Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 34
Текст из файла (страница 34)
а х 3. Коэффициенты общего уравнения прямой (3.8) определяются неоднозначно в О силу неоднозначного выбора нормали (см. п.1 замечаний 3.2). При составлении нормированного уравнения (3.10) прямой такого Рнс.3.11 216 Замечании ЗЗ. 1. Свободный член р нормированного уравнения (3.10) равен расстоянию от начала ноординагн до пряной. Действительно, по формуле (3.9) находим расстояние с! от начала координат 0(0,0) до прямой, описываемой уравнением (3.10): произвола нет. Здесь все коэффициенты определены однозначно (при р > 0) или с точностью до знака(при р = 0). 4.
Нормированное уравнение прямой имеет смысл только в прямоугольной системе координат. Пример 3.7. На координатной плоскости Оху (в прямоугольной системе координат) заданы вершины Р(1,2),ф13,-3),В(5,5) треугольника (рис.3. 12). Требуется: а) состаюпь общее и нормированное уравнения прямой, содержащей высоту РН; б) найти расстояние от начала координат до прямой РН; в) найти расстояние Аз от точки Д до прямой РН . 0 а) Вектор Щ, перпендикулярный прямой РН, является нормалью для этой прямой.
Находим координаты вектора в = Щ, вычитая из координат конца координаты его начала: =~-"Н')=(-') Коэффициенты при неизвестных в общем уравнении прямой РН равны координатам нормали, поэтому А=8, В=-8, т.е. уравнение имеет вид 8 х-8 у+ С = О. Подберем свободный член С так, чтобы прямая проходила через точку Р . Для этого подспаим координаты х = 1, у = 2 точки Р в уравнение: 8 1-8 2+С=О. Отсюда С=8. Таким образом, искомое общее уравнениеимеетвид: 8 х-8 у+8=0 ~ х-у+1=0.
Преобразуем общее уравнение х-у+1=0. Поскольку в этом уравнении А=1, В=-1, Н В У С=1>0, разделим его на -~~А +В =-~~~ +1~ =- Г2. П О нормированное уравнение прямой РН: Рип.3.12 — — '.х+-1 . у — ' =О. Сравнивая с (3.10), нахолим направляющие косинусы соз а = — -з, соз р = — ' и параметр р = ' . 42 П'2 б) Из п.1 замечаний 3.3 следует, что искомое расстояние от начала координат до прямой РН равно р=-' . Гз' в) Расстояние Аз от точки ф13,— 3) до прямой РН ( х-у+1=0) на- 1 12+(-1)(-З)1~ ходим по формуле (3.9): И = =-п7 . ° 11+( з)* 217 3.2.2. Уравнении примой, проходящей через заданную точку коллниеарио заданному вектору ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ х'РАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ Н аправляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е.
принадлежэпций или параллельный ей. Пусть на координатной плоскости Оху заданы: а) точка Мо(хо Уо) веатор примой б) ненулевой вектор р = а х'+Ь. )т М~(хо Уо Р '+ '-1 (рж.3.13). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору р и х О пРоходЯЩей чеРез точкУ Мо 11хо, Уо).
Выберем на прямой произвольную точку М(х, у). Обозначим г = ОМ, го = ОМо — радиус-векторы точек М(х,у) и Мо(хо уо) (рис.3.14). Рис3.13 Нмхравваиииий веатор примой рма.(+Ь у Пормааь В ор р ер уравнение примой: р ус+э р, ми . я =А е'+В ут т т Параметрическое уравнение примой (=:. х хе+от, ми. у=у,+Ы, Кэноиичесиое уравнение прамой: х х е с а э Рнс.3.14 В=ге+1 р, ти и, (3.1 1) где р — направляющий вектор прямой, а го — радиус-вектор точки, принад- лежащей прямой. 218 Точка М принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы МоМ и р коллинеарны.
Запишем условие коллинеарности: МоМ = 1 р, где 1 — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что МоМ = Р- го, полУчим веюноРное наРЯметРнческое УРавнение нРЯ- мой: Координатная форма записи уравнения (3.11) называется иарамеюрическим ураоиеииаи прямой < х=х +а С, гн к, Уе+Ь (3. 12) где а,Ь вЂ” координаты направлюощего вектора р прямой.
Параметр 1 в уравнениях (3. 11),(3. 12) имеет следующий геометрический смысл: величина 1 пРопоРЦнональна Расстолнию от начальной точки Ме(хе, Уе) до точки М(х +а г, Уе+Ь.г). Физический смыся параметра г в параметрических уравнениях (3.11), (3.12) — это время при равномерном и прямолинейном движении точки М(х,у) по прямой. При 1=0 точка М(х,у) совпадает с начальной точкой Ме, при возрастании г движение происходит в направленни, определяемым направляющим вектором р . жлноннчжсжож увлвнжннж ш ямой Выразим параметр г нз каждого уравнения системы (3.12): У У» — = г = —.-, а затем исключим зтот параметр: а Ь Замечании 3А.
