Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 31
Текст из файла (страница 31)
ГЛАВА 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ Предметом аналитической геометрии является описание и исследование свойств геометрических фигур средствами алгебры и математического анализа, а также изучение и классификация уравнений с геометрической точки зрения. При этом геометрические свойства фигур выражаются алгебраически, как свойства соответствующих уравнений, н наоборот, результаты анализа уравнений получают геометрическое представление. Тем самым возникает связь алгебры и геометрии, обогащающая оба раздела математи- В геометрии любую фигуру можно рассматривать как геамелцтческее месше точек (ам.ль), т.е. как множество точек, каждая нз которых удовлетворяет заданному характеристическому свойству, а точка, не принадлежащав этому множеству, не удовлетворяет этому свойству.
Например, в элементарной геометрии окружность определжтся как г.м.т., равноудаленных от заданной точки (центра окружности), серединный перпендикуляр к отрезку — как г.м.т., равноудаленных от концов этого отрезка н т.п. В аналитической геометрии, созданной Ренэ Декартом, геометрические фигуры задаются как множества решений соответствующих уравнений. Рассмотрим, например, уравнение )г(х, у) = 0 с двумя неизвестными х, у . Его релзеиием называется пара чисел х, уе, при подстановке которых вместо неизвестных х = х, у = уе уравнение превращается в верное числовое равенспю г"(хе,уе)=0.
Каждое решение хе, уе уравнения г (х, у) = 0 можно рассматривать как точку Ме(х„,уе) на координатной плоскости с абсцнссой хр и ординатой уе. Таким образом, множество решений уравнения г(х,у)=0 определяет на координатной плоскости П некоторую фигуру Р =(М(х,у)п П: г(х,у)=0). Например, уравнение х +у =1 в прямоугольной системе координат Оху задает окружность единичного радиуса с центром О (рис.3.1,г). Переход к этому способу описания геометрических фигур базируется на введении системы координат, которая позволяет вместо точек (элементарных геометрических объектов) оперировать с числами (элементарными алгебраическими объектами). В разд.2 подчеркивалось, что введение системы координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками и их координатами (числами или упорядоченными наборами чисел), т.е.
соответствие, удовлепюряющее двум условиям: 1) разным точкам множества соответствуют разные наборы координат, отличающиеся хотя бы одной координатой; 2) любому набору координат соответствует некоторая точка. Введение системы координат позволяет задать любую геометрическую фигуру уравнением. связывающим координаты таким образом, что координаты любой точки, принадлежащей заданной фигуре, удовлепюряют этому уравнению, а координаты точки, не принадлежащей фигуре, не удовлетворяют уравнению. Такой способ описания геометрических фигур применяется в аналитической геометрии.
Рисунки, изображающие геометрические фигуры, в аналитической геометрии играют вспомогательную роль. Аналитическое решение любой геометрической задачи сводится к алгебраическим методам и вычислительным процедурам, при выполнении которых изображения фигур не используются. Такие методы н процедуры без труда переводатся на алгоритмический язык и реализуются на компьютере. Во всех разбираемых ниже примерах иллюстрация геометрическая фигур приводится, но не используется в ходе решения. 3.1. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ 3.1.1.
Общие уравнении геометрических мест точек Уравнением мнвжвсшва )г точек (уравнением гм.нь) координатной плоскости называется равенство, связывающее координаты точек, верное для координат точек, принадлежащих множеству Г, и неверное для коор- динат точек, не принадлежащих )г . Например, уравнение множества в аф- финной системе координат Ох,х имеет вид: Р(х,х )=О, в частности, в прямоугольной системе координат Оху: г(х,у)=О, а в полярной системе координат О гор: С(г,ч) = О, (3.2) где Р и С вЂ” некоторые функции двух аргументов. Уравнения (3.1), (3.2) представляют собой аналитическую запись функциональной зависимости между коордннатами точек на плоскости, об- разующих геометрическое место точек. В частных случаях одна из коорди- нат может быть выражена через другую, т.е.
одна координата задается как явная фущщил другой координаты. Тогда получается уравнение, разрешен- ное относительно этой координаты, например: у = у(х), г = б(Ф). Заметим, что уравнениями вида у = 1(х) в прямоугольной системе коорди- нат Оху могут быть заданы графики элементарных функций: степенных, тригонометрических, показательных, логарифмических. Пример 3.1.
Изобразить иа координатной плоскости Оху (в прямо- угольной системе координат) множества точек, координаты которых удов- летворяют следующнм уравнениям: а) х-у=О; б) х -у =0; в) х +у =0; г) х +у — 1=0; д) ~х~-х=О; е) х +у +1=0. П а) Уравнению х — у = 0 удовлетворяют только те точки плоскости, у которых равны абсциссы и ординаты ( у = х). Эти точки лежат на биссек- трисах 1 и 1П координатных углов (рис.3.1л).
