Сонг(ОАе, ОА,,..., ОА,) геометрически независимых точек А, А,,..., А, (их радиус-векторов) называется г-мерным сам«лексам (с вершинами А,А,,...,А,) и обозначается А А, А,. Например, в "обычном" пространстве нз: тетраздр А А,А А (вюпочая его внутренние точки) яюшется трехмерным симплексом, плоский треугольник А А,А — двумерным снмплексом, отрезок А А, — одномерным симплексом, а точка А — нульмерным симплексом. Выпуклая комбииапия й (О < к < г) точек из набора А, А,,...,А, называется 1-мерной гранат г-мерного симплекса А А,...А„. Например, нульмерные грани тетраздра А А,А А — зто его вершины, одномерные грани — ребра, двумерные грани — "обычные" грани тетраздра 182 2.4З. Скалярное произведение Стаидаргниым скалярным произведением векторов х = (х, " х„)г и у =(у, " у„)~ называется число (х, у) = х у = х, у, + х .
у +... + х„у„. (2.26) Скалярным кеадралзом вектора х = (х, " х„)г называется скаляр- Т 2 2 2 ноепронзведениевекгоранасебя: (х,х)=х .х=х, +х +...+х„. Скалярное произведение (2.2б) обладает свойствами 1-4 (перечисленными в разд.1.4.2), из которых следует неравенство Коши — Буняковского (см. п.З замечаний 1.9): (а,Ь)' <(а,а).(Ь,Ь), справедливое для любых векторов а = (а, " а„) и Ь = (Ь, ".
Ь„)~. Используя скалярное произведение, можно определить осиоеиые мегирические иоиягиия: длину вектора и величину угла между векторами (см. геометрические свойства 1,2 скалярного произведения в разд.1.4.2). длиной еекнгора х = (х, " х„)г называется квадратный корень из скалярного квадрата: ~*~=д*.*)-,(* *-й+ "- *.' Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.
Рассшолнне между точками А(а,,...,а„) и В(Ь,,...,Ь„) находится как длина вектора АВ=Ь-а: )АВ~ )ь- ) Дь-,г- ~= ~ь,— ~~ ь -~1,.+(ь -~~, где а=(а, ". а„)г и Ь=(Ь, " Ь„)~ — радиус-векторы точек А и В соответственно (см. разд.2.4.1). Величиной ~р угла ггежф неиулееыни еекгиораии а =(а, " а„~ и Ь=(Ь, " Ь„) называетсячисло 0«рьи: (а,Ь) а Ь а, Ь,+а Ь +,.+а„Ь„ сезар = — ' )а!')Ь! 4аг ° .~Ь Ь а +а + +а ° Ь +Ь + +Ь Векторы называются ертогональными (нерленднкуляриыии), если их скалярное произведение равно нулю. Система векторов называется ортогональной, если все векторы системы попарно ортогональны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