1. Если один из знаменателей дробей в (3.13) равен нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю: х-х. у-у каноническое уравнение ч- = — — зто уравнение х = х пряо 0 Ь о мой, параллельной оси ординат (рис.3.15а); У каноническое уравнение р=01+Ь уч х-х„у — у Уо Р=а 1+О гч — -~-= — ~. — зто уравнеа 0 ние у = у„прамой, парал- О хо х О х лельной оси абсцисс а б (рис.3.15,б). Риаз.15 219 — — а +Ьз оО. х хо У Уе (3.13) а Ь Уравнение (3.13) называется каноническим урааиоииом ирлмой. В зтом уравнении коэффициенты а,Ь не равны нулю одновременно, так как зто координаты направляющего вектора прямой. 2.
Поскольку направапощий вектор р=а ~+Ь 1 коллинеарен пря мой,а нормаль в =А ч'+В 1' ейперпендикулярна,то векторы р и й орто. гональны. Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: (р,л)=а А+Ь.В=О, т.е. координаты направлающего вектора прямой и ее нормали связаны одно- родным уравнением: а А+ Ь В = О . Подставим, например, решение А = -Ь, В = а зтого уравнения в общее уравнение прямой (3.7): -Ь.( —,)+ (у-у,)=О. Это соотношение позволяет по координатам направлающего вектора и ко- ординатам точки Ма(х, у„) записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.
3. Направляющий вектор р прямой определяется неоднозначно. На- пример, любой ненулевой вектор Х.р, где Ы В, также является направ- ляющим вектором для той же примой. 4.Дяя лерехода от общего уравнения прямой (3.8) А х+В у+С=О к каиоиическому (3.13) нужно выполнить следуклцие действия: 1) найти любое решение (х,у ) уравнения А.х+В. у+ С = О, опреде- ляя тем самым координаты точки М„(х, уо), принадлежащей прямой; 2) найти любое ненулевое решение (а„Ь) однородного уравнения А а+ В Ь = О, определи тем самым координаты а, Ь направляющего век- тора р, в частности, можно взять а= В, Ь= — А; 3) записать каноническое уравнение (3.13).
5. Чтобы перейти от каяонического ураенеяия к общему, достаточно перенести все члены уравнения (3.13) в левую часть: у-у, 1 1 у, х, — — — »=О «» — х — у+ — с — — =О. а Ь а Ь Ь а 1 1 Полученное уравнение(при аеО, Ьоб) имеет вид(3.8) с А= —, В=--, а Ь уа хс С= — —. Ь а 6. Чтобы яерейти от канонического ураеиеяия к параметрическому, следует приравюпь левую и правую части уравнения (3.13) параметру г и записать полученное двойное равенство в виде системы (3.12): ус (к=хо+а г, ~=г= — «» ге Р.
а Ь (у=у,+Ь г, 7. Параметрическое (3.12) и каноническое (3.13) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой 220 крутой аффииной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним. Пример 3.8. На координатной плоскости Оху 1в прямоугольной системе координат) за- М даны прямая 1: х-З.у+3=0 и точка М(5,6) 1рис.3.16).
Требуется: 1 а) составить параметрическое уравнение прямой т, проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой; О М б) най ор о он ну роекцию М, Рис 3.16 точки М на прямую 1; Ф в) найти координаты точки М, симметричной точке М относительно прямой 1. 13 а) Нормаль л к прямой 1 является направляющим вектором р для прямой т. Координаты нормали определяем по общему уравнению прямой 1: в =1 1-3./, тогда р=1 1 — 3.1, х„=5,у„=б. Составляем параметрическое уравнение 13.12) прямой ш: х=5+1 г, т: ген. у=6+(-3) г, б) Проекшщ М, точки М является точкой пересечения прямык в и 1.
Найдем ее координаты. Для этого подставляем в уравнение прямой 1: х-3 у+3=0 выражения координат х=5+г,у=б — 3 г из параметрического уравнения прямой ш . Получим уравнение 5+г-3 (6 — 3 г)+3=0 се 10 1-10=0 ее 1=1. я У Значешпо параметра г=1 отвечает точка с координатами х=5+1=6, у = 6 — 3 1 = 3 . Следовательно, искомая точка М,(б, 3). в) В п."а" составлено параметрическое уравнение прямой т. В этом уравнении при г = 0 получаем точку М, при г = 1 — точку М,, значит искомую точку М получим при г 2, поскольку в силу симметрии М М, = М,М .
Вычисляем координаты искомой точки: М (5+1 2,6+(-3) 2), т.е. М(7,0). ° Пример 3.9. На координатной плоскости Оху (в прямоугольной системе координат) заданы вершины Р(1,2), ф13,-3), й(5,5) треугольнюи (рис.3.17). Составить: а) каноническое уравнение прямой, содержащей высоту РН треугольника; б) каноническое и параметрическое уравнения прямой, содержащей биссектрису Р1. треугольника П а) В примере 3.7 было полуу чено общее уравнение х-у+1=0 Н В прямой РН ( А = 1, В = -1, С = 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