б) Разлагая левую часть уравнения на множители, получаем уравнение (х- у) (х+ у) = О, которое равносильно совокупности уравнений с у=х, у = -х. Первому уравнению отвечают биссектрисы нечетных координатных углов, второму — биссектрисы четных координатных углов. Следовательно, задан- ному уравнению удовлепюряют только те точки, которые принадлежат хотя бы одной из указанных биссектрис (рис.3.1,б). в) Уравнение хз + уз = 0 равносильно системе уравнений (м-о. которая определяет единственную точку О (начало координат) на плоско- сти (рис.3.1,в). г) Выражение х + у есть квадрат расстояния от точки (х, у) до нача- ла координат.
Поэтому уравнению х +у -1=0 (или х +у =1) удовле- творяют только те точки, которые удалены от точки О на расстояние, рав- ное 1. Это множество точек является окружностью с центром в начале коор- динат и радиусом 1 (рис.3.1,г). в Рис.з.! д) Уравнению ( х(+ х = 0 удовлетворяет каждая точка с неположительной абсциссой. Следовательно, множество решений этого уравнения представляет собой полуплоскость х < О, ограниченную осью ординат 1рис.3.1,д). е) Уравнение х +у +1=0 не имеет действительнык решений, поэтому на координатной плоскости нет точек, удовлетворяющих этому уравнению.
° Пример 3.2. На координатной плоскости Оху (в прямоугольной системе координат) отмечены точки А(2, 0) и В(0,4). Вывести уравнения заданнык множеств: а) прямой АВ (рис.3.2л); б) серединного перпендикуляра к отрезку АВ (рис.3.2,б); в) окружности с диаметром АВ 1рис.3.2,в). (х, у) М( х Рие.з.2 П а) Точка М(х, у) принадлежит прямой АВ тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор ОМ удовлетворяет условию ОМ =г ОА+(1-г).ОВ, где 2 — некоторое действительное число (см. равд.1.6.1). Записывая зто векторное равенство в координатной форме, получаем Ю- Ф вЂ” (') - (,'- '-' Исключал параметр 2 из этой системы 1например, подставляя во второе уравнение т=ф),прикодимкуравнению у=4-2 х или 2.х+у-4=0.
б) Пусть М(х, у) произвольная точка плоскости. Эта точка принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку АВ тогда и только тогда, когда МА = МВ. Записывая это равенство в координатной форме, получаем /~*-у~ )у =у~3+(у-4) Возводя в квадрат и приводя подобные члены, приходим к уравнению х-2 у+3=0. в) Найдем радиус заданной окружности 201 г= — = — (2-'0) +(0-4) =и'5 АВ 1 г 2 2 и координаты центра Д окружности — середины отрезка АВ: Д(1, 2), тзк (2+0 0+41 как ц~ —, — ) (см. разд.2.1.1).
По определению точка М(х, у) принад- 1, 2 2 ) лежит этой окружности тогда и только тогда, когда МД = г. Записывая это равенство в координатной форме, получаем Возводя в квадрат и перенося все члены в левую часть равенства, получаем (х-1)з+(у -2)з -5 = 0. ° Пример ЗЗ. Изобразить на плоскости в полярной системе координат Огф множества точек, координаты которых удовлетворюот следующим уравнениям: а) г = ф (спираль Архимеда); б) г = 1+ соз ф (кардиоида); в) г = соз 2ф (лемниската Бернулли).
П а) Построение выполняется по точкам при 0 «р < 2п. Далее учитывается, что при каждом полном обороте полярный радиус увеличивается на 2и (рис.З.З,л). Я а гяс.3.3 б) Построение выполняется по точкам при 0«р ~ и, а затем продолжается симметрично полярной оси, так как замена ф на -ф не изменяет уравнения (рис.З.З,б). в) Построение выполняется по точкам при Оь ф~-, а затем продол- 2* жается симметрично полярной оси и полюса О (рис.З.З,в). ° УРАВНЕНИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ И ОБЪЕДИНЕНИЙ геОметгических мест точек Рассмотрим основные операции с множествами точек на координатной плоскости, заданными своими уравнениями.
Пусть множества Р и С в аффинной системе координат Ох,х зада- ныобщимиуравнениями г(х,,хз)=0 и С(х,,х )=0 соответственно. Пересечение ГПС множеств гг и С состоит из точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений с г(х,,х )=О, С(х,х )=О. Можно составить одно уравнение, равносильное втой системе, например: (г(х,х ))2+(С(х,,х ))2 — О.
Объединение 2г ОС множеств К и С состоит из точек, координаты которых удовлетворяют совокупности уравнений с Г(хрх )=О, С(,,х )=О, равносильной одному уравнению, например: Р(х,,хз) С(х,,хз)=0. Вюпочение Г ~ С с алгебраической точки зрения означает, что урав- нение С(х,,х )= 0 является следствием уравнения Р'(х,,х ) = О, т.е. г(х,х )-0 ~ С(х,х )-О. Равенство г =С означает, что уравнения г"(х,,х )=0 и С(х,,х )=0 равносильны (эквивалентны), т.е. г(х,х )=0 сз С(х,,х )=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
